เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบว่าตัวเลขที่คำนวณได้นั้นเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม?

18

เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบอัลกอริธึมว่าจำนวนที่คำนวณได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม? ในคำอื่น ๆ ก็จะมีความเป็นไปได้สำหรับห้องสมุดที่ใช้คำนวณตัวเลขเพื่อให้ฟังก์ชั่นisIntegerหรือisRational?

ฉันเดาว่ามันเป็นไปไม่ได้และนี่ก็เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบว่าตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะพิสูจน์มัน

แก้ไข: จำนวนที่คำนวณได้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่สามารถส่งกลับค่าประมาณด้วยเหตุผลด้วยความแม่นยำ :สำหรับใด ๆ0 รับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทดสอบว่าหรือ ? $x$ $f_x(\epsilon)$ $x$ $\epsilon$ $|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilon$ $\epsilon > 0$ $x \in \mathrm{Q}$ $x \in \mathrm{Z}$

computability computing-over-reals lambda-calculus graph-theory co.combinatorics cc.complexity-theory reference-request graph-theory proofs np-complete cc.complexity-theory machine-learning boolean-functions combinatory-logic boolean-formulas reference-request approximation-algorithms optimization cc.complexity-theory co.combinatorics permutations cc.complexity-theory cc.complexity-theory ai.artificial-intel p-vs-np relativization co.combinatorics permutations ds.algorithms algebra automata-theory dfa lo.logic temporal-logic linear-temporal-logic circuit-complexity lower-bounds permanent arithmetic-circuits determinant dc.parallel-comp asymptotics ds.algorithms graph-theory planar-graphs physics max-flow max-flow-min-cut fl.formal-languages automata-theory finite-model-theory dfa language-design soft-question machine-learning linear-algebra db.databases arithmetic-circuits ds.algorithms machine-learning ds.data-structures tree soft-question security project-topic approximation-algorithms linear-programming primal-dual reference-request graph-theory graph-algorithms cr.crypto-security quantum-computing gr.group-theory graph-theory time-complexity lower-bounds matrices sorting asymptotics approximation-algorithms linear-algebra matrices max-cut graph-theory graph-algorithms time-complexity circuit-complexity regular-language graph-algorithms approximation-algorithms set-cover clique graph-theory graph-algorithms approximation-algorithms clustering partition-problem time-complexity turing-machines term-rewriting-systems cc.complexity-theory time-complexity nondeterminism

— dbarbosa
แหล่งที่มา

3

จะคำนวณจำนวนที่คำนวณได้อย่างไร?

— Tsuyoshi Ito

10

แน่นอนว่าจำนวนนั้นเกี่ยวข้องกันอย่างไร เป็นตัวอย่างที่ไร้สาระถ้าอินพุตมีค่าสถานะว่าตัวเลขเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ให้ตัดสินใจว่าอินพุตเป็นจำนวนเต็มหรือไม่สำคัญ

— Tsuyoshi Ito

3

คำถามที่คล้ายกัน: cstheory.stackexchange.com/questions/10495/ …

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

3

(1)“ คุณรู้ได้อย่างไรว่านี่เป็นจำนวนเต็ม” ทำไมฉันถึงต้องสนใจ คุณไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับข้อกำหนดเกี่ยวกับการปฏิบัติงาน (2)“ ถ้าคุณเห็นคำตอบสองคำตอบพวกเขาไม่ได้พูดถึงการใช้งาน” ฉันไม่รู้ว่าคุณหมายถึงอะไรโดย“ การใช้งาน” ที่นี่หรือทำไมประโยคนี้เกี่ยวข้องกับความคิดเห็นของฉัน

— Tsuyoshi Ito

16

ฉันหวังว่าคำตอบของฉันจะปิดการสนทนานี้ Tsuyoshi คุณเข้าใจผิดมันเกี่ยวข้องกับการปฏิบัติการที่คำนวณได้ เราไม่ได้ใช้ตัวเลขจริงในสูญญากาศ แต่เพื่อที่จะไม่จัดการกับพวกเขา ตามที่คุณบอกเราสามารถใช้ประเภทหน่วยเพื่อใช้งานทุกอย่าง ใช่เราทำได้ แต่จากนั้นการดำเนินการบางอย่างจะไม่สามารถคำนวณได้และนั่นเป็นเกณฑ์ที่แม่นยำซึ่งเราตัดสินการเป็นตัวแทน

— Andrej Bauer

32

มันง่ายที่จะสับสนเกี่ยวกับความหมายในการ "แสดง" หรือ "ใช้" จำนวนจริง ในความเป็นจริงเรากำลังเห็นการอภิปรายในความคิดเห็นที่การแสดงนั้นเป็นที่ถกเถียงกัน ขอผมพูดเรื่องนี้ก่อนนะ

เราจะรู้ได้อย่างไรว่าการดำเนินการถูกต้อง?

ทฤษฎีที่อธิบายถึงวิธีการที่จะเป็นตัวแทนสิ่งที่อยู่ในคอมพิวเตอร์จะเข้าใจได้ แนวคิดพื้นฐานคือกำหนดชุดเราจะเลือกประเภทข้อมูลและทุก ๆชุดของค่าประเภทซึ่งรับรู้ได้ เราเขียนเมื่อเป็นค่าที่ตระหนักxตัวอย่างเช่น (ฉันจะใช้ Haskell โดยไม่มีเหตุผล) การใช้งานที่เหมาะสมของอาจเป็นประเภทข้อมูลที่เมื่อประเมินค่าตัวเลข ( โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $X$ $\tau$ $x \in X$ $\tau$ $v \vdash x \in X$ $v$ $x$ $\mathbb{N}$ Integer $v \vdash k \in \mathbb{N}$ $v$ $\overline{k}$ -42ไม่ได้แสดงถึงจำนวนธรรมชาติและไม่มีโปรแกรมการแยกความแตกต่าง) แต่โจ๊กเกอร์บางตัวสามารถเดินผ่านและแนะนำให้เราใช้Boolเพื่อแสดงตัวเลขธรรมชาติด้วยและสำหรับคำถามที่ทำไมสิ่งนี้ถึงไม่ถูกต้อง เราจำเป็นต้องมีเกณฑ์ $\mathtt{True} \vdash 42 \in \mathbb{N}$ $\mathtt{False} \vdash n \in \mathbb{N}$ $n \neq 42$

ในกรณีของ "หมายเลขโจ๊กเกอร์" การสังเกตง่าย ๆ คือไม่สามารถเพิ่มการเติมได้ สมมติว่าผมบอกคุณผมมีสองหมายเลขทั้งตัวแทนจาก{} คุณสามารถให้ realizer สำหรับผลรวมของพวกเขา? ขึ้นอยู่กับว่าผลรวมเป็น 42 แต่คุณไม่สามารถบอกได้ เนื่องจากการเพิ่มเป็น "ส่วนสำคัญของตัวเลขธรรมชาติ" จึงไม่สามารถยอมรับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งการใช้งานไม่ได้เกี่ยวกับชุด แต่เกี่ยวกับโครงสร้างกล่าวคือเราต้องแสดงชุดในลักษณะที่เป็นไปได้ที่จะใช้โครงสร้างที่เกี่ยวข้อง ขอให้ฉันเครียด: $\mathtt{False}$

เราใช้โครงสร้างไม่ใช่ชุดเปล่า ดังนั้นเราต้องสามารถใช้โครงสร้างทั้งหมดพร้อมกับการดำเนินการและสัจพจน์ทั้งหมดเพื่อให้การดำเนินการถูกต้อง

หากคุณไม่ปฏิบัติตามหลักการนี้คุณจะต้องแนะนำเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์อื่นของความถูกต้อง ฉันไม่รู้จักหนึ่ง

ตัวอย่าง: การแทนค่าตัวเลขธรรมชาติ

สำหรับตัวเลขธรรมชาติโครงสร้างที่เกี่ยวข้องถูกอธิบายโดยสัจพจน์ของ Peano และสัจพจน์ที่สำคัญที่ต้องดำเนินการคือการเหนี่ยวนำ (แต่ยัง , ตัวตายตัวแทน, และ ) เราสามารถคำนวณได้โดยใช้ความสามารถในการทำให้เป็นจริงสิ่งที่การนำไปปฏิบัติใช้ในการเหนี่ยวนำทำได้ มันจะกลายเป็นแผนที่ (ซึ่งเป็นประเภทข้อมูลที่ไม่รู้จักซึ่งแสดงถึงจำนวนธรรมชาติ) $0$ $+$ $\times$ nat

induction : 'a -> (nat -> 'a -> 'a) -> 'nat -> 'a

ความพึงพอใจและinduction x f zero = x induction x f (succ n) = f n (induction x f n)ทั้งหมดนี้มาจากความเป็นจริง เรามีเกณฑ์: การดำเนินการตามจำนวนธรรมชาตินั้นถูกต้องเมื่ออนุญาตให้มีการใช้งานสัจพจน์ของ Peano ผลที่คล้ายกันจะรับได้ถ้าเราใช้ในลักษณะของตัวเลขที่พีชคณิตเริ่มต้นสำหรับ functor X $X \mapsto 1 + X$

การใช้งานที่ถูกต้องของจำนวนจริง

ให้เราหันความสนใจไปที่จำนวนจริงและคำถามที่อยู่ในมือ คำถามแรกที่ถามคือ "โครงสร้างที่เกี่ยวข้องของจำนวนจริงคืออะไร" คำตอบคือ: Archimedean Cauchy ข้อมูลสั่งซื้อสมบูรณ์ นี่คือความหมายที่จัดตั้งขึ้นของ "ตัวเลขจริง" คุณไม่ได้เปลี่ยนมันได้รับการแก้ไขโดยคนอื่นสำหรับคุณ (ในกรณีของเราทางเลือก Dedekind reals กลายเป็น isomorphic ไปยัง Cauchy reals ซึ่งเรากำลังพิจารณาอยู่ที่นี่) คุณไม่สามารถนำส่วนใดส่วนหนึ่งของมันไปได้ คุณไม่ได้รับอนุญาตให้พูดว่า "ฉันไม่สนใจเกี่ยวกับการนำไปใช้เพิ่มเติม" หรือ "ฉันไม่สนใจคำสั่งซื้อ" หากคุณทำเช่นนั้นคุณจะต้องไม่เรียกมันว่า "หมายเลขจริง" แต่เป็น "หมายเลขจริงที่เราลืมลำดับเชิงเส้น"

ฉันจะไม่เข้าไปดูรายละเอียดทั้งหมด แต่ให้ฉันอธิบายว่าส่วนต่าง ๆ ของโครงสร้างให้การดำเนินการต่าง ๆ ใน reals:

Archimedeanความจริงเป็นเรื่องเกี่ยวกับการคำนวณเหตุผลประการของ reals
โครงสร้างฟิลด์ให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ
คำสั่งเชิงเส้นทำให้เรามีกระบวนการsemidecidableสำหรับการทดสอบ $x < y$
lim : (nat -> real) -> real $(x_n)_n$ $|x_n - x_m| \leq 2^{\min(n,m)}$ $m, n$

สิ่งที่เราไม่ได้รับคือฟังก์ชั่นทดสอบเพื่อความเท่าเทียมกัน ไม่มีความจริงในสัจพจน์สำหรับ reals ซึ่งถามว่าจะตัดสินใจได้ (ในทางตรงกันข้ามสัจพจน์ของ Peano แปลว่าตัวเลขธรรมชาตินั้นสามารถนำมาคำนวณได้และคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าโดยการใช้เพียงเพื่อการออกกำลังกายที่สนุกสนาน) $=$ eq : nat -> nat -> Boolinduction

มันเป็นความจริงที่การแทนค่าทศนิยมปกติของ reals ที่มนุษยชาติใช้นั้นไม่ดีเพราะด้วยเหตุนี้เราจึงไม่สามารถใช้การเพิ่มได้ จุดลอยตัวกับ mantissa ที่ไม่มีที่สิ้นสุดก็ล้มเหลวเช่นกัน (แบบฝึกหัด: ทำไม?) สิ่งที่ทำงาน แต่มีการลงนามในการเป็นตัวแทนหลักคือหนึ่งในสิ่งที่เราอนุญาตให้ตัวเลขเชิงลบเช่นเดียวกับคนในเชิงบวก หรือเราสามารถใช้ลำดับของการปันส่วนที่เป็นไปตามการทดสอบ Cauchy อย่างรวดเร็วตามที่ระบุไว้ข้างต้น

การเป็นตัวแทนของ Tsuyoshi นั้นได้ดำเนินการบางอย่าง แต่ไม่ใช่ $\mathbb{R}$

ขอให้เราพิจารณาการแทนค่าของ reals ต่อไปนี้:แท้จริงถูกแทนด้วยคู่โดยที่เป็นลำดับของ Cauchy อย่างรวดเร็วที่มาบรรจบกับและคือบูลีนที่ระบุว่าเป็นจำนวนเต็ม เพื่อให้สิ่งนี้เป็นตัวแทนของ reals เราจะต้องดำเนินการเพิ่ม แต่เนื่องจากปรากฎว่าเราไม่สามารถคำนวณแฟล็กบูลีนได้ ดังนั้นนี่ไม่ใช่ตัวแทนของ reals แต่มันก็ยังคงเป็นตัวแทนของอะไรบางอย่างกล่าวคือส่วนย่อยของ reals $x$ $(q,b)$ $(q_n)_n$ $x$ $b$ $x$ $\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$ . อันที่จริงตามการตีความ realizability สหภาพจะดำเนินการด้วยธงระบุว่าส่วนหนึ่งของสหภาพเราอยู่ในวิธีโดยคือไม่เท่ากับถ้าคุณเชื่อในการยกเว้นตรงกลางซึ่งไม่สามารถดำเนินการได้และดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่ค่อนข้างไม่เกี่ยวข้องสำหรับการสนทนานี้ เราถูกคอมพิวเตอร์บังคับให้ทำสิ่งต่าง ๆ ด้วยสัญชาตญาณ $\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$ $\mathbb{R}$

เราไม่สามารถทดสอบว่าจริงเป็นจำนวนเต็มหรือไม่

สุดท้ายให้ฉันตอบคำถามที่ถาม ตอนนี้เรารู้แล้วว่าการเป็นตัวแทนที่แท้จริงของ reals นั้นเป็นไปตามลำดับของ Cauchy อย่างรวดเร็วของการปันส่วน (ทฤษฎีบทสำคัญกล่าวว่าการแสดงสอง reals ซึ่งยอมรับได้จริง ๆ แล้ว isomorphic)

ทฤษฎีบท:การทดสอบว่าจริงเป็นจำนวนเต็มไม่สามารถตัดสินใจได้

พิสูจน์ สมมติว่าเราสามารถทดสอบได้ว่าของจริงนั้นเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ความคิดที่จะช่วยให้คุณพิสูจน์ทฤษฎีบททั่วไปได้มากขึ้นถ้าคุณต้องการคือการสร้างลำดับ Cauchy อย่างรวดเร็วของจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งแปรสภาพเป็นจำนวนเต็ม นี้เป็นเรื่องง่ายเพียงแค่ใช้เวลาn} ถัดไปแก้ไขปัญหาการหยุดพักดังต่อไปนี้ รับเครื่องทัวริงกำหนดลำดับใหม่โดย นั่นคือลำดับใหม่ดูเหมือนว่าลำดับตราบใดที่ $(x_n)_n$ $x_n = 2^{-n}$ $T$ $(y_n)_n$

y_{n} = {\begin{cases} x_{n} & if T has not stopped within n steps \\ x_{m} & if T stopped in step m and m \leq n \end{cases}

$y_n = \begin{cases} x_n & \text{if $T$ has not stopped within $n$ steps}\\ x_m & \text{if $T$ stopped in step $m$ and $m \leq n$} \end{cases}$

(x_{n})_{n}

$(x_n)_n$

T

$T$ วิ่ง แต่แล้วก็จะได้รับการ "ติด" ที่ถ้าหยุดในขั้นตอนม.สำคัญมากลำดับใหม่นี้ยังเป็นลำดับ Cauchy ที่รวดเร็ว (และเราสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ทราบว่าหยุดทำงาน) ดังนั้นเราสามารถคำนวณขีด จำกัด ของได้เพราะการเป็นตัวแทน reals ของเรานั้นถูกต้อง ทดสอบว่าเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นมันจะต้องเป็นและจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อทำงานตลอดไป มิฉะนั้นไม่ใช่จำนวนเต็มดังนั้นต้องหยุดทำงาน QED

x_{m}

$x_m$

T

$T$

m

$m$

T

$T$

z = lim_{n} y_{n}

$z = \lim_n y_n$

z

$z$

0

$0$

T

$T$

z

$z$

T

$T$

การออกกำลังกาย: ปรับหลักฐานข้างต้นเพื่อแสดงว่าเราไม่สามารถทดสอบหาจำนวนตรรกยะ จากนั้นปรับใช้เพื่อแสดงว่าเราไม่สามารถทดสอบสิ่งที่ไม่สำคัญ (นี่ยากกว่าเล็กน้อย)

บางครั้งผู้คนสับสนเกี่ยวกับธุรกิจการทดสอบทั้งหมดนี้ พวกเขาคิดว่าเราได้พิสูจน์แล้วว่าเราไม่สามารถทดสอบได้ว่าของจริงเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ แต่แน่นอนว่า 42 เป็นของจริงและเราสามารถบอกได้ว่ามันเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ในความเป็นจริงใด ๆโดยเฉพาะอย่างยิ่งจริงเรามากับ , ,ฯลฯ เราสามารถสมบูรณ์ดีบอกได้ว่าพวกเขาเป็นจำนวนเต็ม แม่นยำเราสามารถบอกได้เพราะเรามีข้อมูลเพิ่มเติม: ไม่ได้ให้ reals เหล่านี้กับเราตามลำดับ แต่เป็นการแสดงออกถึงสัญลักษณ์ที่เราสามารถคำนวณบิตของ Tsuyoshi ได้ ทันทีที่มีข้อมูลเพียงอย่างเดียวที่เรามีเกี่ยวกับความจริงก็คือลำดับของการประมาณตามเหตุผลที่มาบรรจบกัน (และฉันทำ $\sin 11$ $88 \ln 89$ $e^{\pi \sqrt{163}}$ ไม่ได้หมายถึงการแสดงออกเชิงสัญลักษณ์อธิบายลำดับ แต่เป็นกล่องสีดำที่ออกผลลัพธ์เป็นระยะ -th กับการป้อนข้อมูล ) แล้วเราจะเป็นเช่นเดียวกับทำอะไรไม่ถูกเป็นเครื่อง $n$ $n$

คุณธรรมของเรื่องราว

ไม่มีเหตุผลที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการนำชุดไปใช้เว้นแต่ว่าเรารู้ว่าการดำเนินการประเภทใดที่เราต้องการจะทำ

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

16

หากคำตอบของฉันคือภรรยาฉันจะตอบได้เพียงครั้งเดียว หรืออย่างน้อยฉันก็ต้องลบคำตอบก่อนหน้านี้ก่อนที่ฉันจะเขียนคำตอบต่อไป

— Andrej Bauer

5

@ Max: ทฤษฎีบทแรกของแบบนี้ได้รับจาก Kreisel, Lacombe และ Shoenfield (เงยหน้าขึ้นมองทฤษฎีบท KLS) Tsteitin ให้ทฤษฎีบทซึ่ง KLS เป็นเอกเทศและเป็นรูปแบบที่ชัดเจนว่า "แผนที่ที่คำนวณได้ทั้งหมดนั้นสามารถคำนวณได้อย่างต่อเนื่อง"

— Andrej Bauer

6

ฉันต้องเขียนตำราเรียน - (Google google google) โอเคดีคุณมีสิทธิ์ ไปเลย!

— Jeffε

10

@Tsuyoshi: คำถามใช้วลีที่กำหนดขึ้นว่า "จำนวนจริง" โดยไม่มีการรับรอง โครงสร้างของจำนวนจริงเป็นมาตรฐาน คุณมีอิสระในการพิจารณาโครงสร้างอื่น ๆ แต่คุณไม่สามารถตีความคำศัพท์มาตรฐานได้อย่างผิด ๆ

— Andrej Bauer

21

เทคนิคการพูดคุณถูกต้องคำว่า "ของจริง" ไม่ได้ใช้ แต่คุณเข้าใจผิดเกี่ยวกับคำจำกัดความของจำนวนจริง หรือฉันจะใช้วิธีนี้: มันเป็นคณิตศาสตร์ที่ไม่ดีที่จะคิดว่า reals เป็นเซตเฉพาะที่มาก่อนเท่านั้นตามด้วยโครงสร้างบางอย่าง เช่นเดียวกับที่เรากำหนดกลุ่ม, แหวน, ปริภูมิโทโพโลยีและอื่น ๆ ในแง่ของโครงสร้างดังนั้นเราควรกำหนดวัตถุพิเศษในแง่ของคุณสมบัติสากลของพวกเขา (จำนวนธรรมชาติคือการเริ่มต้นเริ่มต้นจำนวนเต็มวงแหวนเริ่มต้น rationals สนามเริ่มต้น reals ..... )

— Andrej Bauer

10

ฉันมักจะคิดว่านี่ไม่สามารถตัดสินใจได้:

ให้เป็นจำนวนอตรรกยะที่คำนวณได้ พิจารณา TM Mคุณสามารถสร้างฟังก์ชั่นที่ทำงานบนและคำนวณแบบขนานที่มีความแม่นยำในการเจริญเติบโต หากหยุดทำงานมันจะหยุดการคำนวณมิฉะนั้นจะหยุดต่อ $x$ $M$ $M$ $\epsilon$ $x$ $M$ $x$

การตัดสินใจว่าฟังก์ชั่นนี้คำนวณจำนวนตรรกยะเท่ากับปัญหาการหยุดพักหรือไม่

— Shaull
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจคำตอบของคุณคุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมได้ไหม? ฉันไม่เข้าใจว่าคุณเกี่ยวข้องกับปัญหาการหยุดพักได้อย่างไรและที่สำคัญฉันคิดว่าไม่มีเหตุผลใดที่จะต้องหยุดยั้ง (แม้ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม)

M

$M$

x

$x$

— dbarbosa

เมื่อ Tsuyoshi ได้ชี้ให้เห็นคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับการเป็นตัวแทนและรูปแบบการคำนวณ คำตอบของคุณอย่างถูกต้องบอกว่าถ้ารับปัจจัยการผลิตเป็นจำนวนจริงคำนวณโดย TM คอมพิวเตอร์พวกเขาแล้วความเท่าเทียมกันจะไม่สามารถตัดสินใจได้ สิ่งนี้ถูกต้อง แต่ไม่ได้อยู่ใกล้กับรุ่นใด ๆ ที่ใช้ในทางปฏิบัติ

— Kaveh

2

อันที่จริงคำตอบของฉันหมายถึงการรับรองที่โพสต์ในคำถามไม่ว่าจะเป็นในทางปฏิบัติหรือไม่ @dbarbosa - ฉันจะอธิบาย: ให้ TMติดตามการก่อสร้างในคำตอบ จากนั้นให้สันนิษฐานว่าคุณสามารถตัดสินใจได้ว่าเครื่องเอาท์พุทที่แสดงถึงเหตุผลหรือไม่ หากเป็นเหตุผลก็หมายความว่าในบางจุดหยุดและเราหยุดคำนวณจำนวน ในทางตรงกันข้ามถ้ามันไม่มีเหตุผลแล้วไม่หยุด ดังนั้นเราจึงรู้ว่าหยุดการทำงานหรือไม่เพื่อแก้ปัญหาการหยุดชะงักซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่แน่นอน

M

$M$

M

$M$

M

$M$

M

$M$

— Shaull

10

สมมติว่าจริงจะได้รับเป็นลำดับของการประมาณด้วยเหตุผลข้อผิดพลาดล้อมรอบด้วยฟังก์ชั่นคำนวณที่รู้จักกันซึ่งมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (การประมาณดังกล่าวทั้งหมดจะเทียบเท่าและสอดคล้องกับโทโพโลยีปกติบน reals)

ฟังก์ชันที่คำนวณได้นั้นต่อเนื่อง IsRational และ IsInteger ไม่ต่อเนื่องดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณได้

IsInteger เป็นแบบกึ่งคำนวณได้: มีโพรซีเดอร์ที่ในที่สุดจะส่งออก "เท็จ" หากอินพุตไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะรันตลอดไปหากอินพุตเป็นจำนวนเต็ม ขั้นตอนนี้จะดูที่การประมาณแต่ละครั้งและตรวจสอบว่ามีจำนวนเต็มภายในข้อผิดพลาดที่ถูกผูกไว้ ฟังก์ชั่นนี้ต่อเนื่องเมื่อเราใช้โทโพโลยีSierpińskiบน {true, false} (ie {false} เป็นชุดเปิด แต่ {true} ไม่ได้)

— แม็กซ์
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันไม่เข้าใจการไม่ต่อเนื่อง => ไม่สามารถคำนวณได้ฉันเดาว่าคุณใช้ทฤษฎีบท (อาจเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง) ที่ฉันไม่รู้จักหรือฉันจำไม่ได้ คุณช่วยอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขั้นตอนนี้ได้ไหม

— dbarbosa

1

"computable => ต่อเนื่อง" ดูเหมือนจะเป็นทฤษฎีบทพื้นบ้าน - ฉันไม่สามารถหาการอ้างอิงดั้งเดิมได้ ทฤษฎีการคำนวณเกี่ยวกับวัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุดและการเชื่อมต่อกับทอพอโลยีอธิบายได้ค่อนข้างดี (IMO) ในสไลด์ของหลักสูตรเหล่านี้โดย Brattka ( math.uni.wroc.pl/~pkowa/slides/brattka.pdf ) ข้อเสนอที่ 2 ในสไลด์ระบุว่าฟังก์ชันที่คำนวณได้ทั้งหมดในลำดับของธรรมชาตินั้นต่อเนื่อง รวมกับทฤษฎีบท 12 หนึ่งได้รับผลสำหรับฟังก์ชั่นประเภทอื่น ๆ

— สูงสุด

6

มันไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าตัวเลขที่คำนวณได้นั้นเท่ากับศูนย์หรือไม่

(ดังนั้น oracle การประมาณด้วยเหตุผลของคุณจะส่งกลับ 0 สำหรับทุก ๆ tried ที่คุณได้ลองบางทีคุณอาจไม่ได้ให้มันเล็กไปพอ))

ดังนั้นจึงไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าจำนวนที่คำนวณได้ระหว่าง-½ถึง + ½เป็นจำนวนเต็มหรือไม่

— Jeffε
แหล่งที่มา

2

ฟังก์ชั่นที่คำนวณได้นั้นแข็งแกร่งกว่าฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่องนั่นคือฟังก์ชั่นที่คำนวณใด ๆ จะต้องต่อเนื่องในทอพอโลยีข้อมูล

คุณต้องการดูว่าฟังก์ชันกำหนดโดย $F:\mathbb{R} \to \{Yes,No\}$

F (r) = {\begin{cases} Y E S & r \in Q \\ N O & o . w . \end{cases}

$F(r) = \begin{cases} YES & r\in \mathbb{Q}\\ NO & o.w. \end{cases}$

คำนวณได้

สมมติว่าคล้ายกับสิ่งที่คุณเขียนตัวเลขจริงจะได้รับจากสีดำกล่องและจำนวนจริงกล่องดำสามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้จำนวนเหตุผลของรูปแบบดังกล่าวว่าสำหรับการใด ๆ จำนวนธรรมชาติn $r$ $\frac{k}{2^{n}}$ $r \in [\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}]$ $n$

จากนั้นฟังก์ชั่นของคุณจะไม่ต่อเนื่องและดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณได้

นี่คือข้อโต้แย้งที่ขัดแย้งและตรงไปตรงมามากกว่านี้: ให้เป็นเครื่องจักร สมมติว่าจำนวนเป็น0สมมติว่าสำหรับผลตอบแทนกล่องดำn}] ถ้าไม่หยุดเราก็ทำเสร็จแล้ว ถ้ามันหยุดให้จำนวนมากที่สุดที่ได้ขอประมาณสำหรับที่จะเป็นเมตรจากนั้นข้อมูลที่เห็นมาถึงจุดนี้สอดคล้องกับจำนวนจริงที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วงเช่นมีข้อมูลไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง ถ้าตอบว่า $M$ $0$ $n$ $[-\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^n}]$ $M$ $M$ $m$ $M$ $[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$ $M$ $M$ $NO$ ดังนั้นคำตอบนั้นไม่ถูกต้อง ถ้ามันตอบเราสามารถพิจารณาใช้กับจำนวนอตรรกยะในช่วงและจะตอบไม่ถูกต้องเพราะจะ รับข้อมูลเดียวกันทั้งหมดจากกล่องดำ ดังนั้นไม่สามารถแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง $YES$ $M$ $[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$ $M$ $YES$ $M$

หลักฐานที่แสดงว่าฟังก์ชั่นการคำนวณใด ๆ จำเป็นต้องมีความต่อเนื่องคล้ายกัน

— Kaveh
แหล่งที่มา

เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบว่าตัวเลขที่คำนวณได้นั้นเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม?

เราจะรู้ได้อย่างไรว่าการดำเนินการถูกต้อง?

ตัวอย่าง: การแทนค่าตัวเลขธรรมชาติ

การใช้งานที่ถูกต้องของจำนวนจริง

การเป็นตัวแทนของ Tsuyoshi นั้นได้ดำเนินการบางอย่าง แต่ไม่ใช่RR\mathbb{R}

เราไม่สามารถทดสอบว่าจริงเป็นจำนวนเต็มหรือไม่

คุณธรรมของเรื่องราว

การเป็นตัวแทนของ Tsuyoshi นั้นได้ดำเนินการบางอย่าง แต่ไม่ใช่ $\mathbb{R}$