คำถามติดแท็ก nt.number-theory

คำถามในทฤษฎีจำนวน

1
การตัดสินใจว่าช่วงเวลามีจำนวนเฉพาะหรือไม่
ความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าช่วงเวลาของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยนายกหรือไม่? ตัวแปรของ Sieve of Eratosthenes ให้อัลกอริธึมโดยที่Lคือความยาวของช่วงเวลาและ∼ซ่อนโพลี - ลอการิทึมปัจจัยในจุดเริ่มต้นของช่วงเวลา; เราสามารถทำได้ดีกว่า (ในแง่ของLคนเดียว)?O~(L)O~(L)\tilde O(L)LLL∼∼\simLLL
4
การเป็นตัวแทน Base-k ของ co-domain ของพหุนาม - มันไม่มีบริบทหรือไม่
ในบทที่ 4 ของหลักสูตรA Second ในวิชา Automata Theoryของ Jeffrey Shallit ปัญหาต่อไปนี้แสดงเป็น open: p(n)p(n)p(n)∈Np(n) \in \mathbb{N}n∈Nn \in \mathbb{N}{p(n)∣n⩾0}{p(n)∣n⩾0}\{p(n) \mid n \geqslant 0\}ppp⩽1⩽1\leqslant 11 สถานะของมันคืออะไร (สำหรับ ต.ค. 2561) มันพิสูจน์แล้วหรือไม่ มีกรณีพิเศษอะไรบ้าง?
1
มีอัลกอริทึม NC ควอนตัมสำหรับการคำนวณ GCD หรือไม่
จากความเห็นเกี่ยวกับหนึ่งในคำถามของฉันเกี่ยวกับ MathOverflow ฉันรู้สึกว่าคำถามเกี่ยวกับ GCD อยู่ใน vs.เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มใน vs.{}N Cยังไม่มีข้อความค\mathsf{NC}PP\mathsf{P}PP\mathsf{P}N Pยังไม่มีข้อความP\mathsf{NP} มีบางอย่างเช่นอัลกอริทึม"quantum " สำหรับ GCD เนื่องจากมีเวลาพหุนามควอนตัม ( ) อัลกอริธึมสำหรับ Integer Factorization หรือไม่N Cยังไม่มีข้อความค\mathsf{NC}B Q PBQP\mathsf{BQP} คำถามที่เกี่ยวข้อง: ความซับซ้อนของตัวหารทั่วไปที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (gcd)
2
ปัญหา "ที่ใกล้ที่สุด" ของการคาดคะเน Collatz ที่ได้รับการแก้ไขเรียบร้อยแล้วคืออะไร
ฉันสนใจในปัญหา "ที่ใกล้ที่สุด" (และ "ซับซ้อนที่สุด") สำหรับการคาดคะเน Collatzที่ได้รับการแก้ไขเรียบร้อยแล้ว (ซึ่ง Erdos ได้กล่าวไว้อย่างดีว่า "คณิตศาสตร์ยังไม่สุกสำหรับปัญหาดังกล่าว") มันได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาที่คล้ายกับ "โคลลาทซ์" อย่างไรก็ตามปัญหาที่มีความคล้ายคลึงกันอย่างคลุมเครือเช่นเกม MIU ของ Hofstadter (แก้ไขแล้ว แต่ปัญหาของเล่นเป็นที่ยอมรับมากขึ้น) นั้นสามารถตัดสินใจได้จริงหรือได้รับการแก้ไขแล้ว คำถามที่เกี่ยวข้อง Collatz Conjecture & Grammars / Automata
1
ปัญหาทฤษฎีจำนวนนี้มีความซับซ้อนใด
'ให้ , มีx , y ∈ N , a x 2 + b y = c ' คือN P-สมบูรณ์a,b,c∈Na,b,c∈Na,b,c\in\Bbb Nx,y∈Nx,y∈Nx,y\in\Bbb Nax2+by=cax2+by=cax^2+by=cNPNP\mathsf{NP} คลาสความซับซ้อนใดที่ 'ให้ , มีx , y ∈ N , a 2 x + b y 2 = c ' อยู่หรือไม่a,b,c∈Na,b,c∈Na,b,c\in\Bbb Nx,y∈Nx,y∈Nx,y\in\Bbb Nax2+by2=cax2+by2=cax^2+by^2=c
2
อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับการหารคืออะไร
aaabbbaaabbbaaabbbO(mlogmloglogm)O(mlog⁡mlog⁡log⁡m)O(m\log m\log\log m)mmmmax{a,b}max{a,b}\max\{a,b\}Ω(mlogmloglogm)Ω(mlog⁡mlog⁡log⁡m)\Omega(m\log m\log\log m)ขอบเขตล่างของปัญหานี้หรือไม่ ขอขอบคุณและขอแสดงความนับถือและขออภัยถ้านี่เป็นคำถามที่ไร้เดียงสา
2
ความซับซ้อนของการทดสอบการเป็นสมาชิกสำหรับกลุ่มอาเบลอัน จำกัด
พิจารณาคริสต์-กลุ่มย่อยสมาชิกทดสอบต่อไปนี้ปัญหา ปัจจัยการผลิต: จำกัด คริสต์กลุ่มกับพลขนาดใหญ่d_iG=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}didid_i สร้างชุดของกลุ่มย่อยG{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbraceH⊂GH⊂GH\subset G องค์ประกอบGb∈Gb∈Gb\in G ผลลัพธ์: 'ใช่' ถ้าและ 'ไม่' ที่อื่น 'b∈Hb∈Hb\in H คำถาม:ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพในคอมพิวเตอร์คลาสสิคหรือไม่? ฉันพิจารณาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหากใช้เวลาและทรัพยากรหน่วยความจำในความรู้สึกปกติของเครื่องทัวริงแบบดั้งเดิม ขอให้สังเกตว่าเราสามารถสมมติสำหรับกลุ่มย่อย ๆHป้อนข้อมูลขนาดของปัญหานี้คือ\O(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil แรงจูงใจเล็กน้อย ดูเหมือนว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นของสมการหรือสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น (อ่านด้านล่าง) อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่ามีความคิดที่แตกต่างกันของประสิทธิภาพการคำนวณที่ใช้ในบริบทของการคำนวณด้วยจำนวนเต็มเช่น: อย่างยิ่งเมื่อเทียบกับเวลาพหุนามอย่างอ่อน, พีชคณิตกับความซับซ้อนบิต ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับคำจำกัดความเหล่านี้และฉันไม่สามารถหาข้อมูลอ้างอิงที่ตั้งคำถามได้อย่างชัดเจน อัปเดต:คำตอบของปัญหาคือ "ใช่" ในคำตอบที่ล่าช้าฉันเสนอวิธีการตามแบบฟอร์มปกติของ Smith ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับกลุ่มใด ๆ ที่มีแบบฟอร์มที่กำหนด คำตอบโดย Blondin แสดงให้เห็นว่าในกรณีที่ทั้งหมดอยู่ในรูปแบบและเป็น "จำนวนเต็มจิ๋ว" ดังนั้นปัญหาจึงเป็นของP} จำนวนเต็มเล็ก ๆ ชี้แจงขนาดเล็กที่มีขนาดการป้อนข้อมูล:|)วันที่ฉัน = N อีฉันฉันไม่มีฉัน , อีฉันNC 3 …
3
ใช้ลำดับ de Bruijn เพื่อค้นหา
ฌอนแอนเดอร์สันตีพิมพ์แฮ็กแบบทวิปสองบิตที่มีอัลกอริทึมของ Eric Cole เพื่อค้นหา⌈ บันทึก2v ⌉⌈เข้าสู่ระบบ2⁡โวลต์⌉\lceil\log_2 v \rceilของยังไม่มีข้อความยังไม่มีข้อความN -bit จำนวนเต็มโวลต์โวลต์vในการดำเนินการO ( lg( N) )O(LG⁡(ยังไม่มีข้อความ))O(\lg(N))ด้วยการคูณและค้นหา อัลกอริทึมนั้นอาศัยหมายเลข "เวทมนต์" จากลำดับ De Bruijn ใครสามารถอธิบายคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของลำดับที่ใช้ที่นี่ได้ไหม uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v int r; // result goes here static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = { 0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, …
3
เมอร์ลินสามารถโน้มน้าวให้อาเธอร์เกี่ยวกับผลรวมบางอย่างได้หรือไม่?
เมอร์ลินผู้ซึ่งมีทรัพยากรการคำนวณมากมายต้องการโน้มน้าวอาเธอร์ว่า สำหรับ( N , M , k )กับk = O ( log N )และม. = O ( N ) การคำนวณผลรวมนี้ในวิธีที่ตรงไปตรงมา (การยกกำลังแบบแยกส่วนและการเพิ่ม) ใช้เวลาN ( บันทึกบันทึกN ) 2 + o (m | Σp ≤ N, p ไพรม์ พีkม.|Σพี≤ยังไม่มีข้อความ, พี สำคัญพีkm|\sum_{p\le N,\ p\text{ prime}}p^k( N, m , k )(ยังไม่มีข้อความ,ม.,k)(N,m,k)k = O ( บันทึกยังไม่มีข้อความ)k=O(เข้าสู่ระบบ⁡ยังไม่มีข้อความ)k=O(\log …
1
“ ล้น” ในอัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย
ขออภัยถ้าฉันเข้าใจผิดกับสถานที่ที่จะถามคำถาม (บางทีฉันควรไปที่ stackoverflow.com/mathoverflow.net?) ฉันสงสัยว่ามีการพิสูจน์ว่าเมื่อประเมินอัลกอริธึมแบบยุคลิดแบบขยายค่าสัมประสิทธิ์ของBézout (นั่นคือsและtในตัวตนเป็น + bt = gcd ( a , b )) จะไม่เกินค่าที่สมเหตุสมผล (ขึ้นอยู่กับ a, b ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้งานกับภาษาการเขียนโปรแกรมวัตถุประสงค์ทั่วไปบางอย่างฉันสนใจในความถูกต้องของโปรแกรมมากเกินไป เพื่อความแม่นยำฉันสามารถพูดได้ว่าฉันใช้คำอธิบายอัลกอริทึมของ Victor Shoup (4.2 ในหนังสือของเขาที่ชื่อ " A Introduction to Number Number Theory and Algebra " จากโฮมเพจ
2
รับจำนวนบิตอย่างมีประสิทธิภาพ! ?
รับและเป็นไปได้ที่จะได้บิต (หรือหลักฐานเล็ก ๆ ) ของในเวลา / พื้นที่ของโดยที่เป็นฟังก์ชันพหุนามในและ ?M M N ! O ( p ( l n ( N ) , l n ( M ) ) ) p ( x , y ) x yยังไม่มีข้อความยังไม่มีข้อความNMMMMMMยังไม่มีข้อความ!ยังไม่มีข้อความ!N!O ( p ( l n ( N)) , l n ( M) ) )O(พี(ล.n(ยังไม่มีข้อความ),ล.n(M)))O( …
1
เปรียบเทียบผลิตภัณฑ์สองรายการจากจำนวนเต็มหรือไม่
สมมติว่าฉันมีสองรายการของจำนวนเต็มบวกของความเป็นลูกโซ่ที่มีขอบเขตและฉันนำผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบทั้งหมดของแต่ละรายการ วิธีที่ดีที่สุดในการพิจารณาว่าผลิตภัณฑ์ใดมีขนาดใหญ่กว่า แน่นอนฉันสามารถคำนวณแต่ละผลิตภัณฑ์ได้ แต่ฉันหวังว่าจะมีวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเนื่องจากจำนวนตัวเลขในผลิตภัณฑ์จะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามจำนวนคำศัพท์เพื่อให้การคำนวณทั้งหมดเป็นกำลังสอง ถ้าฉันเพิ่มแทนที่จะเป็นแบบทวีคูณฉันสามารถใช้ "กลยุทธ์การ zippering" ของการเพิ่มรายการจากรายการแรกและลบออกจากรายการที่สองโดยหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการคำนวณผลรวมโดยรวม (ใหญ่) เทคนิคแบบอะนาล็อกสำหรับผลิตภัณฑ์จะรวมลอการิทึมของรายการ แต่ปัญหาในขณะนี้คือการคำนวณล็อกต้องใช้เลขคณิตที่ไม่แน่นอน หากไม่มีวิธีในการพิสูจน์ว่าข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขนั้นไม่เกี่ยวข้องหรือไม่
2
ชุดย่อย
แก้ไขkสำหรับการใด ๆ ขนาดใหญ่พอที่เราต้องการที่จะติดป้ายย่อยทั้งหมดของขนาดว่าโดยจำนวนเต็มบวกจาก\} เราต้องการให้การติดฉลากนี้เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้: มีชุดของจำนวนเต็ม stk≥5k≥5k\ge5nnn{1..n}{1..n}\{1..n\}n/kn/kn/k{1...T}{1...T}\{1...T\}SSS ถ้าย่อยของขนาดไม่ตัด (เช่นสหภาพของชุดเหล่านี้ทุกรูปแบบชุด ) แล้วผลรวมของป้ายชื่อของพวกเขาอยู่ในSkkkn/kn/kn/k{1..n}{1..n}\{1..n\}SSS มิฉะนั้นผลรวมของป้ายชื่อของพวกเขาไม่ได้อยู่ในSSSS มีและการติดฉลาก stหรือไม่?k≥5k≥5k\ge5T⋅|S|=O(1.99n)T⋅|S|=O(1.99n)T\cdot|S|=O(1.99^n) ตัวอย่างเช่นสำหรับใด ๆเราสามารถติดป้ายเซ็ตย่อยด้วยวิธีต่อไปนี้ แต่ละชุดย่อยมีบิตในจำนวนของตน: บิตแรกเท่ากับ iff ชุดย่อยมีบิตที่สองเท่ากับ iff ชุดย่อยมีฯลฯ มันง่ายที่จะเห็นว่ามีเพียงองค์ประกอบเดียวkkkT=2nT=2nT=2^nnnn111111111222SSS2n−12n−12^n-1 1 แต่ที่นี่T⋅|S|=Θ(2n)T⋅|S|=Θ(2n)T\cdot|S|=\Theta(2^n) ) เราทำได้ดีกว่านี้ไหม
1
การลดแฟคตอริ่งระหว่างผลิตภัณฑ์หลักไปยังแฟคตอริ่งจำนวนเต็ม (โดยเฉลี่ย)
คำถามของฉันเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของความปลอดภัยของฟังก์ชั่นทางเดียวที่ผู้สมัครสามารถสร้างได้ขึ้นอยู่กับความแข็งของแฟคตอริ่ง สมมติว่าปัญหาของ ปัจจัย: [ให้สำหรับช่วงเวลาสุ่มP , Q &lt; 2 n , หาP , Q ]N=PQN=PQN = PQP,Q&lt;2nP,Q&lt;2nP, Q < 2^nPPPQQQ ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่มีสิทธิ์ฟังก์ชัน PRIME-MULT: [ ป.ร. ให้ไว้สตริงบิตเป็น input ใช้xเป็นเมล็ดพันธุ์ที่จะสร้างทั้งสองช่วงเวลาสุ่มPและQ (ที่ความยาวของP , Qเป็นเพียง polynomially ขนาดเล็กกว่าความยาวของx ); จากนั้นเอาต์พุตP Q ]xxxxxxPPPQQQPPPQQQxxxPQPQPQ สามารถแสดงเป็นทางเดียว ฟังก์ชันทางเดียวของผู้สมัครอื่นคือ INTEGER-MULT: [รับจำนวนเต็มสุ่มเป็นอินพุตเอาต์พุตA B ]A,B&lt;2nA,B&lt;2nA, B < 2^nABABA B INTEGER-MULT มีข้อได้เปรียบที่ง่ายต่อการกำหนดเมื่อเปรียบเทียบกับ PRIME-MULT (โปรดสังเกตโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าใน PRIME-MULT …
1
อัลกอริทึมในการคำนวณระยะห่างระหว่างอำนาจ
เมื่อให้ coprime aคุณสามารถคำนวณa , ba,ขa, bนาทีx , y&gt; 0|ax-ขY|นาทีx,Y&gt;0|ax-ขY| \min_{x, y > 0} |a^x - b^y| ที่นี่x , yx,Yx, yเป็นจำนวนเต็ม เห็นได้ชัดว่าการx = y= 0x=Y=0x = y = 0ให้คำตอบที่ไม่น่าสนใจ; โดยทั่วไปพลังเหล่านี้จะได้ใกล้แค่ไหน นอกจากนี้เราจะคำนวณการย่อขนาด x, yได้อย่างรวดเร็วได้x , yx,Yx, yอย่างไร?
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.