วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

ฉันต้องการที่จะเข้าใจว่าตัวแก้ปัญหา SDP ของ Arora-Kale นั้นใกล้เคียงกับการผ่อนคลายของ Goemans-Williamson ในเวลาเกือบเป็นเส้นตรงอย่างไร Plotkin-Shmoys-Tardos Solver แก้ปัญหา "การบรรจุ" และ "ครอบคลุม" ในเวลาเชิงเส้นได้อย่างไร เป็นการยกตัวอย่างของกรอบนามธรรม "การเรียนรู้จากผู้เชี่ยวชาญ" วิทยานิพนธ์ของ Kale มีการนำเสนอที่ยอดเยี่ยม แต่ฉันคิดว่ามันยากมากที่จะกระโดดเข้าไปในกรอบนามธรรมโดยตรงและฉันต้องการเริ่มต้นจากตัวอย่างของปัญหาง่าย ๆ ที่เห็นได้ชัดว่าควรทำอะไรแล้วย้ายไปที่ปัญหาทั่วไปมากขึ้น เพิ่ม "ฟีเจอร์" ให้กับอัลกอริธึมและการวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่น: Plotkin-Shmoys แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นของฝาครอบจุดสุดยอดที่ไม่ถ่วงได้อย่างไร จุดสุดยอดถ่วงน้ำหนักครอบคลุม? ตั้งฝาครอบหรือไม่ การจับคู่สองฝ่าย? ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่อัลกอริทึม Arora-Kale กำลังทำสิ่งที่น่าสนใจคืออะไร มันคำนวณค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ Laplacian ของกราฟได้อย่างไร (การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ Laplacian เทียบเท่ากับปัญหาในการแก้การผ่อนคลายแบบย่อของ Goemans-Williamson SDP ของ Max Cut ซึ่งแทนที่จะต้องให้แต่ละเวกเตอร์มีความยาวหนึ่งคุณต้องการผลรวมของกำลังสอง ของบรรทัดฐานที่จะ | V |.)

34 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  semidefinite-programming 

ปัญหาแบนด์วิดท์ขั้นต่ำคือการหาลำดับของโหนดกราฟบนบรรทัดจำนวนเต็มที่ลดระยะห่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างสองโหนดที่อยู่ติดกัน kkk -caterpillar เป็นต้นไม้ที่เกิดขึ้นจากเส้นทางหลักโดยการปลูกเส้นทางขอบเคลื่อนของความยาวที่มากที่สุดkkkจากโหนด ( kkkเรียกว่าความยาวของผม) ปัญหาแบนด์วิดท์ขั้นต่ำคือPPPสำหรับหนอนผีเสื้อ 2 ตัว แต่เป็นยังไม่มีข้อความPNPNPสมบูรณ์สำหรับหนอนผีเสื้อ 3 ตัว นี่คือความจริงที่น่าสนใจมากปัญหาแบนด์วิดท์ขั้นต่ำสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับหนอนผีเสื้อ 1 ตัว (ความยาวขนมากที่สุด) แต่มันคือยังไม่มีข้อความPNPNPสมบูรณ์สำหรับวงจร 1 หนอนผีเสื้อ (ในวงจรหนอนขอบหนึ่งถูกเพิ่มเพื่อเชื่อมต่อ จุดสิ้นสุดของเส้นทางหลัก) ดังนั้นการเพิ่มของหนึ่งขอบทำให้ปัญหายังไม่มีข้อความPNPNPสมบูรณ์ อะไรคือตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของปัญหาการกระด้างของความแข็งซึ่งการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ของอินสแตนซ์อินพุททำให้เกิดการสลับซับซ้อนจากการแก้ปัญหาแบบพหุนามเวลาถึงความสมบูรณ์แบบของพียังไม่มีข้อความPNPNP

34 cc.complexity-theory 

เรามักจะได้ยินเกี่ยวกับการวิจัยแบบคลาสสิกและสิ่งพิมพ์ในสาขาของความซับซ้อนในการคำนวณ (Turing, Cook, Karp, Hartmanis, Razborov และอื่น ๆ ) ฉันสงสัยว่ามีเอกสารที่ตีพิมพ์เมื่อเร็ว ๆ นี้พิจารณาว่าเป็นน้ำเชื้อและต้องอ่านหรือไม่ โดยล่าสุดฉันหมายถึงในช่วง 5/10 ปีที่ผ่านมา

34 cc.complexity-theory  big-list 

ฉันสงสัยว่าจำนวนมากที่สุดคืออะไรในขณะนี้ซึ่งเป็นที่ทราบว่าปัญหาทางธรรมชาติมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:kkk ขั้นตอนวิธีการได้รับการพบแล้วสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นO ( nk)O(nk)O(n^k) สำหรับการใด ๆ คงไม่มีO ( n k - ε )อัลกอริทึมเป็นที่รู้จักสำหรับปัญหาเดียวกัน (โปรดทราบว่ามีอัลกอริธึมที่เร็วกว่าm a yแต่มันยังไม่เป็นที่รู้จักดังนั้นฉันไม่ได้มองหาขอบเขตล่างที่พิสูจน์แล้ว)ϵ > 0ϵ>0\epsilon>0O ( nk - ϵ)O(nk−ϵ)O(n^{k-\epsilon})m Ymaymay คำอธิบายปัญหาตัวเองไม่ได้ขึ้นอยู่กับk(เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องแยกกรณีที่เป็นพารามิเตอร์เช่น "ค้นหากลุ่มขนาดkในกราฟอินพุตสำหรับค่าคงที่k ")kkkkkkkkk ในแง่หนึ่งปัญหาดังกล่าวอาจถือว่าเป็นปัญหาที่ยากที่สุดเป็นที่รู้จักเป็นธรรมชาติใน (เกี่ยวกับเลขชี้กำลังของอัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุด)PP\bf P

33 cc.complexity-theory  ds.algorithms 

หากมีการ จำกัด เครื่องจักรทัวริงให้กับเทป จำกัด (เช่นการใช้พื้นที่ จำกัด ) ดังนั้นปัญหาการหยุดชะงักจึงสามารถตัดสินใจได้เนื่องจากส่วนใหญ่ของขั้นตอน (ซึ่งสามารถคำนวณได้จากจำนวนสถานะQและSและ ขนาดตัวอักษร) การกำหนดค่าจะต้องทำซ้ำSSSQQQSSS มีข้อ จำกัด ตามธรรมชาติอื่น ๆ ของทัวริงที่ทำให้การหยุดชะงักสามารถตัดสินใจได้หรือไม่? แน่นอนว่าหากกราฟการเปลี่ยนสถานะไม่มีลูปหรือรอบการหยุดชั่วคราวจะสามารถตัดสินใจได้ อื่น ๆ ?

33 turing-machines  decidability 

จากจุดสามัญสำนึกในมุมมองของมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเชื่อว่าการเพิ่มไม่ใช่ชะตาจะอย่างมีนัยสำคัญขยายอำนาจของตนเช่นมีขนาดใหญ่กว่า {P} ท้ายที่สุดแล้วการไม่กำหนดระดับจะอนุญาตให้มีการขนานแบบเอกซ์โพเนนเชียลซึ่งไม่ต้องสงสัยเลยว่ามีพลังมาก N P PPP\mathsf{P}N PNP\mathsf{NP}PP\mathsf{P} ในทางตรงกันข้ามถ้าเราเพิ่งเพิ่มความไม่สม่ำเสมอให้กับ , ได้รับ แล้วสัญชาตญาณจะชัดเจนน้อยกว่า (สมมติว่าเราแยกภาษาที่ไม่ใช่แบบเรียกซ้ำที่อาจเกิดขึ้นใน ) ใคร ๆ ก็คาดหวังว่าการอนุญาตให้อัลกอริธึมเวลาแบบโพลิโนเมียลที่แตกต่างกันสำหรับความยาวอินพุตที่ต่างกัน (แต่ไม่ออกจากขอบเขตแบบเรียกซ้ำ) เป็นส่วนขยายที่มีประสิทธิภาพน้อยกว่าการขนานแบบเอกซ์โพเนนเชียลP / p o l y P / p o l yPP\mathsf{P}P / polyP/poly\mathsf{P}/polyP / polyP/poly\mathsf{P}/poly อย่างไรก็ตามที่น่าสนใจถ้าเราเปรียบเทียบคลาสเหล่านี้กับคลาสใหญ่มากเราจะเห็นสถานการณ์ที่ต่อต้านได้ง่ายต่อไปนี้ เรารู้ว่ามีอย่างถูกต้องซึ่งไม่น่าแปลกใจ (อนุญาตให้มีการทวีคูณทวีคูณแบบทวีคูณ ) ในขณะนี้เราไม่สามารถได้N E X PN E X PNEXP\mathsf{NEXP}N E X PNEXP\mathsf{NEXP} N E X …

33 cc.complexity-theory  complexity-classes  big-picture 

ฉันมีคำถามทางประวัติศาสตร์ ฉันกำลังพยายามที่จะตรวจสอบการอ้างอิงสำหรับความจริงที่ว่า 3-colourability ของกราฟ (หรือ -colourability สำหรับ ) เป็น NP-hardk ≥ 3kkkk ≥ 3k≥3k\geq 3 คำตอบที่ดึงดูดคือ "กระดาษต้นฉบับของ Karp" แต่นั่นเป็นสิ่งที่ผิด นี่คือการสแกน: reducibility ท่ามกลางปัญหา Combinatorial, คาร์พ (1972) มันพิสูจน์ได้ว่าหมายเลขรงค์ (อินพุต: กราฟผลผลิต: ) นั้นยาก นั่นเป็นปัญหาที่ยากขึ้นและการลดลงนั้นแตกต่างจากการสร้างแกดเจ็ตมาตรฐาน (มี 3 สีจริงเท็จและกราวด์) ที่มีความแข็งถึง 3 สีχ ( G )χ(G)\chi(G) Garey and Johnson, คอมพิวเตอร์และการล่วงล้ำ, มี -colourability เป็น [GT4] และอ้างถึง Karp …

33 np-hardness  ho.history-overview 

เรา "รู้" ว่ามีชื่อว่า Steve Cook และ\ mathsf {NC}มีชื่อสำหรับ Nick Pippenger ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดสตีฟคุกให้ชื่อว่า NC เป็นเกียรติแก่ Nick Pippenger และฉันก็บอกว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นเป็นจริงเช่นกัน แต่ผมไม่สามารถที่จะหาหลักฐานใด ๆ ของความเป็นจริงหลังนี้ในกระดาษทั้ง Steve Cook บน DCFLs หรือนิสันของหลักฐานว่า\ mathsf {RL} \ subseteq \ mathsf {SC}N C R L ⊆ S CSCSC\mathsf{SC}NCNC\mathsf{NC}RL⊆SCRL⊆SC\mathsf{RL} \subseteq \mathsf{SC} มีหลักฐานใดบ้างเกี่ยวกับการอ้างสิทธิ์ในภายหลังหรือเป็นเพียง "อากาศ"? ป.ล. ฉันถามเพราะฉันกำลังดูตัวอย่างของกฎของ Epigy Stiglerและสงสัยว่าฉันจะเรียกว่า "Stigler Reciprocity": สิ่งที่คิดค้นโดย A นั้นตั้งตามชื่อ …

33 cc.complexity-theory  ho.history-overview 

ฉันมีฐานที่แข็งแกร่งในพีชคณิตนั่นคือ พีชคณิตสลับ พีชคณิต homological ทฤษฎีสนาม ทฤษฎีหมวดหมู่ และฉันกำลังเรียนเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ฉันเป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความโน้มเอียงที่จะเปลี่ยนไปใช้วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี การรักษาเขตข้อมูลที่กล่าวถึงข้างต้นในใจซึ่งสาขาใดจะเป็นสาขาที่เหมาะสมที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีที่จะเปลี่ยน? นั่นคือในทางใดที่ทฤษฎีและคณิตศาสตร์สามารถได้รับวุฒิภาวะโดยการใฝ่หาข้อมูลด้านบนจะถูกนำมาใช้เพื่อประโยชน์ของคน?

33 soft-question  algebra  advice-request  ct.category-theory 

ฉันไม่คิดว่าฉันเข้าใจคลาสประเภท ฉันได้อ่านที่ไหนสักแห่งที่คิดว่า class classes เป็น "interfaces" (จาก OO) ที่การใช้งานประเภทนั้นผิดและทำให้เข้าใจผิด ปัญหาคือฉันมีปัญหาที่เห็นพวกเขาเป็นสิ่งที่แตกต่างและวิธีการที่ผิด ตัวอย่างเช่นถ้าฉันมีคลาสประเภท (ในไวยากรณ์ Haskell) class Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f b มันแตกต่างจากอินเตอร์เฟส [1] อย่างไร (ในไวยากรณ์ Java) interface Functor<A> { <B> Functor<B> fmap(Function<B, A> fn) } interface Function<Return, Argument> { Return apply(Argument arg); } …

33 pl.programming-languages  type-theory  type-systems 

เรารู้ว่าถ้าคุณมีเครื่อง PSPACE มันมีพลังมากพอที่จะพิสูจน์การโต้ตอบของลำดับชั้นพหุนามในทุกระดับ (และถ้าฉันจำได้ถูกต้องสิ่งที่คุณต้องการคือ #P) แต่สมมติว่าคุณต้องการแสดงหลักฐานการเป็นสมาชิกแบบโต้ตอบในภาษามันเพียงพอที่จะสามารถแก้ปัญหาในΣ 2 ได้ไหม? การแก้ปัญหาในΣ 5เพียงพอหรือไม่ โดยทั่วไปถ้าคุณสามารถแก้Σ kหรือΠ kปัญหาสำหรับสิ่งΣ ℓนี้เพียงพอที่จะสร้างบทพิสูจน์การโต้ตอบของ languates ทั้งหมดในΣ ℓ ?Σ2Σ2\Sigma_2Σ2Σ2\Sigma_2Σ5Σ5\Sigma_5ΣkΣk\Sigma_kΠkΠk\Pi_kΣℓΣℓ\Sigma_\ellΣℓΣℓ\Sigma_\ell คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามการแลกเปลี่ยนสแต็คของ cstheoryนี้

33 cc.complexity-theory  interactive-proofs 

ไม่กี่ปีที่ผ่านมามีงานบางส่วนของโจเอลฟรีดแมนที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตล่างของวงจรโฮโมโลจี้เพื่อ Grothendieck (ดูเอกสาร: http://arxiv.org/abs/cs/0512008 , http://arxiv.org/abs/cs/0604024 ) แนวความคิดนี้ทำให้เกิดความเข้าใจใหม่ ๆ เกี่ยวกับความซับซ้อนของบูลีนหรือว่ามันยังคงเป็นความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์หรือไม่?

33 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions 

ใน "ในชะตาเมื่อเทียบกับการไม่นิยมและปัญหาที่เกี่ยวข้อง" (พรอ. IEEE FOCS หน้า 429-438, 1983), พอล Pippenger, Szemerédiและร็อตเตอร์พิสูจน์ให้เห็นว่า NTIME(n)≠DTIME(n)NTIME(n)≠DTIME(n)\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n) . นี่ตอบคำถามของฉันด้วย k = 1 มีสิ่งใดที่ทราบเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับ k ที่มีค่าคงที่อื่นหรือไม่

33 cc.complexity-theory 

พิจารณาปัญหาการนับต่อไปนี้ (หรือปัญหาการตัดสินใจที่เกี่ยวข้อง): กำหนดจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่เข้ารหัสในไบนารีคำนวณตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของพวกเขา (gcd) คลาสที่ซับซ้อนที่สุดที่เล็กที่สุดปัญหานี้มีอยู่ในอะไร? คุณสามารถให้การอ้างอิงได้หรือไม่? ในคำถามนี้ฉันไม่ได้สนใจเรื่องขอบเขตเชิงเส้นตายในเวลาทำงาน แต่เป็นการเรียนที่ซับซ้อน ปัญหาใน AC หรือไม่ สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่โกหกใน AC0 หรือไม่ คลาสความซับซ้อนอื่น ๆ ภายใน P ที่เกี่ยวข้องที่นี่คืออะไร

33 cc.complexity-theory  reference-request  complexity-classes  nt.number-theory 

คำถามนี้ถูกถามถึง Jeannette Wing หลังจากการนำเสนอ PCASTของเธอเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ “ จากมุมมองทางฟิสิกส์มีปริมาณข้อมูลสูงสุดที่เราสามารถทำได้หรือไม่” (เป็นคำถามท้าทายที่ดีสำหรับชุมชนวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีเพราะฉันคิดว่ามันเป็นคำถามที่ว่า "ข้อมูลคืออะไร") นอกเหนือจาก "ข้อมูลคืออะไร" เราควรเข้าใจว่า "ปริมาณ" หมายถึงอะไรในบริบทนี้ บางทีความหนาแน่นสูงสุดของข้อมูลเป็นวิธีที่ดีกว่า

33 it.information-theory  physics