คำถามติดแท็ก graph-theory

การสลายตัวของต้นไม้เป็นเรื่องยากในกรณีที่เลวร้ายที่สุด แต่วิธีโลภน่าจะใกล้เคียงที่สุดในเครือข่ายขนาดเล็กในชีวิตจริง มีความรู้เกี่ยวกับความกระด้างของการสลายตัวของต้นไม้ของอินสแตนซ์ "ทั่วไป" ของกราฟบางชั้นหรือไม่? มีตัวอย่างของกราฟครอบครัวที่วิธีโลภสำหรับการย่อยสลายต้นไม้ทำได้ไม่ดีหรือไม่?

12 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  treewidth 

ให้ G เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกัน ความซับซ้อนของการนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทั้งหมดคืออะไรหาก G เป็นประเภทต่อไปนี้ G เป็นเรื่องทั่วไป G คือภาพถ่าย G เป็นสองฝ่าย ฉันไม่สนใจเกี่ยวกับโครงสร้างหรือ ... เพียงแค่ต้องนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทั้งหมด! ฉันยังสนใจในความซับซ้อนของการนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทั้งหมดด้วยโหนด k อย่างแน่นอนใน G ยินดีต้อนรับสู่ตัวชี้ไปยังเอกสารและหนังสือ!

12 cc.complexity-theory  graph-theory  counting-complexity 

อีกครั้งปัญหาขอบแบ่งพาร์ทิชันที่มีความซับซ้อนผมขี้สงสัย, แรงบันดาลใจจากคำถามก่อนหน้านี้ของฉัน อินพุต: a ลูกบาศก์กราฟG = ( V, E)G=(V,E)G=(V,E) คำถาม:มีพาร์ทิชันของเป็นซึ่งกราฟย่อยที่เกิดจากแต่ละอันนั้นเป็นทั้งเล็บ (เช่นมักเรียกว่าดาว) หรือ -path ( เช่น )?E 1 , E 2 , ... , E s E ฉันK 1 , 3 3 P 4EEEE1, E2, … , EsE1,E2,…,EsE_1, E_2, \ldots, E_sEผมEiE_iK1 , 3K1,3K_{1,3}333P4P4P_4 ฉันคิดว่าฉันเห็นกระดาษหนึ่งวันที่ปัญหานี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ แต่ฉันไม่สามารถหามันได้อีกต่อไปและฉันจำไม่ได้ว่าผลลัพธ์นั้นใช้กับกราฟลูกบาศก์หรือไม่ ในเรื่องที่เกี่ยวข้องฉันทราบว่าการแบ่งขอบกราฟเป็นสองส่วนในก้ามนั้นคือ NP-complete (ดูDyer and Frieze ) …

12 cc.complexity-theory  graph-theory  np-hardness  co.combinatorics 

ปัญหา ฉันมีกราฟที่ไม่มีทิศทาง (ซึ่งมีหลายขอบ) ซึ่งจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาโหนดและขอบอาจถูกแทรกและลบ ในการแก้ไขกราฟแต่ละครั้งฉันต้องอัปเดตส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของกราฟนี้ คุณสมบัติ คุณสมบัติเพิ่มเติมคือจะไม่มีการเชื่อมต่อสองส่วนประกอบอีกต่อไป เห็นได้ชัดว่ากราฟสามารถมีรอบเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ (มิฉะนั้นการแก้ปัญหาจะไม่สำคัญ) ถ้า edge ไม่มีโหนดnมันจะไม่นำโหนดนั้นมาใช้ แต่ถ้าn ∈ อีก็สามารถเปลี่ยนไปn ∉อีeeennnn∈en∈en \in en∉en∉en \notin e แนวทาง ฉันมีสองแนวทางที่เป็นไปได้ แต่เท่าที่คุณจะเห็นพวกเขาน่ากลัว: ช้ารัฐน้อย ฉันสามารถค้นหา (dfs / bfs) กราฟเริ่มต้นจากองค์ประกอบที่แก้ไขทุกครั้ง สิ่งนี้ช่วยประหยัดพื้นที่ แต่ช้าเนื่องจากเรามี O (n + m) สำหรับการแก้ไขแต่ละครั้ง Stateful fast (-er) (?) วิธีการ ฉันสามารถเก็บเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับแต่ละโหนดไปยังโหนดที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่ถ้าฉันเห็นอย่างถูกต้องสิ่งนี้จะใช้หน่วยความจำ O (n ^ 4) แต่ฉันไม่แน่ใจว่าการปรับปรุงรันไทม์เป็นอย่างไร (ถ้ามีอย่างใดอย่างหนึ่งเพราะฉันต้องเก็บข้อมูลที่ทันสมัยสำหรับทุกโหนดในองค์ประกอบเดียวกัน) คำถาม …

12 ds.algorithms  graph-theory  approximation-algorithms  online-algorithms 

เรารู้จากเช่นKoutis-Miller-Peng (จากงานของ Spielman & Teng) ว่าเราสามารถแก้ระบบเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์อย่างรวดเร็วซึ่งเป็นเมทริกซ์ Laplacian สำหรับกราฟที่มีน้ำหนักเบาบางที่ไม่เป็นลบ .Ax=bAx=bA x = bAAA ตอนนี้ (คำถามแรก) ลองใช้หนึ่งในกราฟ Laplacian เมทริกซ์เป็นความแปรปรวนร่วมหรือ (คำถามที่สอง) เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมผกผันของการแจกแจงปกติแบบศูนย์หลายค่าเฉลี่ยหรือ1}) สำหรับแต่ละกรณีฉันมีคำถามสองข้อ:AAAN ( 0 , A - 1 )N(0,A)N(0,A)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A)N(0,A−1)N(0,A−1)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A^{-1}) A. เราสามารถดึงตัวอย่างจากการกระจายนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพแค่ไหน? (โดยทั่วไปการวาดตัวอย่างเราคำนวณการสลายตัวของ Cholesky , วาดมาตรฐานปกติจากนั้นคำนวณตัวอย่างเป็นx = L ^ { -1} y ) y ∼ N ( 0 , I ) …

12 ds.algorithms  graph-theory  linear-algebra  pr.probability  spectral-graph-theory 

ภาพถ่ายกราฟเป็นกราฟที่สามารถฝังตัวอยู่ในเครื่องบินโดยไม่ต้องข้ามขอบ ปล่อยให้เป็น -uniform-hypergraph, เช่น hypergraph ที่ hyperedges ทั้งหมดมีขนาด kkG = ( X, E)G=(X,E)G=(X,E)kkk มีงานบางอย่างในการฝังไฮเปอร์กราฟบนเครื่องบิน (ด้วยบริบทของการรวมกลุ่มหรือแอปพลิเคชันอื่น ๆ ) แต่บ่อยครั้งที่ข้อมูลไม่สามารถฝังอยู่ในเครื่องบินได้ วิธีแก้ปัญหาอาจเป็นการบังคับด้วยการสูญเสียหรือฝังในมิติที่สูงกว่าตามที่ฉันแนะนำที่นี่: ส่วนขยายตามธรรมชาติของ planarity (IMO อย่างน้อยที่สุด) คือ " -simple-embedding" (มีชื่อเรียกที่แตกต่างกันหรือไม่?) ของ : การฝังเช่นนั้นมีพื้นผิวที่เชื่อมต่อทุกจุดของไฮเปอร์มาร์เก็ตแต่ละอันและสิ่งเหล่านี้ไม่ได้ตัดกันยกเว้นจุดปลายG M : X → R kkkkGGGM :X→ RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k (ลองนึกถึงอะนาล็อกในแบบ 2D โดยที่แต่ละพื้นผิวเป็นขอบคุณสามารถวาดได้ตามต้องการ) นี่คือตัวอย่างของการฝัง 3-simple-embage ที่ถูกต้องของ 3-uniform-hypergraph (แต่ละจุดสุดยอดจะมีสีโดยไฮเปอร์เดคที่อยู่ในนั้นและแต่ละหน้าแทนไฮเปอร์ดจ์) ตัวอย่างของกราฟ 3 ง่าย …

12 graph-theory  planar-graphs  hypergraphs  embeddings  generalizations 

ฉันมีส่วนหนึ่งของความพยายามที่จะพิสูจน์ของ{} ความพยายามในการพิสูจน์ประกอบด้วยการลดคาร์ปจาก - ปัญหาที่สมบูรณ์ VERTEX 3- ระเบียบครอบคลุมถึง SAT⊕P⊆NP⊕P⊆NP\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}⊕P⊕P\oplus \mathbf{P}⊕⊕\oplus ด้วยกราฟลูกบาศก์การลดลงจะให้ผลลัพธ์ของสูตร CNFมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้GGGFFF FFFมีการมอบหมายที่น่าพอใจอย่างมากรายการ111 FFFเป็นที่น่าพอใจถ้าจำนวนของจุดยอดครอบคลุมของเป็นเลขคี่GGG คำถาม ซึ่งก็จะมีผลกระทบของ ? ผลที่ฉันได้รับทราบแล้วคือ:จะลดลงเป็นผ่านการลดแบบสุ่มสองด้าน กล่าวอีกนัยหนึ่งเราจะมี (ใช้ทฤษฎีบทของโทดะซึ่งระบุว่าโดยแทนที่ด้วย ) ฉันไม่ทราบว่าแสดงว่ามีอยู่ในบางระดับของลำดับชั้นพหุนาม: ถ้าใช่ผลลัพธ์ต่อไปจะเป็นเช่นนั้น⊕P⊆NP⊕P⊆NP\oplus \mathbf{P} \subseteq \mathbf{NP}PHPH\mathbf{PH}NPNP\mathbf{NP}PH⊆BPPNPPH⊆BPPNP\mathbf{PH}\subseteq\mathbf{BPP}^{\mathbf{NP}}PH⊆BPP⊕PPH⊆BPP⊕P\mathbf{PH}\subseteq\mathbf{BPP}^{\oplus\mathbf{P}}⊕P⊕P\oplus\mathbf{P}NPNP\mathbf{NP}BPPNPBPPNP\mathbf{BPP}^{\mathbf{NP}}iiiPHPH\mathbf{PH}ทรุดฮวบลงไปถึงระดับดังกล่าวฉันยิ่งกว่านั้นภายใต้สมมติฐาน derandomization ที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ( ) ลำดับชั้นของพหุนามจะยุบระหว่างระดับแรกและระดับที่สองเนื่องจากเราจะมี (ฉันบอกว่านี่ไม่เป็นความจริง แต่ฉันจะไม่ลบบรรทัดนี้จนกว่าฉันจะเข้าใจว่าทำไม)iiiBPP=PBPP=P\mathbf{BPP} = \mathbf{P}PH=PNP=ΔP2PH=PNP=Δ2P\mathbf{PH} = \mathbf{P}^\mathbf{NP} = \Delta_2^\mathbf{P} ถ้าฉันไม่ผิด, การลดลงดังกล่าวจริงจะพิสูจน์มากกว่า{} มันจะพิสูจน์ได้ว่า{UP} ซึ่งก็จะมีผลกระทบของ , นอกจากนี้ให้กับผู้โดยนัยแล้วโดย ? ฉันไม่ทราบแน่ชัดว่าจะเพิ่มความประหลาดใจให้กับผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจของมากน้อยเพียงใด ฉันคิดว่ามันคงเป็นไปได้และค่อนข้างกว้าง⊕P⊆NP⊕P⊆NP\oplus …

12 cc.complexity-theory  graph-theory  complexity-classes  sat  counting-complexity 

antichainในDAG เป็นส่วนหนึ่ง⊆ Vของจุดที่ไม่สามารถเข้าถึงคู่คือไม่มีวี≠ วี' ∈ดังกล่าวว่าโวลต์สามารถเข้าถึงได้จากโวลต์'ในE จากทฤษฎีบทของดิลเวิร์ ธในทฤษฎีลำดับบางส่วนเป็นที่รู้กันว่าถ้า DAG ไม่มีแอนติเชนขนาดk ∈ Nจากนั้นมันสามารถย่อยสลายในสหภาพที่มีโซ่แยกส่วนk - 1มากที่สุดคือเส้นทางชี้นำ(V,E)(V,E)(V, E)A⊆VA⊆VA \subseteq Vv≠v′∈Av≠v′∈Av \neq v' \in Avvvv′v′v'EEEk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}k−1k−1k-1 vvvλ(v)λ(v)\lambda(v)ΣΣ\SigmaA⊆VA⊆VA \subseteq VΣΣ\SigmaAAAmina∈Σ|{v∈A∣λ(v)=a}|mina∈Σ|{v∈A∣λ(v)=a}|\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}| k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}ฉันจะเดาได้อย่างไรเกี่ยวกับโครงสร้างของมัน ฉันสามารถย่อยสลายมันด้วยวิธีพิเศษได้ไหม? ฉันงงกับกรณีของ , แต่ก็สนใจในกรณีของชุดฉลาก จำกัด ทั่วไปΣ={a,b}Σ={a,b}\Sigma = \{a, b\} เพื่อให้เห็นภาพนี้สำหรับ , บอกว่าไม่มี antichain …

11 reference-request  graph-theory  directed-acyclic-graph  partial-order 

กำหนด DAG (กำกับวัฏจักรกราฟ) กับแหล่งที่มาของSและอ่างล้างมือT ค้นหา DAG D ′ด้วยแหล่งSและ sinks Tโดยมีจำนวนขั้นต่ำเช่น:DDDSSSTTTD′D′D'SSSTTT สำหรับทุกคู่มีเส้นทางจากยูจะวีในDและถ้าหากมีเส้นทางจากยูจะวีในD 'ยู∈ S, v ∈ Tu∈S,v∈Tu \in S, v \in Tยูuuโวลต์vvDDDยูuuโวลต์vvD'D′D' แอปพลิเคชันหนึ่งรายการนี้แสดงถึงชุดของ DAG สำหรับการแทนแต่ละแหล่งที่มานั้นเป็นตัวแปรในจักรวาลและแต่ละ sink เป็นเซตในชุดตระกูลและองค์ประกอบ u อยู่ในเซต S ถ้าหากมีเส้นทางจากจุดยอดแทน u ถึงจุดยอดแทน ชุด S. ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันดีหรือไม่? มีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับปัญหานี้หรือไม่?

11 graph-theory  graph-algorithms 

สิ่งนี้ทำให้ฉันสับสน กรณีที่ง่ายในการนับคือเมื่อปัญหาการตัดสินใจอยู่ในและไม่มีวิธีแก้ไขPPP การบรรยายแสดงให้เห็นว่าปัญหาในการนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟสองส่วน (เทียบเท่าการนับจำนวนรอบที่ครอบคลุมในกราฟกำกับ) คือ - สมบูรณ์# P#P\#P พวกเขาให้ลดจากการนับจุดสุดยอดครอบคลุมขนาด ไปจนถึงวงจรการนับครอบคลุมใน digraph โดยใช้อุปกรณ์kkk ทฤษฎีบท 27.1 ผ้าห่มจำนวนรอบที่ดีในคือเท่าของจำนวนยอดครอบคลุมของขนาดkHHH( k ! )2(k!)2(k!)^2GGGkkk การใช้แกดเจ็ตจะทำให้เหลือเพียงรอบ "ดี" ความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับการบรรยายคือไม่ได้ครอบคลุมจุดสุดยอดของขนาด iff digraph ที่ถูกแปลง ไม่มีวงจรครอบคลุม การตรวจสอบว่ามีการครอบคลุมวงรอบสามารถทำได้ในเวลาพหุนามหมายความว่าเนื่องจากเราสามารถเปลี่ยนปัญหาการตัดสินใจเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาGGGkkkG'G'G'G'G'G'P= NPP=ยังไม่มีข้อความPP=NP ฉันเข้าใจผิดอะไร ถาวรของเมทริกซ์ adjacency ของ digraph นับวงจรครอบคลุมและเป็น - สมบูรณ์#P#P\#P ปัญหาการตัดสินใจ "เป็นถาวร (0,1) ศูนย์เมทริกซ์" อยู่ใน P ตั้งแต่การหาฝาครอบวงจรอยู่ในPPPP P≠ NPP≠ยังไม่มีข้อความPP \ne NPหมายถึงมีการลดลงของการนับไม่มี ปัญหาที่สมบูรณ์ที่จะนับถาวรซึ่งแผนที่0ยังไม่มีข้อความPยังไม่มีข้อความPNP( 0 , 1 …

11 cc.complexity-theory  graph-theory 

Crossposted จากMO ให้เป็นคลาสกราฟที่กำหนดโดยจำนวน จำกัด ของกราฟย่อยเหนี่ยวนำที่ต้องห้ามซึ่งทั้งหมดเป็นวงจร (ประกอบด้วยอย่างน้อยหนึ่งรอบ)CCC มีปัญหากราฟ NP-hard ที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับนอกเหนือจากครอบคลุม Clique และ Clique?CCC ถ้าฉันจำได้ถูกต้องมันเป็นไปไม่ได้สำหรับชุดอิสระ (ยกเว้น )P=NPP=NPP=NP ค้นหาใน graphclasses.org ไม่พบสิ่งใด คลาสที่ Clique และ Clique cover เป็นพหุนามคือC5, C6, X164, X165, sunlet4, แบบสามเหลี่ยม แก้ไข เป็นลบสำหรับ IS และ Domination อยู่ในเอกสารนี้ หน้า 2 กราฟ KSi,j,kSi,j,kS_{i,j,k}

11 cc.complexity-theory  graph-theory  graph-algorithms  co.combinatorics 

จำขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของกราฟคือความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ยาวที่สุดในGรับกราฟอัลกอริทึมที่ชัดเจนสำหรับการคำนวณแก้ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของทุกคู่ (APSP) และส่งกลับความยาวของเส้นทางที่ยาวที่สุดที่พบG diam ( G )GGGGGGdiam ( G )diam(G)\text{diam}(G) เป็นที่ทราบกันดีว่าปัญหา APSP สามารถแก้ไขได้ในเวลาเหมาะสมสำหรับคลาสกราฟต่างๆ สำหรับกราฟทั่วไปมีวิธีการเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับพีชคณิตกราฟที่ทำงานในเวลาเวลาที่เป็นขอบเขตสำหรับการคูณเมทริกซ์ อย่างไรก็ตามการคำนวณขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางจะเห็นได้ชัดว่าไม่ได้เชื่อมโยงอย่างยิ่งที่จะ APSP, ที่แสดงโดย YusterO ( M ( n ) บันทึกn ) M ( n )O ( n2)O(n2)O(n^2)O ( M( n ) บันทึกn )O(M(n)log⁡n)O(M(n) \log n)M( n )M(n)M(n) เป็นที่รู้จักกันในชั้นเรียนกราฟที่ไม่สำคัญซึ่งสามารถคำนวณขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางได้เร็วขึ้นพูดในเวลาเชิงเส้น? ฉันสนใจกราฟ chordal เป็นพิเศษและ subclasses ใด ๆ ของกราฟ chordal …

11 graph-theory  graph-algorithms  shortest-path 

ให้เป็นระยะทางเฉลี่ยของกราฟที่เชื่อมต่อad(G)ad(G)\rm{ad}(G)G.G.G. วิธีหนึ่งในการคำนวณคือการสรุปองค์ประกอบของเมทริกซ์ระยะทางของและปรับขนาดผลรวมอย่างเหมาะสมad(G)ad(G)\rm{ad}(G)D(G),D(G),D(G),GGG หากกราฟผลลัพธ์เป็นต้นไม้จะทราบได้ว่าระยะทางเฉลี่ยสามารถคำนวณในเวลาเชิงเส้นได้ (ดู B.Mohar, T.Pisanski - วิธีคำนวณดัชนี Wiener ของกราฟ) ดูเหมือนจะมีอัลกอริธึมที่รวดเร็วสำหรับกราฟที่มีความกว้างของต้นไม้ที่ จำกัด ขอบเขตเช่นกัน คำถามที่น่าสนใจคือว่าช่วยให้รู้จักในคำอื่น ๆD(G).D(G).D(G). เป็นไปได้หรือไม่ที่จะคำนวณในเวลากำลังสองย่อย?ad(G)ad(G)\rm{ad}(G) สิ่งที่ฉันสนใจในการรู้คือถ้ามีขอบเขตล่างทางทฤษฎีว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นไปไม่ได้

11 cc.complexity-theory  graph-theory  graph-algorithms 

ขอให้เราผ่อนคลายการระบายสีเล็กน้อยนั่นคือเราอนุญาตให้จำนวนจุดยอดที่อยู่ติดกันจำนวนน้อยถูกกำหนดสีเดียวกัน ส่วนประกอบ monochromatic ถูกกำหนดให้เป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อในกราฟย่อยที่เกิดจากชุดของจุดยอดที่ได้รับสีเดียวกันและคำถามคือการถามจำนวนขั้นต่ำของสีที่จำเป็นสำหรับสีของกราฟเช่นองค์ประกอบ monochromatic ที่ใหญ่ที่สุดมีขนาด ไม่เกินC λλ\lambdaคคC การระบายสีแบบดั้งเดิมถือได้ว่าระบายสีในการตั้งค่านี้ ดังนั้นการหาจำนวนขั้นต่ำของλคือ NP-hard สำหรับกราฟระนาบโดยทั่วไป [ λ , 1 ][λ,1][\lambda,1]λλ\lambda คำถามของฉันก็คือระบายสีกราฟระนาบ[ λ , 2 ][λ,2][\lambda,2]หรือโดยทั่วไประบายสีสำหรับC ≥ 2 ?[ λ , C][λ,ค][\lambda,C]ค≥ 2ค≥2C \geq 2 นี้สามารถดูได้เป็นปัญหาคู่ของสิ่งที่ศึกษาโดยเอ็ดเวิร์ดและฟาร์ที่ได้รับการแก้ไขและหนึ่งถามว่าจะหาสิ่งที่ขนาดต่ำสุดของCλλ\lambdaคคC

11 cc.complexity-theory  graph-theory  graph-colouring  planar-graphs 

ส่วนหนึ่งของความยากลำบากในการค้นหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหานี้คือปัญหาการจับคู่กราฟแตกต่างจากลูกพี่ลูกน้องที่โด่งดังมากขึ้นปัญหาการจับคู่ แต่ยากที่จะแยกแยะความแตกต่างเมื่อใช้เครื่องมือค้นหา รับกราฟสองกราฟG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)และG′=(V′,E′)G′=(V′,E′)G'=(V',E')เช่นนั้น|V|=|V′||V|=|V′||V| = |V'|งานคือการหา bijection π:V→V′π:V→V′\pi : V \rightarrow V'ดังกล่าวว่า bijection นี้กำหนดเป็นจดหมายมากระหว่างขอบของGGGและG′G′G'เป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าMMMและM′M′M'เป็นเมทริกซ์ adjascency แล้วเราต้องการที่จะเพิ่ม ∑v,w∈VMv,w⋅M′π(v),π(w)∑v,w∈VMv,w⋅Mπ(v),π(w)′\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)} ปัญหานี้ชัดเจนประกอบด้วยกราฟมอร์ฟิซึ่มส์เป็นกรณีพิเศษและสามารถลดลงเป็นการจับคู่สองฝ่ายภายใต้การลด (ไม่ใช่พหุนาม!) มีอัลกอริธึมชนิดใดและมีความซับซ้อนเกี่ยวกับอะไรบ้าง?

11 reference-request  graph-theory  graph-isomorphism