คำถามติดแท็ก co.combinatorics

ฉันกำลังใช้ระบบบางส่วนซึ่งต้องการความช่วยเหลือ ฉันจึงกำหนดให้เป็นปัญหากราฟเพื่อให้โดเมนเป็นอิสระ ปัญหา:เราจะได้รับการกำกับวัฏจักรกราฟ ) โดยไม่สูญเสียของทั่วไปคิดว่าGมีตรงจุดสุดยอดแหล่งหนึ่งsและตรงหนึ่งอ่างจุดสุดยอดเสื้อ ; ให้Pแสดงว่าชุดของเส้นทางกำกับทั้งหมดจากsไปทีในG เรายังจะได้รับชุดของจุดR ⊆ V ปัญหาคือการกำหนดน้ำหนักจำนวนเต็มแบบไม่เป็นลบให้กับขอบของGดังนั้นสองเส้นทางในPมีน้ำหนักเท่ากันถ้าหากพวกมันมีเซตย่อยของจุดยอดเดียวกันในG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)GGGssstttPPPssstttGGGR⊆VR⊆VR \subseteq VGGGPPP . (น้ำหนักของเส้นทางคือผลรวมของน้ำหนักของขอบ) ช่วงของน้ำหนักของเส้นทางใน Pควรมีขนาดเล็กที่สุดRRRPPP ขณะนี้วิธีการของฉันดูเหมือนจะไม่มีประสิทธิภาพ ฉันแค่กำลังมองหาการอ้างอิงถึงวรรณกรรมหรือความเข้าใจที่ดี อะไรก็ได้ที่ชื่นชมเช่นกัน แก้ไข:มีหลักฐานความแข็งสำหรับปัญหานี้หรือไม่? หมายเลขกะทัดรัดมีอยู่เสมอหรือไม่

14 ds.algorithms  reference-request  co.combinatorics  graph-algorithms  directed-acyclic-graph 

ลองพิจารณาปัญหาในการค้นหาจำนวนอัศวินสูงสุดที่สามารถวางบนกระดานหมากรุกโดยที่พวกเขาทั้งสองไม่สามารถโจมตีซึ่งกันและกัน คำตอบคือ 32: มันไม่ยากเกินไปที่จะหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (กราฟที่เกิดจากการเคลื่อนไหวของอัศวินเป็นสองฝ่ายและมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบสำหรับบอร์ด 4 × 4) ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นฝาปิดขอบขั้นต่ำ มันก็ไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่าคำตอบคือ⌈mn2⌉⌈mn2⌉\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceilสำหรับกระดานหมากรุกเมื่อใดก็ตามที่: มันพอเพียงที่จะแสดงการจับคู่สำหรับและทำฟุตเวิร์คเหนี่ยวนำเล็กน้อยm , n ≥ 3 3 ≤ m , n ≤ 6m×nm×nm \times nm,n≥3m,n≥3m,n \geq 33≤m,n≤63≤m,n≤63 \leq m,n \leq 6 ในทางกลับกันถ้ากระดานหมากรุกมี toroidal และก็พิสูจน์ได้ว่าไม่จำเป็นต้องแสดงการจับคู่สำหรับกระดานขนาดเล็ก: แผนที่มี เพียงรอบความยาวเท่ากันดังนั้นจะต้องมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ( x , y ) → ( x + 1 , y + 2 …

14 co.combinatorics  matching 

นี่ไม่ใช่การบ้านแม้ว่ามันจะดูเหมือน การอ้างอิงใด ๆ ยินดีต้อนรับ :-) สถานการณ์:มีnnn ที่แตกต่างกันลูกและnnn ที่แตกต่างกันถังขยะ (labled จาก 1 ถึงnnnจากซ้ายไปขวา) ลูกบอลแต่ละลูกถูกโยนอย่างอิสระและสม่ำเสมอในถังขยะ ให้f(i)f(i)f(i)เป็นจำนวนลูกในiii ~ th bin ให้EiEiE_iหมายถึงเหตุการณ์ต่อไปนี้ สำหรับแต่ละj≤ij≤ij\le i , ∑k≤jf(k)≤j−1∑k≤jf(k)≤j−1\sum_{k\le j}{f(k)} \le j-1 นั่นคือครั้งแรกที่jjjถังขยะ (ซ้ายมากที่สุดjjjถังขยะ) มีน้อยกว่าjjjลูกบอลสำหรับแต่ละj≤ij≤ij\le iฉัน คำถาม:ประมาณ∑i&lt;nPr(Ei)∑i&lt;nPr(Ei)\sum_{i<n}{Pr(E_i)}ในแง่ของnnn ? เมื่อnnnไปไม่มีที่สิ้นสุด เป็นที่ต้องการต่ำกว่า ฉันไม่คิดว่าสูตรที่คำนวณได้ง่ายจะมีอยู่ ตัวอย่าง: limn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1elimn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}{Pr(E_1)}=\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{n-1}{n})^n}=\frac{1}{e} . หมายเหตุPr(En)=0Pr(En)=0Pr(E_n)=00 ฉันเดา:ฉันเดา∑i&lt;nPr(Ei)=lnn∑i&lt;nPr(Ei)=ln⁡n\sum_{i<n}{Pr(E_i)}=\ln n , เมื่อnnnไปไม่มีที่สิ้นสุด ฉันพิจารณารายการแรกlnnln⁡n\ln nในการรวม

14 reference-request  co.combinatorics  pr.probability 

หลังจากที่ได้ยินเอโมเวลซ์ลพูดเกี่ยวกับเรื่องนี้ในช่วงฤดูร้อนนี้ผมได้รู้จำนวนของ triangulations ชุดของที่จุดในเครื่องบินเป็นบางระหว่างเกี่ยวกับΩ ( 8.48 n )และO ( 30 n ) ขอโทษถ้าฉันล้าสมัย; ยินดีต้อนรับการปรับปรุงnnnΩ ( 8.48)n)Ω(8.48n)\Omega(8.48^n)O ( 30)n)O(30n)O(30^n) ฉันพูดถึงเรื่องนี้ในชั้นเรียนและต้องการติดตามสั้น ๆ คำพูดปราชญ์เพื่อให้นักเรียนเข้าใจ (ก) ว่าทำไมมันพิสูจน์ได้ยากมากที่จะลดปริมาณนี้และ (b) ทำไมหลายคนสนใจที่จะตอกตะปูลง ฉันพบว่าฉันไม่มีคำตอบเพียงพอที่จะส่องสว่างปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่ง; มากสำหรับ sageness ของฉัน! ฉันขอขอบคุณที่คุณตอบคำถามที่คลุมเครือเหล่านี้ ขอบคุณ!

14 co.combinatorics  cg.comp-geom 

G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)minS⊂V e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),minS⊂V e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},e(S,Sc)e(S,Sc)e(S,S^c)SSSScScS^c เพิ่มเติมรูปธรรมคิดว่าฉันรู้ว่ามีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางไม่น้อยกว่า D สิ่งนี้บอกอะไรฉันเกี่ยวกับสื่อกระแสไฟฟ้าถ้ามีอะไร และตรงกันข้ามสมมติว่าฉันรู้ว่าสื่อกระแสไฟฟ้าอยู่ที่ส่วนใหญ่ (หรืออย่างน้อย) \สิ่งนี้บอกอะไรฉันเกี่ยวกับเส้นผ่านศูนย์กลาง (ถ้ามี)?DDDαα\alpha

14 graph-theory  co.combinatorics  expanders 

เรารู้ว่าอัลกอริทึม mincut Karger สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ (ในทางที่ไม่สร้างสรรค์) ที่จำนวนสูงสุดของ mincuts ไปได้กราฟสามารถมีเป็น(n2)(n2)n \choose 22 ผมสงสัยว่าถ้าพวกเราก็สามารถพิสูจน์ตัวตนนี้โดยให้ bijective (แทนที่จะนึง) หลักฐานจากชุดของ mincuts เพื่อชุดของ cardinality อีก(n2)(n2)n \choose 22 ไม่มีเหตุผลที่เฉพาะเจาะจงมันแค่อยากรู้อยากเห็น ฉันพยายามทำด้วยตัวเอง แต่จนถึงตอนนี้ยังไม่ประสบความสำเร็จ ฉันจะไม่ต้องการให้ใครเสียเวลากับเรื่องนี้และถ้าคำถามดูเหมือนไม่มีจุดหมายฉันจะขอให้ผู้ดำเนินรายการดำเนินการตามนั้น ดีที่สุด -Akash

14 ds.algorithms  graph-theory  co.combinatorics  graph-algorithms  max-flow-min-cut 

ในขั้นตอนวิธีเชิงตรรกะเชิงทฤษฎีของกลุ่มกระดาษสำหรับการคูณเมทริกซ์ , Cohn, Kleinberg, Szegedy และ Umans นำเสนอแนวคิดของปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (กำหนดไว้ด้านล่าง) และความสามารถของ USP พวกเขาอ้างว่าทองแดงและ Winograd ในกระดาษแหวกแนวของตัวเองคูณเมทริกซ์ผ่านการก้าวหน้าเลขคณิต "โดยปริยาย" พิสูจน์ให้เห็นว่ากำลังการผลิต USP เป็น3/22/33/22/33/2^{2/3} 3 การอ้างสิทธิ์นี้ถูกกล่าวซ้ำในที่อื่น ๆ (รวมถึงที่นี่ในโรงเก็บเงิน) แต่ไม่มีคำอธิบายที่จะพบได้ ด้านล่างนี้เป็นความเข้าใจของฉันเองเกี่ยวกับสิ่งที่ Coppersmith และ Winograd พิสูจน์และทำไมยังไม่เพียงพอ มันเป็นความจริงที่ความจุ USP เป็น3/22/33/22/33/2^{2/3} ? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีการอ้างอิงสำหรับการพิสูจน์หรือไม่? ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันแก้ไขได้ ปริศนาที่ไม่ซ้ำกันที่แก้ไขได้ (USP) ของความยาวnnnและความกว้างkkkประกอบด้วยส่วนย่อยของ{1,2,3}k{1,2,3}k\{1,2,3\}^kของขนาดnnnซึ่งเราคิดว่าเป็น "คอลเลกชัน" nnn " สามชิ้น (ตรงกับสถานที่ที่ เวกเตอร์คือ111 , สถานที่ที่พวกเขาเป็น222 , และสถานที่ที่พวกเขาเป็น333 ), พอใจทรัพย์สินต่อไปนี้ สมมติว่าเราจัดเรียง111ชิ้นทั้งหมดในnnnเส้น …

13 ds.algorithms  co.combinatorics  algebraic-complexity  matrix-product 

คำจำกัดความของตัวเลข Ramsey มีดังต่อไปนี้: Letเป็นจำนวนบวกดังกล่าวว่ากราฟของการสั่งซื้ออย่างน้อยทุกมีทั้งก๊กบนจุดหรือชุดที่มีเสถียรภาพในจุดR ( a , b ) a bR(a,b)R(a,b)R(a,b)R(a,b)R(a,b)R(a,b)aaabbb ฉันกำลังทำงานกับส่วนขยายของตัวเลขแรมซีย์ ในขณะที่การศึกษามีความสนใจทางทฤษฎีมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะรู้ว่าแรงจูงใจของตัวเลขเหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสงสัยว่าแอปพลิเคชั่น (ทางทฤษฎีหรือทางปฏิบัติ) ของตัวเลขแรมซีย์ ตัวอย่างเช่นมีวิธีการแก้ปัญหาสำหรับปัญหาชีวิตจริงที่ใช้หมายเลขแรมซีย์หรือไม่? หรือในทำนองเดียวกันมีบทพิสูจน์ของทฤษฎีบทบางอย่างที่ใช้ตัวเลขของแรมซีย์หรือไม่?

13 reference-request  co.combinatorics  ramsey-theory 

พื้นหลัง คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากเกมกระดานที่เรียกว่า 'Dracula' ในเกมนี้มีนักล่าแวมไพร์หนึ่งคนและนักล่าสี่คนเป้าหมายของนักล่าคือการจับแวมไพร์ เกมดังกล่าวเกิดขึ้นในยุโรป เกมดังต่อไปนี้: 1. ผู้เล่นนักล่าทำให้นักล่าทั้งหมดในเมือง สามารถวางนักล่ามากกว่าหนึ่งคนในเมืองเดียวกัน 2. ผู้เล่นแวมไพร์ทำให้แวมไพร์อยู่ในเมือง 3. ผู้เล่นสลับการเคลื่อนย้ายสิ่งมีชีวิตของพวกเขาไปยังเมืองใกล้เคียง 4. ผู้เล่นนักล่าในตาเขาอาจขยับนักล่าได้มากเท่าที่เขาต้องการ 5. ปัญหาหลักคือผู้เล่นแวมไพร์รู้ตลอดเวลาที่นักล่าอยู่ แต่ผู้เล่นนักล่ารู้เฉพาะตำแหน่งเริ่มต้นของแวมไพร์ 6. เมื่อนักล่าและแวมไพร์พบกันในเมืองผู้เล่นแวมไพร์จะแพ้ คำถาม สำหรับกราฟให้และตัวเลขnและkจะมีกลยุทธ์ที่รับประกันผู้เล่นนักล่าที่ควบคุมnนักล่าแวมไพร์ที่จะจับในเวลาน้อยกว่าkผลัดกัน? อาจสันนิษฐานว่าGเป็นภาพถ่าย มีการศึกษาปัญหานี้หรือไม่? การอ้างอิงบางอย่างจะได้รับการชื่นชมGGGnnnkkknnnkkkGGG

13 graph-theory  co.combinatorics  board-games  combinatorial-game-theory 

ฉันได้ลองการผ่อนคลาย LP ต่อไปนี้ของชุดอิสระสูงสุดแล้ว max∑iximax∑ixi\max \sum_i x_i s.t. xi+xj≤1 ∀(i,j)∈Es.t. xi+xj≤1 ∀(i,j)∈E\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E xi≥0xi≥0x_i\ge 0 ฉันได้1/21/21/2สำหรับตัวแปรทุกตัวสำหรับกราฟลูกบาศก์สองส่วนที่ฉันได้ลอง เป็นจริงสำหรับกราฟลูกบาศก์สองขั้วที่ไม่เชื่อมต่อทั้งหมดหรือไม่ มีการผ่อนคลาย LP ซึ่งทำงานได้ดีกว่าสำหรับกราฟดังกล่าวหรือไม่ อัปเดต 03/05 : นี่คือผลลัพธ์ของการผ่อนคลาย LP ตามคำแนะนำของนาธาน ฉันได้สรุปการทดลองที่นี่ น่าสนใจดูเหมือนว่าจะมีกราฟที่ไม่แยกสองส่วนซึ่งการผ่อนคลาย LP ที่ง่ายที่สุดนั้นค่อนข้างสมบูรณ์

13 graph-theory  co.combinatorics  linear-programming 

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันกำลังจะไปแนะนำ Holographic Algorithms ฉันเจอสิ่งต่าง ๆ ที่เรียกว่า Pfaffians ฉันไม่รู้จริงๆเกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้นในเวลานี้และพบการใช้ที่น่าแปลกใจที่พวกเขาสามารถนำไป ตัวอย่างเช่นฉันรู้ว่าพวกเขาสามารถใช้เพื่อนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟระนาบ นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการนับจำนวนกระดานหมากรุกที่เป็นไปได้โดยใช้ไพ่ 2 * 1 การเชื่อมต่อแบบเรียงต่อกันดูเหมือนจะอยากรู้อยากเห็นมากสำหรับฉันและฉันพยายามค้นหาสื่อที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมบนเว็บ แต่ในสถานที่ส่วนใหญ่ฉันพบเพียงหนึ่งหรือสองข้อความเกี่ยวกับการเชื่อมต่อและไม่มีอะไรอื่น ฉันแค่ตั้งใจถามว่ามีคนแนะนำการอ้างอิงวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องได้บ้างหรือไม่และฉันก็หวังว่าจะได้ศึกษาเนื้อหาที่เกี่ยวข้อง

13 reference-request  co.combinatorics  counting-complexity 

ให้เป็นคลาสของกราฟที่มีความกว้าง clique-bound ในกราฟแต่ละกราฟในGมีการหดตัวของขอบบางส่วน (เช่นการสุ่ม) ตอนนี้ความกว้างของกลุ่มยังคง จำกัด อยู่หรือไม่?GGGGGG ในกรณีที่เป็น (โดยทั่วไป) ไม่มีขอบเขตอีกต่อไปฉันจะสนใจในตัวอย่างเคาน์เตอร์

13 graph-theory  co.combinatorics  cliquewidth 

ในขณะที่สำรวจเทคนิคต่าง ๆ ของการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับอัลกอริทึมแบบกระจายมันเกิดขึ้นกับฉันว่าตัวแปรในทฤษฎีบทของแรมซีย์ต่อไปนี้อาจมีแอปพลิเคชั่น - ถ้ามันเกิดขึ้นจริง พารามิเตอร์: kkk , KKK , nnnได้รับจากนั้นเลือกNNNให้มีขนาดใหญ่พอ คำศัพท์: mmm -subset เป็นส่วนหนึ่งของขนาดเมตรmmm Let = { 1 , 2 , . . , N }A={1,2,...,N}A={1,2,...,N}A = \{1,2,...,N\} Let BBBประกอบด้วยทั้งหมดkkk -subsets ของAAA Let CCCประกอบด้วยทั้งหมดKKK -subsets ของBBBB กำหนดสีf:C→{0,1}f:C→{0,1}f\colon C \to \{0,1\}ของCCCC ตอนนี้ทฤษฎีบทของ Ramsey (เวอร์ชั่นไฮเปอร์กราฟกราฟ) บอกว่าไม่ว่าเราจะเลือกfffอย่างไรมีmonochromatic nnn -subset B′B′B'ของBBB : KKK …

13 reference-request  co.combinatorics  ramsey-theory 

นี่คือคำถามที่แรงบันดาลใจจากปัญหาการตัด H-ฟรี รับกราฟพาร์ทิชันของจุดสุดยอดของมันตั้งเป็นส่วนR 1 V , V 2 , … , V rคือH-ฟรีถ้าG [ V i ]ไม่ชักนำสำเนาHสำหรับiทั้งหมด, 1 ≤ i ≤ r .VVVrrrV1,V2,…,VrV1,V2,…,VrV_1, V_2, \ldots, V_rHHHG[Vi]G[Vi]G[V_i]HHHiii1≤i≤r1≤i≤r1 \leq i \leq r ฉันต้องการพิจารณาคำถามต่อไปนี้: อย่างน้อยที่มีพาร์ติชันH- free อยู่ในส่วนrคืออะไร?rrrHHHrrr โปรดสังเกตว่าเมื่อเป็นเส้นขอบเดียวจำนวนนี้จะเป็นการหาจำนวนรงค์และได้ทำการ NP เสร็จสมบูรณ์แล้ว ฉันสงสัยว่ามันจะง่ายต่อการแสดงความสมบูรณ์ NP สำหรับHใด ๆ คงที่สำหรับปัญหานี้ (ง่ายกว่าเมื่อเทียบกับการแสดงมันสำหรับการตัดH- free) ฉันคิดว่ามันอาจจะชัดเจน แต่ฉันไม่ได้ไปไหน เป็นไปได้ทั้งหมดที่ฉันพลาดบางสิ่งที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาและหากเป็นเช่นนั้นฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์! HHHHHHHHH

13 graph-theory  np-hardness  co.combinatorics 

สมมติว่าเรามีการแทนเวกเตอร์ของจำนวนเต็มใด ๆ ของขนาด n, V_n เวกเตอร์นี้เป็นอินพุตของอัลกอริทึมการเรียนรู้ของเครื่อง คำถามแรก: สำหรับประเภทของการเป็นตัวแทนเป็นไปได้ที่จะเรียนรู้ primality / compositeness ของ n โดยใช้เครือข่ายประสาทเทียมหรือการทำแผนที่ ML เวกเตอร์ถึงบิต นี่เป็นทฤษฎีล้วนๆ - เครือข่ายประสาทเทียมอาจมีขนาดไม่ใหญ่โต ลองเพิกเฉยต่อการเป็นตัวแทนที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบเบื้องต้นเช่น: รายการที่คั่นด้วย null ของปัจจัยของ n หรือการมีอยู่ของพยาน compositeness เช่นใน Miller Rabin ให้เรามุ่งเน้นไปที่การเป็นตัวแทนใน radices ที่แตกต่างกันหรือการแทนในฐานะเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ของ polynomials (อาจเป็นหลายตัวแปร) หรือสิ่งแปลกใหม่อื่น ๆ คำถามที่สอง: สำหรับประเภทใดของอัลกอริทึม ML ที่จะเรียนรู้สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้โดยไม่คำนึงถึงเฉพาะเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทน อีกครั้งเราปล่อยให้ 'การห้ามโดยมีเรื่องไม่สำคัญ' ที่แสดงตัวอย่างข้างต้น ผลลัพธ์ของอัลกอริทึมการเรียนรู้ของเครื่องเป็นบิตเดียว, 0 สำหรับไพร์ม, 1 สำหรับคอมโพสิต ชื่อของคำถามนี้สะท้อนถึงการประเมินของฉันว่าฉันทามติสำหรับคำถามที่ 1 …

13 co.combinatorics  machine-learning  primes