วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

ในขณะที่อ่านบทความ"ถึงเวลาที่จะประกาศชัยชนะในการนับความซับซ้อนแล้วหรือยัง?" ที่บล็อก"Godel's Lost Letter และ P = NP"พวกเขากล่าวถึงการแบ่งขั้วของ CSP หลังจากลิงค์ต่อไปนี้ googling และ wikipeding ฉันเจอทฤษฎีบทของ Ladner : ทฤษฎีบทของ Ladner: ถ้าว่ามีปัญหาใน ที่ไม่ใช่สมบูรณ์N P ∖ P N PP≠NPP≠NP{\bf P} \ne {\bf NP}NP∖PNP∖P{\bf NP} \setminus {\bf P}NPNP{\bf NP} และทฤษฎีบทของ Schaefer : ทฤษฎีบท Dichotomy ของ Schaefer:สำหรับทุก ๆ ภาษาที่ จำกัดมากกว่า , ถ้า\ \ Gammaเป็น Schaefer ดังนั้น{\ …

27 cc.complexity-theory  np-hardness  complexity-classes  sat  csp 

ฉันมีปัญหาเล็กน้อยเข้าใจขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมแฟคตอริ่งของ Shor รับที่เราต้องการปัจจัยที่เราเลือกสุ่มxซึ่งมีการสั่งซื้อRNNNxxxrrr ขั้นตอนแรกเกี่ยวข้องกับการตั้งค่าการลงทะเบียนและการใช้ตัวดำเนินการ Hadamard ขั้นตอนที่สองจะใช้ตัวดำเนินการเชิงเส้น ขั้นตอนที่สามที่การลงทะเบียนครั้งที่สองถูกวัด (ฉันเชื่อว่าขั้นตอนนี้สามารถดำเนินการได้ในภายหลังแทน) ขั้นตอนที่สี่การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องถูกนำไปใช้กับการลงทะเบียนครั้งแรก จากนั้นเราวัดการลงทะเบียนครั้งแรก ที่นี่ฉันมีหมอกเล็กน้อย: เราได้รับการวัดในรูปแบบ ⟩∣j,xkmodN⟩∣j,xkmodN⟩\mid j , x^k \textrm{mod} N \rangle จากนี้เราสามารถหาคอนเวอร์เจนต์ของเศษส่วน , convergents เป็นค่าที่เป็นไปได้ของการสั่งซื้อR ที่นี่เราแค่ลองคอนเวอร์เจนต์ทั้งหมด&lt;Nและถ้าเราไม่พบว่าrเป็นคอนเวอร์เจนต์ตัวใดตัวหนึ่งที่เราเพิ่งจะเริ่มใหม่?j2qj2q \frac{j}{2^q} rr r &lt;N&lt;N < N rr r ความน่าจะเป็นของค่าเป็นไปได้แตกต่างกันอย่างไร พวกเขาในแบบที่ฉันเห็นพวกเขาทุกคนควรมีความน่าจะเป็นเหมือนกัน แต่กระดาษของ Shor บอกว่านี่ไม่ใช่กรณีหรือjj j สับสนเล็กน้อยเพราะเอกสารบางเล่มดูเหมือนจะพูดในสิ่งที่แตกต่าง ขอบคุณ

27 quantum-computing 

ฉันสนใจตัวอย่างของปัญหาที่ทฤษฎีบทซึ่งดูเหมือนไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ควอนตัม / ข้อมูล (เช่นระบุบางอย่างเกี่ยวกับวัตถุคลาสสิกล้วน ๆ ) สามารถพิสูจน์ได้ด้วยเครื่องมือควอนตัม สำรวจควอนตัมพิสูจน์สำหรับทฤษฎีบทคลาสสิก (A. Drucker, R. Wolf) ให้รายการปัญหาที่ดี แต่แน่นอนมีอีกมากมาย น่าสนใจอย่างยิ่งที่จะเป็นตัวอย่างที่พิสูจน์ควอนตัมเป็นไปไม่ได้เท่านั้น แต่ยัง "เพิ่มเติมความกระจ่าง" ในการเปรียบเทียบกับการวิเคราะห์จริงและมีความซับซ้อนที่วางปัญหาที่แท้จริงในการตั้งค่าที่ซับซ้อนมักจะทำให้มันเป็นธรรมชาติมากขึ้น (เช่นรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายตั้งแต่ถูกปิดพีชคณิต ฯลฯ ); ปัญหาคลาสสิกที่โลกควอนตัมเป็น "ที่อยู่อาศัยตามธรรมชาติ" ของพวกเขาCC\mathbb{C} (ฉันไม่ได้นิยาม "ควอนตัม" ที่นี่ในแง่ที่ถูกต้องและใคร ๆ ก็สามารถโต้แย้งได้ว่าข้อโต้แย้งดังกล่าวในที่สุดก็เดือดลงไปเป็นพีชคณิตเชิงเส้นในที่สุดเราสามารถแปลอาร์กิวเมนต์ใด ๆ โดยใช้ตัวเลขที่ซับซ้อนเพื่อใช้คู่ reals เท่านั้น ?)

27 quantum-computing  big-list  proofs 

(ขออภัยหากนี้เป็นที่รู้จักกันดี.) ฉันอยากจะให้บางรายการให้เป็นหนึ่งในตัวแทนเพื่อให้ตัวแทนจะได้รับไอเทมที่มีความน่าจะเป็นp_iมีเครื่องมือการเข้ารหัส (หรืออื่น ๆ ) เพื่อให้ตัวแทนทุกคน (และแม้แต่ผู้สังเกตการณ์ทุกคน) จะสามารถมั่นใจได้ว่าการวาดภาพแบบสุ่มนั้นยุติธรรมหรือไม่?j p ikkkJjjพีผมpip_i

27 cr.crypto-security 

ฉันกำลังมองหารหัสแก้ไขข้อผิดพลาดประเภทต่อไปนี้: รหัสเลขฐานสองที่มีอัตราคงที่ ถอดรหัสได้จากเศษส่วนคงที่ของข้อผิดพลาดบางส่วนโดยตัวถอดรหัสที่สามารถนำไปใช้เป็นวงจรบูลีนขนาดโดยที่คือความยาวการเข้ารหัสNO ( N)O(N)O(N)ยังไม่มีข้อความNN พื้นหลังบางส่วน: Spielman ในรหัสLinear-Time เข้ารหัสและแก้ไขข้อผิดพลาดที่ถอดรหัสได้ให้รหัสถอดรหัสในเวลาในรูปแบบ RAM ต้นทุนลอการิทึมและถอดรหัสได้โดยวงจรขนาดO ( N log N )O ( N)O(N)O(N)O ( Nเข้าสู่ระบบยังไม่มีข้อความ)O(ยังไม่มีข้อความเข้าสู่ระบบ⁡ยังไม่มีข้อความ)O(N \log N) Guruswami และ Indyk ให้การก่อสร้างที่ปรับปรุงในLinear Time Encodable / Decodable Code ด้วยอัตราใกล้สุด พวกเขาไม่ได้วิเคราะห์ความซับซ้อนของวงจรที่เกิด แต่ผมเชื่อว่ามันเป็นยังn)Θ ( Nเข้าสู่ระบบยังไม่มีข้อความ)Θ(ยังไม่มีข้อความเข้าสู่ระบบ⁡ยังไม่มีข้อความ)\Theta(N \log N) ขอบคุณล่วงหน้า!

27 co.combinatorics  it.information-theory  coding-theory 

ฉันอยากจะถามเกี่ยวกับกรณีพิเศษของคำถาม“ การตัดสินใจว่าวงจรNC 0 ที่ได้รับคำนวณการเปลี่ยนแปลง ” โดย QiCheng ที่ถูกทิ้งไว้โดยไม่ได้ตอบ วงจรบูลีนเรียกว่าวงจร NC 0 kหากแต่ละเอาต์พุตเกตเวย์ขึ้นอยู่กับประตูอินพุตkมากที่สุด (เรากล่าวว่าการส่งออกประตูกรัม syntactically ขึ้นอยู่กับการป้อนข้อมูลประตูกรัมเมื่อมีเส้นทางกำกับจากกรัม 'เพื่อกรัมในวงจรเมื่อมองเป็นกราฟชี้นำวัฏจักร.) ในคำถามข้างต้น QiCheng ถามถึงความซับซ้อนของปัญหาต่อไปนี้โดยที่kเป็นค่าคงที่: ตัวอย่างเช่น : การ NC 0 kวงจรnอินพุตบิตและnผลผลิตบิต คำถาม : วงจรที่ให้มาคำนวณการเปลี่ยนแปลงบน {0, 1} nหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งคือฟังก์ชันคำนวณโดยวงจร bijection จาก {0, 1} nถึง {0, 1} n ? ตามที่ Kaveh ให้ความเห็นเกี่ยวกับคำถามนั้นมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าปัญหาอยู่ใน coNP ในคำตอบฉันพบว่าปัญหาคือ coNP-complete สำหรับk = 5 …

27 cc.complexity-theory  open-problem  permutations  circuit-families 

ฉันเป็นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่เรียนวิชาทอพอโลยี (โทโพโลยีของการตั้งค่าจุดที่ปรุงแต่งอย่างหนักด้วยทฤษฎีความต่อเนื่อง) ฉันมีความสนใจในปัญหาการตัดสินใจทดสอบคำอธิบายของพื้นที่ (โดยง่าย) สำหรับคุณสมบัติทอพอโลยี; ที่เก็บรักษาไว้ถึง homeomorphism มันเป็นที่รู้จักตัวอย่างเช่นการกำหนดสกุลของปมอยู่ใน PSPACE และเป็น NP-Hard (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999) ผลงานอื่น ๆ ที่มีมากขึ้นในความรู้สึกทั่วไปมากขึ้น: AA มาร์คอฟ (ลูกชายของมาร์คอฟ) แสดงให้เห็นว่าในปี 1958 การทดสอบสองช่องว่างสำหรับ homeomorphism ในมิติ5555หรือสูงกว่าเป็นที่ตัดสินไม่ได้ (โดยการแสดง undecidability สำหรับ 4 manifolds) น่าเสียดายที่ตัวอย่างสุดท้ายนี้ไม่ใช่แบบอย่างที่สมบูรณ์แบบสำหรับคำถามของฉันเนื่องจากมันเกี่ยวข้องกับปัญหาโฮมมอร์ฟีเองมากกว่าคุณสมบัติที่เก็บรักษาไว้ภายใต้โฮมมอร์ฟิซึม ดูเหมือนจะมีงานจำนวนมากใน "ทอพอโลยีมิติต่ำ": ทฤษฎีปมและกราฟ ฉันสนใจผลการค้นหาจากโทโพโลยีมิติต่ำ แต่ฉันสนใจผลการค้นหาทั่วไปมากกว่า (สิ่งเหล่านี้ดูเหมือนจะหายาก) ฉันสนใจปัญหามากที่สุดซึ่งเป็นปัญหา NP-Hard โดยเฉลี่ย แต่รู้สึกว่าควรระบุปัญหาที่ไม่เป็นที่รู้จัก ผลลัพธ์ใดบ้างที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณของคุณสมบัติทอพอโลยี?

27 cc.complexity-theory  big-list  topology 

ฉันไม่สามารถหาโครงสร้างข้อมูลนี้ได้ แต่ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้ โครงสร้างใช้ชุดและโดยทั่วไปจะเป็นอาร์เรย์ขององค์ประกอบที่เทียบเคียงกับค่าคงที่ ค่าคงที่คือค่าต่อไปนี้ (กำหนดแบบเรียกซ้ำ): อาเรย์ของความยาว 1 เป็นอาเรย์ผสาน อาร์เรย์ที่มีความยาว 2 ^ n (สำหรับ n&gt; 0) เป็นอาร์เรย์ผสาน iff: ครึ่งแรกเป็นอาร์เรย์ผสานและครึ่งหลังว่างเปล่าหรือ อาร์เรย์แรกเต็มและเรียงลำดับแล้วครึ่งปีหลังเป็นอาร์เรย์ผสาน โปรดทราบว่าถ้าอาร์เรย์เต็มจะถูกจัดเรียง ในการแทรกองค์ประกอบเรามีสองกรณี: หากครึ่งแรกไม่เต็มให้แทรกแบบเรียกซ้ำในครึ่งแรก หากครึ่งแรกเต็มให้แทรกแบบเรียกซ้ำในครึ่งหลัง หลังจากขั้นตอนแบบเรียกซ้ำถ้าทั้งอาร์เรย์เต็มแล้วให้แบ่งครึ่ง (ซึ่งจัดเรียง) แล้วปรับขนาดให้เป็นสองเท่าของความยาวดั้งเดิม ในการค้นหาองค์ประกอบให้แบ่งเป็นสองส่วนโดยใช้การค้นหาแบบไบนารีเมื่ออาร์เรย์เต็ม (ควรมีประสิทธิภาพเนื่องจากมีมากที่สุดจากน้อยไปหามาก)O ( บันทึก( n ) )O(เข้าสู่ระบบ⁡(n))O(\log(n)) โครงสร้างสามารถถือเป็นแบบคงที่ของการรวมกัน ยังไม่ชัดเจนว่าควรทำอย่างไรเพื่อลบองค์ประกอบ แก้ไข: หลังจากปรับปรุงความเข้าใจโครงสร้าง

27 ds.data-structures 

เป็นที่ทราบกันว่าได้รับเซตย่อย point ของ (นั่นคือได้รับคะแนนในด้วยระยะทางแบบยุคลิด) มันเป็นไปได้ที่จะฝังไว้ในสามมิติ\ ell ^ {n \ select 2 }nnnℓd2ℓ2d\ell_2^dnnnRdRd{\mathbb R}^dℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 isometry คำนวณได้หรือไม่ในเวลาที่เป็นพหุนาม เนื่องจากมีปัญหาความแม่นยำ จำกัด คำถามที่แม่นยำคือ รับชุดXXXของnnnคะแนนในRdRd{\mathbb R}^dและϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon >0มีการแม็พf:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}คำนวณได้ (อาจใช้การสุ่ม) พหุนามเวลาในnnnและลอการิทึมใน1/ϵ1/ϵ1/\epsilonเช่นนั้นสำหรับทุกๆx,y∈Xx,y∈Xx,y\in Xเรามี ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1 (หมายเหตุ: ฉันทราบว่าการแมปที่มีการบิดเบือน(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon)สามารถพบได้ด้วยความน่าจะเป็นสูงในเวลาพหุนามในnnnและ1/ϵ1/ϵ1/\epsilonโดยฉายบนO(ϵ−2⋅logn)O(ϵ−2⋅log⁡n)O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)สุ่มเส้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสามารถลดขนาดมิติได้อย่างสร้างสรรค์เป็น(n2)(n2)n\choose 2หรือแม้กระทั่งO(n2)O(n2)O(n^2)เมื่อ1/ϵ1/ϵ1/\epsilonมีขนาดใหญ่กว่าnnnและฉันไม่รู้ว่ามี เป็นวิธีเวลาพหุนามในการจัดการกรณีที่1/ϵ1/ϵ1/\epsilonเป็นเลขชี้กำลังเป็นnในnnn)

27 cg.comp-geom  metrics  embeddings 

ฉันขอโทษถ้าคำถามนี้คลุมเครือเล็กน้อย แต่ฉันอยากรู้ว่านักวิจัยที่ประสบความสำเร็จได้รับ "ความรู้สึก" สำหรับผลลัพธ์ใน TCS อย่างไร ยกตัวอย่างเช่นพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเข้าใจได้ในเชิงเรขาคณิตหรือในแง่ของการตีความทางกายภาพ (eigenvectors สามารถคิดว่าเป็น "จุดคงที่" ในระบบ) ฯลฯ นอกจากนี้ยังมีสัญชาตญาณว่ามีโปรโตคอล IP สำหรับ TQBF (เช่น IP โพรโทคอลสามารถมองเห็นได้ในรูปแบบของ "เกม" ระหว่างสองเอนทิตี้ของพลังการคำนวณที่แตกต่างกันอย่างมาก) อย่างไรก็ตามฉันพบว่าผลลัพธ์จำนวนมากแม้พื้นฐานขั้นพื้นฐานใน TCS จะไม่มีสัญชาติญาณแบบง่าย ๆ (MA AM) ยิ่งไปกว่านั้นบางครั้งสัญชาตญาณที่ไม่เน่าเปื่อยไปอย่างน่ากลัว (2-SAT อยู่ใน P ในขณะที่ 3-SAT ไม่เชื่อว่าจะอยู่ใน P (อันที่จริงแล้วคือปัญหา NP-Complete) มี "หลักการทั่วไป" สำหรับการพัฒนาสัญชาตญาณใน TCS หรือไม่?⊆⊆\subseteq

27 soft-question  intuition 

ด้วยความประหลาดใจของฉันฉันไม่สามารถหาเอกสารเกี่ยวกับเรื่องนี้ - อาจค้นหาคำหลักที่ผิด ดังนั้นเรามีอะไรหลายอย่างและฟังก์ชั่นในดัชนีของมัน fคือการเรียงสับเปลี่ยนฉffฉff เราจะจัดลำดับอาร์เรย์ใหม่ตามด้วยหน่วยความจำและ runtime ใกล้เคียงกับO ( 1 )และO ( n )มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้หรือไม่ฉffO ( 1 )O(1)O(1)O ( n )O(n)O(n) มีเงื่อนไขเพิ่มเติมหรือไม่เมื่องานนี้ง่ายขึ้น? เช่นเมื่อเรารู้อย่างชัดเจนว่าฟังก์ชันเป็นค่าผกผันของf ?ก.ggฉff ฉันรู้ว่าอัลกอริทึมที่ติดตามวัฏจักรและลัดวงจรสำหรับแต่ละดัชนีเพื่อตรวจสอบว่ามันน้อยที่สุดในวัฏจักรของมันหรือไม่ แต่อีกครั้งมันมีช่วงเวลาที่เลวร้ายที่สุดแม้ว่าโดยเฉลี่ยดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดีขึ้น ..O ( n2)O(n2)O(n^2)

27 ds.algorithms  co.combinatorics  permutations 

Peter Shor แสดงให้เห็นว่าสองปัญหาที่สำคัญที่สุดปัญหาระหว่างกลาง ได้แก่ ปัญหาการแยกตัวประกอบและปัญหาบันทึกแยกจากกันนั้นอยู่ใน BQP ในทางตรงกันข้ามอัลกอริธึมควอนตัมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับ SAT (การค้นหาของโกรเวอร์) ให้ผลการปรับปรุงกำลังสองเหนืออัลกอริธึมแบบดั้งเดิมเท่านั้น เมื่อ Arora และ Barak ชี้ให้เห็นก็มีปัญหาใน BQP ที่ไม่มีใครรู้ว่าอยู่ใน NP ซึ่งนำไปสู่การคาดเดาว่าทั้งสองคลาสนั้นหาที่เปรียบมิได้ มีความรู้ / การคาดเดาว่าเหตุใดปัญหาระดับกลางปัญหาเหล่านี้จึงอยู่ใน BQP แต่ทำไม SAT (เท่าที่เราทราบ) ไม่ได้ ปัญหาระดับกลางอื่น ๆ ทำตามแนวโน้มนี้หรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งกราฟ isomorphism ใน BQP หรือไม่ (อันนี้ไม่ได้ google ดี)

27 cc.complexity-theory  quantum-computing  np  np-intermediate 

ในความซับซ้อนของการคำนวณมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการคำนวณเสียงเดียวกับการคำนวณทั่วไปและทฤษฎีที่โด่งดังโดย Razborov ยืนยันว่า 3-SAT และแม้กระทั่งการจับคู่นั้นไม่ได้เป็นพหุนามในแบบจำลองวงจรบูลีนเสียงเดียว คำถามของฉันง่าย: มีอะนาล็อกควอนตัมสำหรับวงจรเสียงเดียว (หรือมากกว่าหนึ่ง)? มีทฤษฎีบทของควอนตัม Razborov หรือไม่?

27 cc.complexity-theory  quantum-computing  circuit-complexity 

ฉันเพิ่งสอนอัลกอริทึม mincut แบบสุ่ม Karger-Steinในคลาสอัลกอริทึมการศึกษาของฉัน นี้เป็นจริงอัญมณีอัลกอริทึมดังนั้นฉันไม่สามารถไม่ได้สอน แต่มันมักจะออกผมผิดหวังเพราะผมไม่ทราบว่าการใช้งานอื่น ๆ ของเทคนิคหลัก (ดังนั้นจึงเป็นการยากที่จะกำหนดการบ้านที่ผลักดันให้ถึงบ้าน) อัลกอริทึมของ Karger และ Stein เป็นการปรับแต่งอัลกอริธึมก่อนหน้าของ Karger ซึ่งทำสัญญาแบบสุ่มขอบจนกว่ากราฟจะมีจุดยอดสองจุดเท่านั้น อัลกอริทึมแบบง่ายนี้จะทำงานในเวลาและส่งกลับค่าตัดต่ำสุดด้วยความน่าจะเป็นโดยที่คือจำนวนจุดยอดในกราฟอินพุต "Recursive Contraction Algorithm" ที่ซ้ำแล้วซ้ำอีกจะทำสัญญาแบบสุ่มจนจำนวนจุดยอดลดลงจากเป็นเรียกซ้ำตัวเองบนกราฟที่เหลือซ้ำสองครั้ง การใช้งานอัลกอริทึมที่ได้รับการปรับปรุงอย่างตรงไปตรงมานั้นรันในΩ ( 1 / n 2 ) n n n / √O ( n2)O(n2)O(n^2)Ω ( 1 / n2)Ω(1/n2)\Omega(1/n^2)nnnnnnn / 2-√n/2n/\sqrt{2}Ω ( 1 /บันทึกn )O ( n2เข้าสู่ระบบn )O(n2log⁡n)O(n^2\log n)เวลาและผลตอบแทนการตัดขั้นต่ำที่มีความน่าจะเป็นn) (มีการใช้อัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพมากกว่าและอัลกอริธึมแบบสุ่มดีกว่า)Ω …

27 ds.algorithms  reference-request  randomized-algorithms  teaching 

ฉันกำลังคิดถึงปัญหาต่อไปนี้อยู่พักหนึ่งและฉันไม่พบวิธีแก้ปัญหาแบบพหุนาม สัตว์เดียรัจฉานเท่านั้น ฉันได้พยายามลดปัญหา NP-Complete ลงด้วยเช่นกันโดยไม่ประสบความสำเร็จ นี่คือปัญหา : คุณมีชุดเรียงลำดับ{(A1,B1),(A2,B2),…,(An,Bn)}{(A1,B1),(A2,B2),…,(An,Bn)}\{(A_1, B_1), (A_2, B_2), \ldots, (A_n, B_n)\}ของคู่จำนวนเต็มบวก (Ai,Bi)&lt;(Aj,Bj)⇔Ai&lt;Aj∨(Ai=Aj∧Bi&lt;Bj)(Ai,Bi)&lt;(Aj,Bj)⇔Ai&lt;Aj∨(Ai=Aj∧Bi&lt;Bj)(A_i, B_i) < (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i < A_j \lor (A_i = A_j \land B_i < B_j) (Ai,Bi)=(Aj,Bj)⇔Ai=Aj∧Bi=Bj(Ai,Bi)=(Aj,Bj)⇔Ai=Aj∧Bi=Bj(A_i, B_i) = (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i = A_j \land B_i = B_j การดำเนินการต่อไปนี้สามารถใช้กับคู่: Swap(pair). มันสลับองค์ประกอบของคู่ดังนั้น(10,50)(10,50)(10, 50)จะกลายเป็น(50,10)(50,10)(50, 10) เมื่อมีการสลับคู่ในชุดนั้นชุดนั้นก็จะถูกจัดเรียงอีกครั้งโดยอัตโนมัติ …

27 ds.algorithms  np-hardness  sorting