คำถามติดแท็ก cg.comp-geom

สมมติว่ามาริโอกำลังเดินอยู่บนพื้นผิวของดาวเคราะห์ หากเขาเริ่มเดินจากที่ตั้งที่รู้จักไปในทิศทางที่กำหนดสำหรับระยะทางที่กำหนดไว้เราจะทราบได้อย่างรวดเร็วว่าจะหยุดที่ใด อีกอย่างเป็นทางการเช่นสมมติว่าเราจะได้รับนูน polytopeใน 3 พื้นที่ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นบนพื้นผิวของทิศทางเวกเตอร์ (ในระนาบของแง่มุมบางอย่างที่มี ) และระยะไกล\เราจะทราบได้อย่างไรว่า Mario ตัวไหนที่จะหยุดอยู่ข้างในได้เร็วแค่ไหน? (ในฐานะที่เป็นจุดทางเทคนิคสมมติว่าหากมาริโอเข้าสู่จุดสุดยอดของเขาจะระเบิดทันทีโชคดีที่สิ่งนี้แทบจะไม่เคยเกิดขึ้นเลย)PPPsssPPPvvvpppℓℓ\ellPPPPPP หรือถ้าคุณต้องการ: สมมติว่าเราจะได้รับ polytopeจุดแหล่งและทิศทางเวกเตอร์ล่วงหน้า หลังจาก preprocessing วิธีการอย่างรวดเร็วเราสามารถตอบคำถามสำหรับระยะทางที่กำหนด ?PPPsssvvvℓℓ\ell มันง่ายมากที่จะติดตามรอยเท้าของมาริโอโดยเฉพาะถ้ามีแง่มุมสามเหลี่ยม เมื่อใดก็ตามที่มาริโอเข้าสู่ด้านหนึ่งของขอบเราสามารถกำหนดในเวลาซึ่งอีกสองขอบเขาต้องผ่าน แม้ว่าเวลาทำงานของขั้นตอนวิธีนี้เป็นเส้นตรงเท่านั้นในจำนวนของขอบนํ้ามันมากมายเป็นหน้าที่ของขนาดการป้อนข้อมูลเพราะระยะทางที่อาจจะเป็นพลขนาดใหญ่กว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของPเราทำได้ดีกว่านี้ไหมPPPO(1)O(1)O(1)ℓℓ\ellPPP (ในทางปฏิบัติความยาวเส้นทางไม่ได้มากมายจริง; มีขอบเขตบนโลกในแง่ของจำนวนบิตที่จำเป็นเพื่อแสดงการป้อนข้อมูล แต่ยืนยันในปัจจัยการผลิตจำนวนเต็มยกประเด็นตัวเลขบางอย่างค่อนข้างน่ารังเกียจ - วิธีทำเราคำนวณ. ตรงที่ เพื่อหยุด? - งั้นลองทำกับอินพุตจริงและเลขคณิตจริงที่แน่นอน) มีสิ่งใดที่ไม่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหานี้หรือไม่? อัปเดต:จากความเห็นของ julkiewicz ดูเหมือนว่าเวลาทำงานจริงของ RAM จะ จำกัด ขอบเขตอย่างหมดจดในแง่ของ (ความซับซ้อนของ polytope) เป็นไปไม่ได้ พิจารณากรณีพิเศษของสองด้านหน่วยตารางกับมาริโอเริ่มต้นที่และเดินไปในทิศทาง(1,0)มาริโอจะหยุดที่ด้านหน้าหรือด้านหลังของตารางขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของจำนวนเต็มที่\ เราไม่สามารถคำนวณฟังก์ชันพื้นในเวลาอย่างต่อเนื่องในแรมจริงเว้นแต่ว่าเรากำลังมีความสุขPSPACE การเทียบและ P แต่เราสามารถคำนวณในnnn[0,1]2[0,1]2[0,1]^2(0,1/2)(0,1/2)(0,1/2)(1,0)(1,0)(1,0)⌊ℓ⌋⌊ℓ⌋\lfloor \ell \rfloor⌊ℓ⌋⌊ℓ⌋\lfloor \ell …

140 ds.algorithms  cg.comp-geom 

พิจารณาครอบครัวเคลื่อนของส่วนย่อยของ {1,2 ... , n}, F 1 , F 2 , ... Fเสื้อเสื้อttF1, F2, … Fเสื้อF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} สมมติว่า (*) ทุก และทุกR ∈ FฉันและT ∈ F kมีS ∈ F Jซึ่งมีR ∩ Tฉัน< j < ki<j<ki \lt j \lt kR ∈ FผมR∈FiR \in {\cal F}_iT∈ FkT∈FkT \in {\cal F}_kS∈FjS∈FjS …

52 co.combinatorics  cg.comp-geom  open-problem  linear-programming 

พื้นหลัง การคำนวณจำนวนจริงมีความซับซ้อนมากกว่าการคำนวณจำนวนธรรมชาติเนื่องจากจำนวนจริงเป็นวัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุดและมีจำนวนจริงมากมายนับไม่ถ้วนดังนั้นจำนวนจริงจึงไม่สามารถแสดงอย่างเป็นจริงได้ด้วยจำนวน จำกัด บนตัวอักษรที่ จำกัด ซึ่งแตกต่างจากความสามารถในการคำนวณแบบดั้งเดิมในขอบเขต จำกัด ที่รูปแบบการคำนวณที่แตกต่างกันเช่น: แลมบ์ดาแคลคูลัส, ทัวริงจักร, ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ, ... กลายเป็นสิ่งที่เท่าเทียมกัน (อย่างน้อยสำหรับการคำนวณ ตัวเลขจริงซึ่งไม่เข้ากัน ตัวอย่างเช่นในโมเดลTTE (ดู [Wei00]) ซึ่งเป็นรูปแบบเครื่องทัวริงคลาสสิกที่ใกล้เคียงที่สุดตัวเลขจริงจะแสดงโดยใช้เทปอินพุทที่ไม่มีที่สิ้นสุด (เช่นออริกาของทัวริง) และไม่สามารถตัดสินใจเปรียบเทียบและ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันระหว่างตัวเลขทั้งสองให้เป็นจำนวนจริง (ในเวลา จำกัด ) ในทางกลับกันในรุ่น BBS / real-RAM ซึ่งคล้ายกับรุ่นของเครื่อง RAMเรามีตัวแปรที่สามารถเก็บจำนวนจริงโดยพลการและการเปรียบเทียบและความเท่าเทียมกันเป็นหนึ่งในการดำเนินงานปรมาณูของรูปแบบ ด้วยเหตุผลนี้และเหตุผลที่คล้ายคลึงกันผู้เชี่ยวชาญหลายคนบอกว่าแบบจำลอง BSS / real-RAM ไม่เหมือนจริง (ไม่สามารถนำไปใช้ได้อย่างน้อยก็ไม่ได้อยู่ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัลปัจจุบัน) และพวกเขาชอบ TTE หรือโมเดลอื่น ๆ ที่เทียบเท่ากับ TTE โมเดล Ko-Friedman ฯลฯ ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องโมเดลการคำนวณเริ่มต้นที่ใช้ในComputational GeometryคือโมเดลBSS (aka real-RAM …

40 cc.complexity-theory  cg.comp-geom  computing-over-reals  computable-analysis 

ปัญหาทางเรขาคณิตเป็นเรื่องง่ายเมื่อพิจารณาในแต่ NP-complete ในสำหรับ (รวมถึงหนึ่งในปัญหาที่ฉันโปรดปรานฝาครอบดิสก์ยูนิต)R d d ≥ 2R1R1R^1RdRdR^dd≥ 2d≥2d\geq2 ไม่มีใครรู้ปัญหาที่ polytime สามารถแก้ไขได้สำหรับและแต่ NP-complete สำหรับหรือไม่? R 2 R d , d ≥ 3R1R1R^1R2R2R^2Rd,d≥3Rd,d≥3R^d,d\geq3 โดยทั่วไปแล้วมีปัญหาอะไรบ้างที่ NP-complete สำหรับแต่ Polytime สามารถแก้ไขได้สำหรับที่ ?R k - 1 k ≥ 3RkRkR^kRk−1Rk−1R^{k-1}k≥3k≥3k\geq3

37 cc.complexity-theory  reference-request  cg.comp-geom 

ฉันสนใจในความซับซ้อนแบบแปรผันของสิ่งที่ฉันจะเรียกว่าปัญหาชุดมิติกระทบมิติ: กำหนดพื้นที่พิสัย (เช่นชุดระบบ / ไฮเปอร์กราฟกราฟ) S = (X, R) มีมิติ VC มากที่สุดและ จำนวนเต็มบวก k, X มีชุดย่อยของขนาด k ที่กระทบทุกช่วงใน R หรือไม่? เวอร์ชันของพารามิเตอร์ของปัญหาถูกทำให้เป็นพารามิเตอร์โดย k ค่าของ d คืออะไรปัญหา d-Dimitting Hitting Set ใน FPT ใน W [1]? W [1] -hard? W [2] -hard? สิ่งที่ฉันรู้สามารถสรุปได้ดังนี้: ชุดการกดปุ่ม 1 มิติอยู่ใน P และอยู่ใน FPT ถ้า S มีมิติที่ 1 …

37 cc.complexity-theory  cg.comp-geom  set-cover  parameterized-complexity  vc-dimension 

หนึ่งในสิ่งที่ดีเกี่ยวกับการมีวิวัฒนาการในเอกภพที่มีมิติสามมิติคือเราได้พัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเกี่ยวกับวัตถุในอวกาศ ตัวอย่างเช่นเราสามารถนึกถึง triplet ของตัวเลขเป็นจุดใน 3-d ดังนั้นการคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขสามเท่าเป็นการคำนวณเกี่ยวกับจุดใน 3-d ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้สัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับอวกาศ สิ่งนี้ดูเหมือนจะแนะนำว่าควรเป็นไปได้ในบางครั้งเพื่อแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงเรขาคณิตโดยใช้เทคนิคจากเรขาคณิต ไม่มีใครรู้ตัวอย่างดังกล่าวหรือไม่ แน่นอนคำว่า 'เรขาคณิต' และ 'ไม่ใช่เรขาคณิต' นั้นค่อนข้างคลุมเครือเล็กน้อย หนึ่งสามารถยืนยันว่าปัญหาทางเรขาคณิตใด ๆ จริง ๆ แล้วไม่ใช่เรขาคณิตถ้าคุณแทนที่จุดทั้งหมดด้วยพิกัดของพวกเขา แต่ความหมายชัดเจนโดยสังหรณ์ใจ สมมุติว่าเราเรียกรูปทรงเรขาคณิตว่าถ้าเราจะพิจารณาส่งบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้ไปยัง SoCG

28 big-list  cg.comp-geom  big-picture 

เป็นที่ทราบกันว่าได้รับเซตย่อย point ของ (นั่นคือได้รับคะแนนในด้วยระยะทางแบบยุคลิด) มันเป็นไปได้ที่จะฝังไว้ในสามมิติ\ ell ^ {n \ select 2 }nnnℓd2ℓ2d\ell_2^dnnnRdRd{\mathbb R}^dℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 isometry คำนวณได้หรือไม่ในเวลาที่เป็นพหุนาม เนื่องจากมีปัญหาความแม่นยำ จำกัด คำถามที่แม่นยำคือ รับชุดXXXของnnnคะแนนในRdRd{\mathbb R}^dและϵ>0ϵ>0\epsilon >0มีการแม็พf:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}คำนวณได้ (อาจใช้การสุ่ม) พหุนามเวลาในnnnและลอการิทึมใน1/ϵ1/ϵ1/\epsilonเช่นนั้นสำหรับทุกๆx,y∈Xx,y∈Xx,y\in Xเรามี ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1 (หมายเหตุ: ฉันทราบว่าการแมปที่มีการบิดเบือน(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon)สามารถพบได้ด้วยความน่าจะเป็นสูงในเวลาพหุนามในnnnและ1/ϵ1/ϵ1/\epsilonโดยฉายบนO(ϵ−2⋅logn)O(ϵ−2⋅log⁡n)O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)สุ่มเส้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสามารถลดขนาดมิติได้อย่างสร้างสรรค์เป็น(n2)(n2)n\choose 2หรือแม้กระทั่งO(n2)O(n2)O(n^2)เมื่อ1/ϵ1/ϵ1/\epsilonมีขนาดใหญ่กว่าnnnและฉันไม่รู้ว่ามี เป็นวิธีเวลาพหุนามในการจัดการกรณีที่1/ϵ1/ϵ1/\epsilonเป็นเลขชี้กำลังเป็นnในnnn)

27 cg.comp-geom  metrics  embeddings 

พิจารณาร่างกายนูนศูนย์กลางที่กำเนิดและสมมาตร (เช่นถ้าแล้ว ) ฉันต้องการหาตัวนูนที่แตกต่างเช่นและการวัดต่อไปนี้จะลดลง:KKKx∈Kx∈Kx\in K−x∈K−x∈K-x\in KLLLK⊆LK⊆LK\subseteq L f(L)=E(xT⋅x−−−−−√)f(L)=E(xT⋅x)f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})โดยที่คือจุดที่เลือกอย่างสุ่มจาก Lxxx ฉันโอเคกับการประมาณปัจจัยคงที่กับการวัด บางบันทึกย่อ - การเดาที่เข้าใจง่ายเป็นครั้งแรกว่านั้นเป็นคำตอบที่ผิด ยกตัวอย่างเช่นคิดว่าเป็นกระบอกสูบบาง ๆ ในมิติที่สูงมาก จากนั้นเราจะได้ซึ่งโดยให้มีระดับเสียงใกล้เคียงกับจุดกำเนิดมากขึ้นKKKKKKLLLf(L)&lt;f(K)f(L)&lt;f(K)f(L)<f(K)LLL

23 cg.comp-geom  approximation  convex-geometry 

คอมพิวเตอร์ควอนตัมดีมากสำหรับการสุ่มตัวอย่างการแจกแจงที่เราไม่รู้วิธีการสุ่มตัวอย่างโดยใช้คอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม ตัวอย่างเช่นถ้า f เป็นฟังก์ชันบูลีน (จากถึง- 1 , 1 ) ที่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามแล้วด้วยคอมพิวเตอร์ควอนตัมเราสามารถสุ่มตัวอย่างได้อย่างมีประสิทธิภาพตามการกระจายที่อธิบายโดย (เราไม่รู้ว่าจะทำอย่างไรกับคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม){ - 1 , 1 }n{−1,1}n\{-1,1\}^n- 1 , 1−1,1{-1,1} เราสามารถใช้คอมพิวเตอร์ควอนตัมเพื่อสุ่มตัวอย่างหรือประมาณตัวอย่างสุ่มจุดในรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายโดยระบบของความไม่เท่าเทียมกัน n ในตัวแปร d หรือไม่? การย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันไปยังจุดต่าง ๆ นั้นดูเหมือนกับฉันว่าเป็น "การเปลี่ยนแปลง" ยิ่งไปกว่านั้นฉันก็ยินดีที่จะได้เห็นอัลกอริธึมควอนตัมแม้ว่าคุณจะแก้ไขการกระจายตัวเช่นพิจารณาผลิตภัณฑ์ของการแจกแจงแบบเกาส์ที่อธิบายโดยไฮเปอร์เพลนของรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือสิ่งอื่น ๆ ข้อสังเกตบางประการ: Dyer, Frieze และ Kannan ค้นพบอัลกอริธึมเวลาพหุนามคลาสสิกที่มีชื่อเสียงสำหรับกลุ่มตัวอย่างโดยประมาณและคำนวณปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยประมาณ อัลกอริทึมนั้นมาจากการเดินสุ่มและการผสมอย่างรวดเร็ว ดังนั้นเราต้องการค้นหาอัลกอริทึมควอนตัมที่แตกต่างกันเพื่อจุดประสงค์เดียวกัน (ตกลงเราสามารถหวังว่าอัลกอริทึมควอนตัมอาจนำไปสู่สิ่งต่าง ๆ ในบริบทนี้เราไม่ทราบว่าจะทำแบบคลาสสิก แต่เพื่อเริ่มต้นสิ่งที่เราต้องการคืออัลกอริทึมที่แตกต่างกันนี้จะต้องเป็นไปได้) ประการที่สองเราไม่ได้ยืนยันในการสุ่มตัวอย่างการกระจายเครื่องแบบโดยประมาณ เรายินดีที่จะทดลองตัวอย่างการกระจายที่ดีอื่น ๆ ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยประมาณในรูปทรงหลายเหลี่ยมของเรา มีการโต้แย้งโดย Santosh Vampala (และโดยฉันในบริบทอื่น) …

23 quantum-computing  cg.comp-geom  optimization 

ฉันสนใจปัญหาของการบรรจุสำเนาที่เหมือนกันของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (2 มิติ) ลงในรูปหลายเหลี่ยมนูน (2 มิติ) โดยไม่ทับซ้อนกัน ในปัญหาของฉันคุณไม่ได้รับอนุญาตให้หมุนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามารถสันนิษฐานได้ว่าพวกมันวางขนานกับแกน คุณได้รับขนาดของสี่เหลี่ยมและจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมและถามว่าคุณสามารถบรรจุสำเนาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมือนกันจำนวนเท่าไรลงในรูปหลายเหลี่ยมได้ หากคุณได้รับอนุญาตให้หมุนรูปสี่เหลี่ยมปัญหานี้เป็นที่รู้กันว่า NP- ยากฉันเชื่อว่า อย่างไรก็ตามสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันถ้าคุณไม่สามารถ? ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนูนออกมาเป็นแค่สามเหลี่ยม? มีวิธีการประมาณที่รู้จักกันดีหรือไม่หากปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-hard สรุปจนถึงปัจจุบัน (21 มีนาคม '11) Peter Shor สังเกตว่าเราสามารถพิจารณาว่าปัญหานี้เป็นหนึ่งในหน่วยบรรจุสี่เหลี่ยมในรูปหลายเหลี่ยมนูนและปัญหานั้นอยู่ใน NP หากคุณกำหนดจำนวนพหุนามที่ถูกผูกไว้กับจำนวนสี่เหลี่ยม / สี่เหลี่ยมที่จะบรรจุ Sariel Har-Peled ชี้ให้เห็นว่ามี PTAS สำหรับกรณีที่ จำกัด ด้วยพหุนามเดียวกัน อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปจำนวนสแควร์สที่บรรจุสามารถเป็นเลขชี้กำลังในขนาดของอินพุตซึ่งประกอบด้วยรายการจำนวนเต็มคู่สั้น ๆ เท่านั้น ดูเหมือนคำถามต่อไปนี้จะเปิด รุ่นที่ไม่มีขีด จำกัด เต็มรูปแบบใน NP หรือไม่ มี PTAS สำหรับรุ่นที่ไม่มีข้อ จำกัด หรือไม่ เป็นกรณีที่ถูกจำกัดความโดยพหุนามใน P …

23 reference-request  np-hardness  cg.comp-geom  optimization  packing 

ฉันสนใจในความซับซ้อนของการตัดสินใจว่ารูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่แบบง่ายนั้นให้ความเรียบง่ายเกือบทั้งสองอย่างเป็นทางการหรือไม่: ไม่ใช่แบบง่ายๆหรือแบบไขว้กัน เนื่องจากข้อกำหนดเหล่านี้ยังไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางให้ฉันเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความบางอย่าง PPPp0,p1,p2,…,pn−1p0,p1,p2,…,pn−1p_0, p_1, p_2, \dots, p_{n-1}pipip_ipipi+1modnpipi+1modnp_i p_{i+1\bmod n} รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่ายถ้าจุดยอดทั้งหมดแตกต่างกันและขอบตัดกันที่จุดปลายเท่านั้น รูปหลายเหลี่ยมนั้นเรียบง่ายถ้ามันเป็นโฮมโมมอร์ฟิคกับวงกลมและขอบทุกด้านมีความยาวเป็นบวก อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้วจุดยอดและขอบของรูปหลายเหลี่ยมอาจตัดกันโดยพลการหรืออาจเกิดขึ้นพร้อมกันก็ได้ 1nnn พิจารณาเส้นทางรูปหลายเหลี่ยมและที่จุดตัดเป็นจุดย่อยทั่วไปของทั้งสอง (อาจเป็นจุดเดียว) เราบอกว่าและข้ามถ้าปลายทางของพวกเขาสำรองในขอบเขตของพื้นที่ใกล้เคียงที่พบ subpath ที่B รูปหลายเหลี่ยมเป็นตัวเองข้ามถ้ามันมีสอง subpaths ข้ามและ ที่ไม่ใช่ตัวเองข้ามเป็นอย่างอื่น 2AAABBBAAABBB A(0),B(0),A(1),B(1)A(0),B(0),A(1),B(1)A(0), B(0), A(1), B(1)A∩BA∩BA\cap B รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่ายนิดหน่อยถ้ามันเป็นข้อ จำกัด ของลำดับของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายหรืออย่างเท่าเทียมกันหากมีการรบกวนเล็ก ๆ น้อย ๆ โดยพลการของจุดยอดที่ทำให้รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่าย รูปหลายเหลี่ยมที่เรียบง่ายทุกจุดที่ไม่สามารถข้ามได้ อย่างไรก็ตามรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ข้ามตัวเองนั้นไม่ง่ายนัก ตัวอย่างเช่นพิจารณาหกจุดแสดงด้านล่างa,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,y รูปหลายเหลี่ยมนั้นง่าย ดูรูปด้านซ้ายabpqyzabpqyzabpqyz รูปหลายเหลี่ยมง่ายนิดหน่อย; รูปกลางแสดงรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายที่อยู่ใกล้เคียง อย่างไรก็ตามรูปหลายเหลี่ยมนี้ไม่ง่ายเพราะมันเข้าชมสามครั้งpapbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqppp รูปหลายเหลี่ยมเป็นการข้ามตนเองเนื่องจาก subpathsและ cross ดูตัวเลขที่เหมาะสมสำหรับสัญชาตญาณบางอย่างpapbpqzqyqpapbpqzqyqpapbpqzqyqbpqzbpqzbpqzyqpayqpayqpa ในที่สุดรูปหลายเหลี่ยม (ซึ่งลมสองรอบรูปหลายเหลี่ยมกลาง) …

22 ds.algorithms  cg.comp-geom  polygon 

สมมติว่าเราได้รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปะติดปะต่อกันในระนาบและสองจุดและอยู่นอกรูปหลายเหลี่ยม ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของยุคลิดคือการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดของยุคลิดจากถึงที่ไม่ตัดกันภายในของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ สำหรับ concreteness ขอให้เราสมมติว่าพิกัดของและและพิกัดของจุดยอดรูปหลายเหลี่ยมทุกอันเป็นจำนวนเต็มsssเสื้อเสื้อtsssเสื้อเสื้อtsssเสื้อเสื้อt สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ในเวลาพหุนามหรือไม่? เครื่องวัดตำแหน่งทางภูมิศาสตร์ส่วนใหญ่จะบอกว่าใช่แน่นอน: John Hershberger และ Subhash Suriอธิบายถึงอัลกอริทึมที่คำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดของ Euclidean ในเวลาและเวลานี้เหมาะสมที่สุดในแบบจำลองการคำนวณเชิงพีชคณิต น่าเสียดายที่อัลกอริทึมของ Hershberger และ Suri (และอัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องเกือบทั้งหมดก่อนและหลัง) ดูเหมือนว่าจะต้องใช้เลขคณิตจริงที่แน่นอนในความหมายที่เข้มงวดดังต่อไปนี้O ( n บันทึกn )O(nเข้าสู่ระบบ⁡n)O(n\log n) โทรหารูปหลายเหลี่ยมที่ถูกต้องถ้าจุดภายในทั้งหมดเป็นจุดยอดของสิ่งกีดขวาง เส้นทางที่สั้นที่สุดของ Euclidean นั้นใช้ได้ ความยาวของเส้นทางที่ถูกต้องคือผลรวมของสแควร์รูทของจำนวนเต็ม ดังนั้นการเปรียบเทียบความยาวของสองเส้นทางที่ถูกต้องต้องเปรียบเทียบสองผลรวมของรากซึ่งเราไม่ทราบว่าจะทำอย่างไรในเวลาพหุนาม ยิ่งไปกว่านั้นดูเหมือนว่าเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์ว่าปัญหาที่เกิดขึ้นโดยพลการของผลรวมของสแควร์รูทสามารถลดลงเป็นปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของยูคลิด ดังนั้น: มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามในการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดของ Euclidean หรือไม่? หรือเป็นปัญหา NP-hard? หรือsum-of-ตารางรากแข็ง ? หรืออย่างอื่น? หมายเหตุเล็กน้อย: เส้นทางที่สั้นที่สุดใน (หรือนอก) รูปหลายเหลี่ยมหนึ่งอันสามารถคำนวณได้ในเวลาโดยไม่มีปัญหาเชิงตัวเลขแปลก ๆ โดยใช้อัลกอริทึมช่องทางมาตรฐานอย่างน้อยถ้ามีการระบุสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมO ( n …

22 ds.algorithms  cg.comp-geom  open-problem  computing-over-reals 

พิจารณาปัญหาในการหาชุด disjoint สูงสุด - ชุดสูงสุดของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ทับซ้อนกันจากชุดของผู้สมัครที่กำหนด นี่เป็นปัญหาที่ทำให้เกิดปัญหาสมบูรณ์ แต่ในหลายกรณีอัลกอริทึมโลภต่อไปนี้ให้การประมาณค่าคงที่: สำหรับผู้สมัครทุกคนรูปร่างxคำนวณของจำนวนเคลื่อนสี่แยก DIN(x)DIN(x)DIN(x) = จำนวนมากที่สุดของเคล็ดรูปร่างที่ตัดx argminxDIN(x)arg⁡minxDIN(x)\arg \min_{x} DIN(x) ดำเนินการต่อไปจนกว่าจะไม่มีผู้สมัครเพิ่ม ตัวอย่างเช่นพิจารณารูปต่อไปนี้จากหน้า Wikipedia: ดิสก์สีเขียวตัดเป็นดิสก์ 5 แผ่น แต่ DIN คือ 3 (ดิสก์สีแดงทั้ง 3 ตัวแยกกัน) ดิสก์สีแดงที่สูงที่สุดและต่ำสุดตัดกัน 2 ดิสก์อื่น แต่พวกมันตัดกันดังนั้น DIN ของพวกเขาคือ 1 ดิสก์สีเหลืองมี DIN เท่ากับ 2 อัลกอริทึมโลภจึงเลือกดิสก์สีแดงสูงสุดหรือดิสก์ล่างสุด หากค่า DIN ต่ำสุดสามารถถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่ได้ดังนั้นอัลกอริทึมโลภก็คือการประมาณพหุนามคงที่แบบพหุนาม ตัวอย่างเช่นถ้ารูปร่างของผู้สมัครทั้งหมดเป็นดิสก์ยูนิตMarathe et al (1995)แสดงว่าดิสก์ที่มี DIN สูงสุดอย่างน้อย …

21 cg.comp-geom 

ฉันใช้จุง ( http://jung.sourceforge.net/ ) เพื่อให้เห็นภาพอันดับของหน้าและพบว่ามันช้าและยากที่จะปรับขนาดมันเกิน 100 โหนด ฉันสงสัยว่าเครื่องมืออื่นใดที่ผู้คนใช้สำหรับการวิเคราะห์เครือข่ายและเครือข่ายสังคมออนไลน์

20 graph-theory  big-list  cg.comp-geom  software  graph-drawing 

Rn\mathbb{R}^n⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \ranglemmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mx∈Rnx \in \mathbb{R}^nต่ำสุดฉัน ⟨ x , v ฉัน ⟩ mini⟨x,vi⟩\min_i \langle x, v_i \rangleO ( n m )O(nm)O(nm) n = 2 n=2n = 2O ( บันทึก2 m )O(log2m)O(\log^2 m) สิ่งเดียวที่ฉันสามารถทำได้คือ มันเป็นผลที่ตามมาทันทีของจอห์นสัน - Lindenstrauss บทแทรกที่ทุก ๆε &gt; 0ε&gt;0\varepsilon > 0และการกระจายDD\mathcal{D}บนR nRn\mathbb{R}^nมีการทำแผนที่เชิงเส้นf : R n → …

19 ds.data-structures  cg.comp-geom  linear-algebra  metrics