คำถามติดแท็ก pr.probability

ฉันคิดเกี่ยวกับปัญหานี้มานานแล้ว แต่ไม่มีความคิดเกี่ยวกับมัน อัลกอริทึมการสร้างมีดังนี้ เราถือว่ามีnnnโหนดต่อเนื่องจำนวนจาก000ไปn−1n−1n - 1 1 แล้วสำหรับแต่ละiiiใน{1,…,n−1}{1,…,n−1}\{1, \dotsc, n - 1\}เราทำให้iiiพ่อแม่ของโหนด TH ในต้นไม้เป็นโหนดสุ่ม{0,…,i−1}{0,…,i−1}\{0, \dotsc, i - 1\} } ย้ำผ่านแต่ละiiiในการสั่งซื้อเพื่อให้ผลที่ได้คือต้นไม้สุ่มที่มีโหนดราก0000(อาจเป็นแบบสุ่มไม่พอ แต่อาจไม่สำคัญ) ความลึกที่คาดหวังของต้นไม้นี้คืออะไร?

19 pr.probability 

สิ่งหนึ่งที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถทำได้ (อาจเป็นได้แม้เพียงแค่ BPP + วงจรควอนตัมเชิงลึก) คือการประมาณตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันบูลีนค่าใน P±1±1\pm 1 ที่นี่และด้านล่างเมื่อฉันพูดถึงการสุ่มตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ฉันหมายถึงการเลือก x ตาม . (ปรับให้เป็นมาตรฐานถ้าจำเป็นและโดยประมาณ)|f^(x)|2|f^(x)|2|\hat f(x)|^2 เราสามารถอธิบายระดับความซับซ้อนที่เราสามารถเรียก P-FOURIER SAMPLING จากการสุ่มตัวอย่างโดยประมาณฟังก์ชันบูลีนของ P ได้หรือไม่ มีปัญหาใดบ้างที่สมบูรณ์สำหรับชั้นนี้? เมื่อกำหนดคลาส X ของฟังก์ชันบูลีนสิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณเราสามารถอ้างถึง SAMPLING-X ของการประมาณการสุ่มตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันใน X (ฉันคิดว่าถ้า X เป็น BQP แล้ว X-SAMPLING คือ ยังอยู่ในอำนาจของคอมพิวเตอร์ควอนตัม) ตัวอย่างของ X ที่ SAMPLING-X อยู่ใน P คืออะไร มีตัวอย่างที่น่าสนใจที่ SAMPLING-X NP-hard หรือไม่ ปัญหานี้มีหลายรูปแบบที่น่าสนใจ ในด้านฟูเรียร์แทนที่จะเป็นตัวอย่างโดยประมาณเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจที่เปิดใช้งาน (ความน่าจะเป็น) โดยการสุ่มตัวอย่างโดยประมาณ …

17 cc.complexity-theory  quantum-computing  pr.probability  randomized-algorithms  sample-complexity 

เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าคุณโยนลูกบอล n ลูกลงในถังขยะถังขยะที่โหลดมากที่สุดมีแนวโน้มที่จะมีลูกอยู่ในนั้น โดยทั่วไปเราสามารถถามเกี่ยวกับลูกใน bins กระดาษจาก RANDOM 1998 โดย Raab และ Stegerศึกษารายละเอียดนี้โดยแสดงให้เห็นว่าเมื่อเพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะสูงกว่าค่าที่คาดหวังของเพียงเล็กน้อยลดลงอย่างรวดเร็ว ประมาณ, การตั้งค่าพวกเขาแสดงให้เห็นว่าน่าจะเป็นของการมองเห็นมากกว่าเป็น(1)m > n n m m / n r = m / n r + √O(logn)O(log⁡n)O(\log n)m>nm>nm > nnnnmmmm/nm/nm/nr=m/nr=m/nr = m/n o(1)r+rlogn−−−−−√r+rlog⁡nr + \sqrt{r\log n}o(1)o(1)o(1) บทความนี้ปรากฏในปี 1998 และฉันไม่ได้พบอะไรเพิ่มเติมอีก มีผลลัพธ์ใหม่และเข้มข้นกว่านี้ในบรรทัดเหล่านี้หรือไม่หรือมีเหตุผลแบบฮิวริสติก / เป็นทางการที่น่าสงสัยว่าเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่จะได้รับหรือไม่? ฉันควรเพิ่มว่าบทความที่เกี่ยวข้องกับตัวเลือกหลายตัวที่ร่วมเขียนโดย Angelika Steger ในปี 2549 ไม่ได้อ้างถึงงานล่าสุดอีกต่อไป …

17 reference-request  pr.probability 

พิจารณากระบวนการต่อไปนี้: มีถังขยะnnnเรียงจากบนลงล่าง ในขั้นต้นแต่ละถังมีหนึ่งลูก ในทุกขั้นตอนเรา เลือกลูกบอล อย่างสม่ำเสมอและสุ่มbbb ย้ายลูกบอลทั้งหมดจากถังขยะที่มีbbbไปยังถังขยะด้านล่าง ถ้ามันเป็นถังขยะที่ต่ำที่สุดเราจะเอาลูกบอลออกจากกระบวนการ ใช้ความคาดหวังกี่ขั้นตอนจนกว่ากระบวนการจะสิ้นสุดลงเช่นจนกว่าจะมีการลบลูกทั้งหมดnnnออกจากกระบวนการ เคยมีการศึกษามาก่อนหรือไม่? คำตอบนั้นติดตามได้ง่าย ๆ จากเทคนิคที่รู้จักหรือไม่? ในกรณีที่ดีที่สุดกระบวนการสามารถเสร็จสิ้นหลังจากขั้นตอนในกรณีที่เลวร้ายที่สุดมันอาจใช้ขั้นตอนΘ ( n 2 ) ทั้งสองกรณีน่าจะเป็นไปได้ยากมาก การคาดเดาของฉันคือการใช้Θ ( n log n )nnnΘ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)ขั้นตอนและฉันทำการทดลองบางอย่างซึ่งดูเหมือนจะยืนยันสิ่งนี้ (โปรดทราบว่าการเลือกถังขยะโดยการสุ่มเป็นกระบวนการที่แตกต่างกันอย่างมากซึ่งจะใช้ขั้นตอนจนจบ)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)

16 pr.probability  markov-chains  stochastic-process 

ปัญหาการบำรุงรักษาคำสั่งซื้อ (หรือ "การรักษาคำสั่งซื้อในรายการ") คือการสนับสนุนการดำเนินงาน: singleton: สร้างรายการที่มีหนึ่งรายการส่งคืนตัวชี้ไปยังรายการนั้น insertAfter: กำหนดตัวชี้ไปยังรายการแทรกรายการใหม่หลังจากส่งคืนตัวชี้ไปยังรายการใหม่ delete: กำหนดตัวชี้ไปยังรายการเอาออกจากรายการ minPointer: กำหนดสองพอยน์เตอร์ให้กับรายการในรายการเดียวกันส่งคืนค่าที่ใกล้กับด้านหน้าของรายการมากขึ้น ฉันทราบวิธีแก้ไขปัญหาสามข้อที่ดำเนินการทั้งหมดในเวลาตัดจำหน่าย พวกเขาทั้งหมดใช้การคูณO ( 1 )O(1)O(1) Athanasios K. Tsakalidis: การรักษาลำดับในรายการที่เชื่อมโยงทั่วไป Dietz, P. , D. Sleator, สองอัลกอริทึมสำหรับการรักษาความสงบเรียบร้อยในรายการ Michael A. Bender, Richard Cole, Erik D. Demaine, Martin Farach-Colton และ Jack Zito“ สองอัลกอริทึมแบบง่ายสำหรับการคงคำสั่งในรายการ” สามารถเก็บรักษาลำดับในรายการในเวลาตัดจำหน่ายโดยไม่ใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในหรือไม่?O ( 1 )O(1)O(1)C0Aค0AC^0

15 ds.data-structures  soft-question  pl.programming-languages  graph-theory  tree  cc.complexity-theory  pcp  co.combinatorics  cg.comp-geom  pr.probability  vc-dimension  cc.complexity-theory  complexity-classes  relativization  soft-question  advice-request  career  soft-question  research-practice  paper-review  journals  co.combinatorics  cc.complexity-theory  complexity-classes  pr.probability  average-case-complexity  cc.complexity-theory  lo.logic  descriptive-complexity  finite-model-theory  ds.algorithms  cc.complexity-theory  approximation-hardness  csp  pcp  cc.complexity-theory  circuit-complexity 

แทรก: สมมติว่า (\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> BETA-เท่าเทียมเรามี พิสูจน์: ⊥ = (\x -> ⊥ x)โดยกทพ. เทียบเท่าและ(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)โดยการลดภายใต้แลมบ์ดา รายงาน Haskell 2010 ส่วน 6.2 ระบุseqฟังก์ชันด้วยสองสมการ: seq :: a -> b -> b seq ⊥ b = ⊥ seq ab = b, ถ้า a …

14 domain-theory  haskell  extensionality  cc.complexity-theory  counting-complexity  fl.formal-languages  automata-theory  cc.complexity-theory  arithmetic-circuits  it.information-theory  shannon-entropy  graph-theory  pr.probability  graph-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  multicommodity-flow  cc.complexity-theory  ds.algorithms  np-hardness  polynomial-time  dynamic-programming  lo.logic  terminology 

นี่ไม่ใช่การบ้านแม้ว่ามันจะดูเหมือน การอ้างอิงใด ๆ ยินดีต้อนรับ :-) สถานการณ์:มีnnn ที่แตกต่างกันลูกและnnn ที่แตกต่างกันถังขยะ (labled จาก 1 ถึงnnnจากซ้ายไปขวา) ลูกบอลแต่ละลูกถูกโยนอย่างอิสระและสม่ำเสมอในถังขยะ ให้f(i)f(i)f(i)เป็นจำนวนลูกในiii ~ th bin ให้EiEiE_iหมายถึงเหตุการณ์ต่อไปนี้ สำหรับแต่ละj≤ij≤ij\le i , ∑k≤jf(k)≤j−1∑k≤jf(k)≤j−1\sum_{k\le j}{f(k)} \le j-1 นั่นคือครั้งแรกที่jjjถังขยะ (ซ้ายมากที่สุดjjjถังขยะ) มีน้อยกว่าjjjลูกบอลสำหรับแต่ละj≤ij≤ij\le iฉัน คำถาม:ประมาณ∑i&lt;nPr(Ei)∑i&lt;nPr(Ei)\sum_{i<n}{Pr(E_i)}ในแง่ของnnn ? เมื่อnnnไปไม่มีที่สิ้นสุด เป็นที่ต้องการต่ำกว่า ฉันไม่คิดว่าสูตรที่คำนวณได้ง่ายจะมีอยู่ ตัวอย่าง: limn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1elimn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}{Pr(E_1)}=\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{n-1}{n})^n}=\frac{1}{e} . หมายเหตุPr(En)=0Pr(En)=0Pr(E_n)=00 ฉันเดา:ฉันเดา∑i&lt;nPr(Ei)=lnn∑i&lt;nPr(Ei)=ln⁡n\sum_{i<n}{Pr(E_i)}=\ln n , เมื่อnnnไปไม่มีที่สิ้นสุด ฉันพิจารณารายการแรกlnnln⁡n\ln nในการรวม

14 reference-request  co.combinatorics  pr.probability 

f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}iiiInfi[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)]Infi⁡[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)] \operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})] x⊕ix⊕ix^{\oplus i}iiixxxfffMinInf[f]=defmini∈[n]Infi[f].MinInf⁡[f]=defmini∈[n]Infi⁡[f].\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f]. กำหนดพารามิเตอร์ , เราเลือกสุ่มฟังก์ชั่นโดยเลือกความคุ้มค่าในแต่ละปัจจัยการผลิตที่เป็นอิสระที่สุ่มจะเป็นด้วยความน่าจะและกับความน่าจะเป็น . จากนั้นมันก็ง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับทุก ๆ และfortiorip∈[0,1]p∈[0,1]p\in[0,1]pppfff2n2n2^n111ppp−1−1-11−p1−p1-pi∈[n]i∈[n]i\in[n] Ef[Infi[f]]=2p(1−p)Ef[Infi⁡[f]]=2p(1−p) \mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p) In(p)=defEf[MinInf[f]]≤2p(1−p).In(p)=defEf[MinInf⁡[f]]≤2p(1−p). I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p). คำถามของฉันคือ: มี asymptotically (เกี่ยวกับnnn ) การแสดงออกที่แน่นสำหรับIn(p)In(p)I_n(p) ? แม้แต่สำหรับp=12p=12p=\frac{1}{2}เราสามารถรับนิพจน์เช่นนี้ได้หรือไม่? โดยเฉพาะฉันจะดูแลเกี่ยวกับข้อตกลงการสั่งซื้อต่ำเช่นฉันจะสนใจในเทียบเท่า asymptotic สำหรับปริมาณ2p(1−p)−In(p)2p(1−p)−In(p)2p(1-p)-I_n(p)(P) (คำถามถัดไป แต่คำถามที่รองลงมาคือคำถามที่ว่าใครจะได้รับความเข้มข้นที่ดีรอบ ๆ ความคาดหวังนี้) โดยขอบเขตของเชอร์อฟเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีสมาธิที่ดีดังนั้นเราจึงได้รับการรวมกลุ่ม (ถ้าฉันไม่ได้ยุ่งเกินไป) …

14 reference-request  pr.probability  boolean-functions 

หนึ่งสามารถพูดคุยของtreewidthของวงจรบูลีน, การกำหนดเป็น treewidth ของ "moralized" กราฟบนสายไฟ (จุด) ที่ได้รับดังนี้สายเชื่อมต่อและเมื่อใดก็ตามที่คือการส่งออกของประตูมีเป็น input (หรือ ในทางกลับกัน); เชื่อมต่อสายและทุกครั้งที่ใช้เป็นอินพุตไปยังเกทเดียวกัน แก้ไข:หนึ่งสามารถกำหนด treewidth ของวงจรเท่ากับที่กราฟแสดง; ถ้าเราใช้การเชื่อมโยงกันเพื่อ rewite ทั้งหมด AND และ OR ประตูที่จะมีแฟนในที่มากที่สุดสอง treewidth ตามความหมายอย่างใดอย่างหนึ่งคือขึ้นเดียวกันกับปัจจัย3aaabbbbbbaaaaaabbb333 มีปัญหาอย่างน้อยหนึ่งปัญหาที่ทราบกันทั่วไปในวงจรบูลีนที่ จำกัด ขอบเขตของความกังวล: ให้โอกาสสำหรับแต่ละสายอินพุตที่จะตั้งค่าเป็น 0 หรือ 1 (เป็นอิสระจากที่อื่น) คำนวณความน่าจะเป็นที่ ประตูส่งออกบางอย่างเป็น 0 หรือ 1 นี้โดยทั่วไป # P-อย่างหนักโดยลดลงจากเช่น # 2SAT แต่ก็สามารถแก้ไขได้ใน PTIME ในวงจรที่มี treewidth จะถือว่าน้อยกว่าอย่างต่อเนื่องโดยใช้อัลกอริทึมต้นไม้แยก คำถามของฉันคือการรู้ว่ามีปัญหาอื่น ๆนอกเหนือจากการคำนวณความน่าจะเป็นที่รู้กันว่าเป็นเรื่องยากที่จะอธิบายได้ แต่โดยทั่วไปสำหรับการเดินวนรอบวงเวียน …

14 circuit-complexity  pr.probability  treewidth  arithmetic-circuits 

ppp≤d≤d\le dbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon * เมื่อฉันเขียนพหุนามแบบสุ่มพร้อมตัวแปร degree ≤d≤d\le dและ n คุณสามารถคิดถึงแต่ละ monomials ของ degree ≤d≤d\le dเลือกด้วยความน่าจะเป็น 1/2 สิ่งเดียวที่เกี่ยวข้องที่ฉันรู้คือตัวแปรของ Schwartz-Zippel ที่ระบุว่าหากพหุนามไม่คงที่ดังนั้นอคติของมันจึงอยู่ที่1−21−d1−21−d1-2^{1-d}มากที่สุด ดังนั้นสำหรับϵ=1−21−dϵ=1−21−d\epsilon=1-2^{1-d} probaiblity คือ1 / {2 ^ {{n \ select 1} + \ ldots + {n \ select d}}}1/2(n1)+…+(nd)1/2(n1)+…+(nd)1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}ซึ่งนี่คือความน่าจะเป็นที่pppคือ คงที่ น่าเสียดายϵϵ\epsilonนี้ค่อนข้างใหญ่

13 randomness  pr.probability  algebra  polynomials 

Chernoff- ประเภทอสมการใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญจากค่าที่คาดหวังของมันมีค่าน้อยมากในค่าคาดหวังและค่าเบี่ยงเบน มีความไม่เสมอภาคประเภท Chernoff สำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระที่เป็นคู่กันหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่งมีผลลัพธ์ที่แสดงดังต่อไปนี้หรือไม่ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระที่จับคู่แบบเบี่ยงเบนจากค่าที่คาดไว้นั้นมีค่าน้อยมากในค่าที่คาดหวังและส่วนเบี่ยงเบนหรือไม่

13 derandomization  pr.probability  chernoff-bound 

ฉันกำลังมองหาการอ้างอิง (ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ที่ฉันสามารถทำได้) ไปยังส่วนขยายของ Chernoff ต่อไปนี้ Let เป็นบูลีนตัวแปรสุ่ม, ไม่จำเป็นต้องเป็นอิสระ แต่จะรับประกันได้ว่าP r ( X i = 1 | C ) &lt; pสำหรับแต่ละiและทุกเหตุการณ์Cที่ขึ้นอยู่กับ{ X j | เจ≠ ฉัน }X1,..,XnX1,..,XnX_1,..,X_nPr(Xi=1|C)&lt;pPr(Xi=1|C)&lt;pPr(X_i=1|C)(1+\lambda)np\right) ขอบคุณล่วงหน้า!

13 reference-request  pr.probability  chernoff-bound 

ในภาคผนวก B ของการส่งเสริมและความเป็นส่วนตัวที่แตกต่างโดย Dwork และคณะผู้เขียนระบุผลลัพธ์ต่อไปนี้โดยไม่มีการพิสูจน์และอ้างถึงว่าเป็นความไม่เท่าเทียมของ Azuma: Let C1,…,CkC1,…,CkC_1, \dots, C_kจะจริงมูลค่าตัวแปรสุ่มดังกล่าวว่าสำหรับทุกi∈[k]i∈[k]i \in [k] , Pr[|Ci|≤α]=1Pr[|Ci|≤α]=1\Pr[|C_i| \leq \alpha] = 1 สำหรับทุก ๆเรามี\(c1,…,ci−1)∈Supp(C1,…,Ci−1)(c1,…,ci−1)∈Supp(C1,…,Ci−1)(c_1, \dots, c_{i - 1}) \in \text{Supp}(C_1, \dots, C_{i - 1})E[Ci∣C1=c1,…,Ci−1=ci−1]≤βE[Ci∣C1=c1,…,Ci−1=ci−1]≤β\text{E}[C_i \mid C_1 = c_1, \dots, C_{i - 1} = c_{i - 1}] \leq \beta จากนั้นสำหรับทุก ๆเรามี .z&gt;0z&gt;0z > 0Pr[∑ki=1Ci&gt;kβ+zk−−√⋅α]≤e−z2/2Pr[∑i=1kCi&gt;kβ+zk⋅α]≤e−z2/2\Pr[\sum_{i = …

12 pr.probability 

ให้ฟิลเตอร์บลูมของขนาด N-bits และฟังก์ชันแฮช K ซึ่ง M-bits (โดยที่ M &lt;= N) ของฟิลเตอร์ถูกตั้งค่า เป็นไปได้หรือไม่ที่จะประมาณจำนวนองค์ประกอบที่แทรกลงในตัวกรองบลูม ตัวอย่างง่ายๆ ฉันคร่ำครวญตัวอย่างต่อไปนี้สมมติว่า BF ของ 100 บิตและ 5 ฟังก์ชันแฮชที่ตั้งค่า 10 บิต ... สถานการณ์กรณีที่ดีที่สุด: สมมติว่าฟังก์ชั่นแฮชสมบูรณ์แบบและแมปบิตที่ไม่ซ้ำกันสำหรับค่า X จำนวนหนึ่งจากนั้นกำหนด 10 บิตเราสามารถพูดได้ว่ามีเพียง 2 องค์ประกอบที่ใส่เข้าไปใน BF สถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุด: สมมติว่าฟังก์ชันแฮชไม่ดีและแมปไปยังบิตเดียวกันอย่างสม่ำเสมอ (แต่ไม่ซ้ำกันในแต่ละอื่น ๆ ) จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่า 10 องค์ประกอบถูกแทรกลงใน BF ช่วงน่าจะเป็น [2,10] ซึ่งอาจอยู่ในช่วงนี้ประมาณโดยความน่าจะเป็นที่เป็นบวกปลอมของตัวกรอง - ฉันติดอยู่ที่จุดนี้

12 ds.data-structures  pr.probability 

ให้ (iid gaussians ที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ) มันเป็นไปได้ (อย่างไร?) ในการสุ่มตัวอย่าง (สำหรับ )ซึ่ง นั้นเป็น gaussians คู่อิสระ มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน1X1,…,XkX1,…,XkX_1,\ldots,X_k000111m=k2m=k2m=k^2Y1,…,YmY1,…,YmY_1, \ldots, Y_mYiYiY_i000111

12 derandomization  pr.probability