คำถามติดแท็ก boolean-functions

คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชั่นบูลีนและการวิเคราะห์

2
ส่วนขยายของตัวดำเนินการด้านเสียง
ในปัญหาที่ฉันกำลังทำงานอยู่มีผู้ดำเนินการส่วนขยายเสียงเกิดขึ้นตามธรรมชาติและฉันอยากรู้ว่ามีงานก่อนหน้านี้หรือไม่ ก่อนอื่นให้ฉันแก้ไขโอเปอเรเตอร์เสียงรบกวนพื้นฐานTεTεT_{\varepsilon}ในฟังก์ชั่นบูลีนที่มีมูลค่าจริง กำหนดฟังก์ชั่นf:{0,1}n→Rf:{0,1}n→Rf: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}และεε\varepsilon , ppp ST 0≤ε≤10≤ε≤10 \leq \varepsilon \leq 1 , ε=1−2pε=1−2p\varepsilon = 1 - 2pเรากำหนดTε→RTε→RT_{\varepsilon} \to \mathbb{R}เป็น Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)] μpμp\mu_pคือการกระจายของได้รับโดยการตั้งค่าบิตของ bit แต่ละบิตให้เป็นอย่างอิสระโดยมีความน่าจะเป็นและอย่างอื่น เท่าที่เราสามารถคิดของกระบวนการนี้เป็นพลิกบิตของแต่ละกับความน่าจะเป็นอิสระพีตอนนี้ผู้ปฏิบัติงานด้านเสียงนี้มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากมายรวมถึงการเป็นทวีคูณและมี eigenvalues ​​ที่ดีและ eigenvectors (โดยที่เป็นของพื้นฐานพาริตี)n 1 p 0 x p T ε 1 T ε 2 = T …

2
ความทนทานของการแยกคณะรัฐประหาร
เราบอกว่าฟังก์ชั่นบูลีนf : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}เป็นkkk -junta ถ้าfffมีตัวแปรที่มีอิทธิพลต่อkส่วนใหญ่kk ให้f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}เป็น2 k2k2k -junta แสดงว่าตัวแปรของฉffโดยx 1 , x 2 , ... , xx1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n …

1
คุณสามารถตัดสินใจเทียบเท่าสำหรับนิพจน์บูลีนโมโนโทนที่ไม่มีการปฏิเสธใน PTIME ได้หรือไม่?
เป็นปัญหาต่อไปนี้ใน PTIME หรือ coNP-hard: กำหนดนิพจน์บูลีนสองรายการและในตัวแปรโดยไม่มีการปฏิเสธ (กล่าวคือนิพจน์นั้นสร้างขึ้นทั้งหมดผ่านและ∨ ) ตัดสินใจว่าe 1 ≡ e 2นั่นคือพวกมันมีค่าเท่ากันสำหรับการกำหนดทั้งหมดให้กับตัวแปรe1e1e_1e2e2e_2x1,…,xnx1,…,xnx_1,\dots,x_n∧∧\wedge∨∨\veee1≡e2e1≡e2e_1 \equiv e_2 หากทั้งสองนิพจน์จะได้รับใน DNF แสดงว่าปัญหานั้นอยู่ใน PTIME เนื่องจากเราสามารถเรียงลำดับประโยคและเปรียบเทียบ แต่การนำนิพจน์โดยพลการไปยัง DNF สามารถทำให้เกิดการชี้แจงได้ อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันดูเหมือนว่าจะเก็บไว้สำหรับไบนารีการตัดสินใจไดอะแกรม เห็นได้ชัดว่าปัญหาอยู่ใน coNP ฉัน Googling ประมาณพอใช้ แต่หาคำตอบไม่เจอ ขอโทษสำหรับคำถามเบื้องต้น

1
ฟังก์ชั่นเสียงเดียวแบบสุ่ม
ในกระดาษNatural Proofsของ Razborov-Rudich หน้า 6 ในส่วนที่พวกเขาพูดถึงว่ามี "การพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าที่แข็งแกร่งสำหรับแบบจำลองวงจรโมโนโทน " และวิธีที่พวกเขาพอดีกับภาพมีประโยคต่อไปนี้: นี่คือปัญหาที่ไม่สร้างสรรค์ - คุณสมบัติที่ใช้ในการพิสูจน์เหล่านี้เป็นไปได้ทั้งหมด - แต่ดูเหมือนจะไม่มีอะนาล็อกอย่างเป็นทางการที่ดีของสภาพความใหญ่โต โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีใครกำหนดคำนิยามที่สามารถใช้การได้ของ "ฟังก์ชั่นโมโนโทนเดียว" การแยกเอาท์พุทของฟังก์ชั่นโมโนโทนเป็นเรื่องง่ายหรือไม่? การมีอยู่ของขอบเขตล่างที่แข็งแกร่งไม่ได้บอกเราว่าไม่มีสิ่งนั้นหรือ คำถามของฉันคือ: พวกเขาหมายถึงอะไรโดยความหมายที่สามารถทำงานได้ของ "ฟังก์ชั่นเดียวสุ่ม" ?

3
ตรวจสอบสูตรที่มีสองปริมาณ (
นักแก้ปัญหา SAT ให้วิธีที่มีประสิทธิภาพในการตรวจสอบความถูกต้องของสูตรบูลีนด้วยหนึ่งตัวระบุ ยกตัวอย่างเช่นในการตรวจสอบความถูกต้องของเราสามารถใช้ตัวแก้ SAT เพื่อพิจารณาว่าφ ( x )น่าพอใจหรือไม่ ในการตรวจสอบความถูกต้องของ∀ x φ ( x )เราสามารถใช้แก้ SAT เพื่อตรวจสอบว่า¬ φ ( x )คือพอใจ (นี่คือx = ( x 1 , … , x n )คือn -vector ของตัวแปรบูลีนและφ∃x.φ(x)∃x.φ(x)\exists x . \varphi(x)φ(x)φ(x)\varphi(x)∀x.φ(x)∀x.φ(x)\forall x . \varphi(x)¬φ(x)¬φ(x)\neg \varphi(x)x=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn)x=(x_1,\dots,x_n)nnnφφ\varphi เป็นสูตรบูลีน) ตัวแก้ปัญหา QBF ได้รับการออกแบบมาเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของสูตรบูลีนที่มีจำนวนโดยพลการ ถ้าเรามีสูตรที่มีสองตัวนับ พวกเขามีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการตรวจสอบความถูกต้องหรือไม่: เป็นสิ่งที่ดีกว่าการใช้อัลกอริทึมทั่วไปสำหรับ QBF หรือไม่? …

1
การเปลี่ยนแปลง Beigel-Tarui ของ ACC cricuits
ฉันกำลังอ่านภาคผนวกเกี่ยวกับขอบเขตที่ต่ำกว่าของ ACC สำหรับ NEXP ใน Arora และหนังสือ Computational Complexityของ Barak http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf หนึ่งในบทสรุปที่สำคัญคือการเปลี่ยนแปลงจากวงจรไปเป็นพหุนามพหุนามหลายระดับในจำนวนเต็มที่มีระดับ polylogarithmic และสัมประสิทธิ์ quasipolynomial หรือเทียบเท่า ซึ่งเป็นคลาสS Y M +ซึ่งเป็นระดับความลึกสองวงจรที่มี quasipolynomially และประตูที่ระดับล่างสุดของมันด้วยพัดลม polylogarithmic และประตูสมมาตรที่ระดับบนสุดACC0ACC0ACC^{0}SYM+SYM+SYM^{+} ในภาคผนวกที่ตำราเรียน, การเปลี่ยนแปลงครั้งนี้มีสามขั้นตอนสมมติว่าชุดประตูประกอบด้วย OR, mod , MOD 3และคงที่1 ขั้นตอนแรกคือการลดแฟนอินของประตู OR ให้เป็นระเบียบคำสั่ง polylogarithmic222333111 ใช้องอาจ-Vazirani แยกแทรกผู้เขียนจะขอที่ได้รับหรือประตูมากกว่าปัจจัยการผลิตในรูปแบบO R ( x 1 , . . . , x 2 k ) …

1
หนึ่งสามารถพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบท Linial-Mansour-Nisan และความรู้เกี่ยวกับสเปกตรัมฟูริเยร์ของหรือไม่
ผลที่ 1: ทฤษฎีบทของ Linial-Mansour-Nisan กล่าวว่าน้ำหนักของฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่คำนวณโดยวงจรจะเน้นไปที่เซตย่อยที่มีขนาดเล็กและมีความน่าจะเป็นสูงC0Aค0\mathsf{AC}^0 ส่งผลให้เกิด 2: P A R I T YPARผมTY\mathsf{PARITY}มีน้ำหนักฟูเรียร์ของความเข้มข้นในการร่วมที่มีประสิทธิภาพของการศึกษาระดับปริญญาnnnn คำถาม: มีวิธีพิสูจน์ (ถ้าพิสูจน์ได้) P A R I T YPARผมTY\mathsf{PARITY}ไม่สามารถคำนวณได้โดยC0Aค0\mathsf{AC}^0วงจรผ่าน / ใช้ผลลัพธ์ 1 และ 2 หรือไม่?

1
คาดว่าอิทธิพลขั้นต่ำของฟังก์ชันบูลีนแบบสุ่ม
f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}iiiInfi[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)]Infi⁡[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)] \operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})] x⊕ix⊕ix^{\oplus i}iiixxxfffMinInf[f]=defmini∈[n]Infi[f].MinInf⁡[f]=defmini∈[n]Infi⁡[f].\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f]. กำหนดพารามิเตอร์ , เราเลือกสุ่มฟังก์ชั่นโดยเลือกความคุ้มค่าในแต่ละปัจจัยการผลิตที่เป็นอิสระที่สุ่มจะเป็นด้วยความน่าจะและกับความน่าจะเป็น . จากนั้นมันก็ง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับทุก ๆ และfortiorip∈[0,1]p∈[0,1]p\in[0,1]pppfff2n2n2^n111ppp−1−1-11−p1−p1-pi∈[n]i∈[n]i\in[n] Ef[Infi[f]]=2p(1−p)Ef[Infi⁡[f]]=2p(1−p) \mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p) In(p)=defEf[MinInf[f]]≤2p(1−p).In(p)=defEf[MinInf⁡[f]]≤2p(1−p). I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p). คำถามของฉันคือ: มี asymptotically (เกี่ยวกับnnn ) การแสดงออกที่แน่นสำหรับIn(p)In(p)I_n(p) ? แม้แต่สำหรับp=12p=12p=\frac{1}{2}เราสามารถรับนิพจน์เช่นนี้ได้หรือไม่? โดยเฉพาะฉันจะดูแลเกี่ยวกับข้อตกลงการสั่งซื้อต่ำเช่นฉันจะสนใจในเทียบเท่า asymptotic สำหรับปริมาณ2p(1−p)−In(p)2p(1−p)−In(p)2p(1-p)-I_n(p)(P) (คำถามถัดไป แต่คำถามที่รองลงมาคือคำถามที่ว่าใครจะได้รับความเข้มข้นที่ดีรอบ ๆ ความคาดหวังนี้) โดยขอบเขตของเชอร์อฟเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีสมาธิที่ดีดังนั้นเราจึงได้รับการรวมกลุ่ม (ถ้าฉันไม่ได้ยุ่งเกินไป) …

3
ความซับซ้อนวงจรของฟังก์ชันส่วนใหญ่
ให้เป็นฟังก์ชันส่วนใหญ่เช่นถ้าหากว่า . ฉันสงสัยว่ามีการพิสูจน์ความจริงต่อไปนี้ (โดย "ง่าย" ฉันหมายถึงการไม่พึ่งพาวิธีความน่าจะเป็นเช่น Valiant 84 ได้หรือในเครือข่ายการเรียงลำดับ; โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างวงจรที่ชัดเจนและตรงไปตรง):f ( x ) = 1 ∑ n i = 1 x i > n / 2ฉ: { 0 , 1 }n→ { 0 , 1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}ฉ( x ) = 1f(x)=1f(x) = 1Σni = 1xผม> n / 2∑i=1nxi>n/2\sum_{i …

1
ความแข็งของฟังก์ชั่นบูลีนที่มีเสียงดัง
ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรบูลีนn Let กรัม( x ) = T ε ( ฉ) ( x )เป็นค่าที่คาดหวังของF ( Y )เมื่อปีจะได้รับจากxโดยการพลิกแต่ละประสานงานกับความน่าจะเป็นε / 2ฉffnnnก.( x ) = Tε( ฉ) ( x )g(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=T_\epsilon (f) (x)ฉ( y)f(y)f(y)Yyyxxxϵ / 2ϵ/2\epsilon/2 ฉันสนใจในกรณีที่มันเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณโดยประมาณกรัมให้ฉันแก้ไขความคิดของ "การประมาณ" (แต่อาจจะมีคนอื่น): ฟังก์ชั่นบูลีนเอชประมาณgถ้าh ( x ) = 1เมื่อg ( x ) ≥ 0.9และh ( x ) = 0เมื่อg …

2
มันเป็นไปได้ที่จะใช้ข้อ จำกัด แบบสุ่มเพื่อให้ได้ต่ำกว่ามุ่ง
มีหลายที่รู้จักกันดีC 0ผลขนาดวงจรที่ต่ำกว่าที่ถูกผูกไว้ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด แบบสุ่มและการสลับแทรกAC0AC0\mathsf{AC^0} เราสามารถพัฒนาผลการสลับเลมม่าเพื่อพิสูจน์ขนาดขอบเขตล่างสำหรับวงจรTC0TC0\mathsf{TC^0} (คล้ายกับบทพิสูจน์ขอบเขตล่างสำหรับAC0AC0\mathsf{AC^0} ) ได้หรือไม่? หรือมีอุปสรรคใด ๆ ที่จะใช้วิธีนี้เพื่อพิสูจน์TC0TC0\mathsf{TC^0}ขอบเขตล่าง? ทำผลอุปสรรคเช่นพิสูจน์ธรรมชาติพูดอะไรเกี่ยวกับการใช้การสลับแทรกเช่นเทคนิคในการพิสูจน์TC0TC0\mathsf{TC^0}ต่ำกว่าขอบเขต?

1
คำขออ้างอิง: การย่อขนาด Submodular และฟังก์ชั่นบูลีน Monotone
พื้นหลัง:ในการเรียนรู้ของเครื่องเรามักจะทำงานกับแบบกราฟิกเพื่อแสดงฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมิติสูง หากเรายกเลิกข้อ จำกัด ที่ความหนาแน่นรวม (ผลรวม) กับ 1 เราจะได้รับฟังก์ชั่นพลังงานที่มีโครงสร้างของกราฟที่ผิดปกติ สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นเช่นพลังงาน, , กำหนดไว้ในกราฟG = ( V , E ) มีตัวแปรหนึ่งคือxสำหรับจุดสุดยอดของกราฟในแต่ละครั้งและมีฟังก์ชั่นเอกและคู่จริงมูลค่าθ ฉัน ( x ฉัน ) : ฉัน∈ Vและθ ฉันJ ( x ฉัน , x J ) : ฉันเจ∈ E , ตามลำดับ พลังงานเต็มแล้วEEEG=(V,E)G=(V,E)G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})xxxθi(xi):i∈Vθi(xi):i∈V\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}θij(xi,xj):ij∈Eθij(xi,xj):ij∈E\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij …

2
การคาดการณ์ความไว - บล็อกความไว - ผลกระทบ
ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนที่มีความไวความไวบล็อกและ(ฉ)fffs(f)s(f)s(f)bs(f)bs(f)bs(f) ความไวบล็อกรัฐไวคาดคะเนการคาดเดาว่ามีดังกล่าวว่าคc>0c>0c>0∀f, bs(f)≤s(f)c∀f, bs(f)≤s(f)c\forall f,\mbox{ }bs(f)\leq s(f)^c อะไรคือนัยยะของความจริงและความเท็จของการคาดคะเนนี้? กรุณาอ้างอิงการอ้างอิงเช่นกัน

1
เอนโทรปีของการโน้มน้าวใจมากกว่า hypercube
สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นf:Zn2→Rf:Z2n→Rf:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}เช่นนั้น∑x∈Zn2f(x)2=1∑x∈Z2nf(x)2=1\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1 (ดังนั้นเราจึงคิดว่า{f(x)2}x∈Zn2{f(x)2}x∈Z2n\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}เป็นการกระจาย) . มันเป็นธรรมชาติที่จะกำหนดเอนโทรปีของฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้: H(f)=−∑x∈Zn2f(x)2log(f(x)2).H(f)=−∑x∈Z2nf(x)2log⁡(f(x)2).H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) . ตอนนี้พิจารณาบิดของด้วยตัวเอง: [ F * F ] ( x ) = Σ Y ∈ Z n 2ฉ( Y ) F ( x + Y ) …

1
รับ
นี่คือปัญหาที่มีรสชาติคล้ายกับการเรียนรู้ juntas: การป้อนข้อมูล:ฟังก์ชั่น , ตัวแทนจาก oracle สมาชิกคือ oracle ที่ได้รับxผลตอบแทนF ( x )f:{0,1}n→{−1,1}f:{0,1}n→{−1,1}f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}xxxf(x)f(x)f(x) เป้าหมาย:ค้นหา subcube SSSของ{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^nด้วยโวลุ่ม|S|=2n−k|S|=2n−k|S|=2^{n-k}เช่นนั้น|Ex∈Sf(x)|≥0.1|Ex∈Sf(x)|≥0.1\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1 0.1 เราสมมติว่ามี subcube อยู่ มันง่ายที่จะได้อัลกอริธึมที่ทำงานในเวลาnO(k)nO(k)n^{O(k)}และส่งกลับคำตอบที่ถูกต้องด้วยความน่าจะเป็น≥0.99≥0.99\ge 0.99โดยลองใช้วิธีทั้งหมด(2n)k(2n)k(2n)^kเพื่อเลือก subcube และสุ่มตัวอย่างค่าเฉลี่ยในแต่ละอัน ฉันสนใจในการหาอัลกอริทึมที่วิ่งในเวลาpoly(n,2k)poly(n,2k)poly(n,2^k) ) อีกทางเลือกหนึ่งขอบเขตที่ต่ำกว่าจะดี ปัญหามีรสชาติคล้ายกับการเรียนรู้ juntas แต่ฉันไม่เห็นการเชื่อมต่อที่แท้จริงระหว่างความยากลำบากในการคำนวณของพวกเขา ปรับปรุง: @Thomas ด้านล่างพิสูจน์ให้เห็นว่าความซับซ้อนตัวอย่างของปัญหานี้คือ ) ปัญหาที่น่าสนใจก็คือความซับซ้อนของปัญหาpoly(2k,logn)poly(2k,log⁡n)poly(2^k,\log n) แก้ไข: คุณสามารถสมมติความเรียบง่ายที่มี subcube ด้วย (สังเกตช่องว่าง: เรากำลังมองหา …

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.