วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

เวลาคงที่คือความซับซ้อนต่ำสุดของเวลา บางคนอาจสงสัยว่า: มีเรื่องแปลกใหม่ที่สามารถคำนวณได้ในเวลาที่แน่นอนหรือไม่? หากเรายึดติดกับโมเดลของทัวริงเครื่องก็ไม่สามารถทำได้มากนักเนื่องจากคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับส่วนเริ่มต้นความยาวคงที่ของอินพุตเนื่องจากส่วนที่อยู่ไกลกว่าของอินพุตไม่สามารถเข้าถึงได้ในเวลาคงที่ ในทางกลับกันถ้าเราใช้รูปแบบ RAM ราคาต้นทุนต่อหน่วยที่ค่อนข้างมีประสิทธิภาพมากขึ้นซึ่งในการดำเนินการเบื้องต้นในบิตตัวเลขจะถูกนับเป็นขั้นตอนเดียวจากนั้นเราอาจจะสามารถแก้ไข งานที่ไม่สำคัญแม้ในเวลาที่คงที่ นี่คือตัวอย่าง:O(logn)O(log⁡n)O(\log n) อินสแตนซ์:จำนวนเต็ม , แต่ละอันกำหนดในรูปแบบไบนารีโดยบิตn,k,l,dn,k,l,dn, k, l, dO(logn)O(log⁡n)O(\log n) คำถาม:มีกราฟ -vertex อยู่หรือไม่เช่นการเชื่อมต่อจุดยอดคือ , การเชื่อมต่อขอบของมันคือและระดับต่ำสุดของมันคือ ?nnnkkklllddd โปรดทราบว่าจากความหมายมันไม่ได้เป็นที่เห็นได้ชัดแม้กระทั่งว่าปัญหาอยู่ในNP เหตุผลก็คือพยานธรรมชาติ (กราฟ) อาจต้องการคำอธิบายแบบยาวบิตในขณะที่อินพุตจะได้รับจากบิตเท่านั้น ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีต่อไปนี้ (ดูทฤษฎีกราฟ Extremalโดย B. Bollobas) มาช่วยΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)O(logn)O(log⁡n)O(\log n) ทฤษฎีบท:ปล่อยเป็นจำนวนเต็ม มีกราฟ -vertex พร้อมจุดเชื่อมต่อ , การเชื่อมต่อขอบ , และระดับต่ำสุด , ถ้าหากเพียงหนึ่งในเงื่อนไขต่อไปนี้:n,k,l,dn,k,l,dn, k, l, dnnnkkklllddd 0≤k≤l≤d<⌊n/2⌋0≤k≤l≤d<⌊n/2⌋0\leq k\leq l …

14 cc.complexity-theory  ds.algorithms  time-complexity 

ปัญหา:จากแสดงโดยวงจรบูลีนสร้างสุ่มแบบสุ่มx ∈ { 0 , 1 } nเช่นนั้นϕ ( x ) = 1 (หรือเอาท์พุท⊥ถ้าไม่มีเช่นนั้นมีx ) ϕ : { 0 , 1 }n→ { 0 , 1 }φ:{0,1}n→{0,1}\phi : \{0,1\}^n \to \{0,1\}x ∈ { 0 , 1 }nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nϕ ( x ) = 1φ(x)=1\phi(x)=1⊥⊥\perpxxx เห็นได้ชัดว่าปัญหานี้เกิดจาก NP-hard คำถามของฉันคือว่าปัญหานี้เป็น "NP-easy" หรือไม่: คำถาม:มีอัลกอริธึมที่แก้ปัญหาข้างต้นในพหุนามเวลาในและขนาดวงจรของϕ …

14 np-hardness  counting-complexity  reductions 

Razborov พิสูจน์ให้เห็นว่าฟังก์ชั่นจับคู่เดียวไม่ได้อยู่ในMP แต่เราสามารถคำนวณการจับคู่โดยใช้วงจรขนาดพหุนามกับการปฏิเสธได้หรือไม่? มีวงจร P / poly ที่มีการปฏิเสธที่คำนวณการจับคู่หรือไม่? การแลกเปลี่ยนระหว่างจำนวนของการปฏิเสธและขนาดของการจับคู่คืออะไรO(nϵ)O(nϵ)O(n^\epsilon)

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  matching  monotone 

พิจารณาเวกเตอร์ของตัวแปรและชุดของเส้นตรงข้อ จำกัด ที่ระบุโดย→ x ≤ขx⃗ x→\vec{x}Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b นอกจากนี้ให้พิจารณา polytopes สองรายการ P1P2={(f1(x⃗ ),⋯,fm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}={(g1(x⃗ ),⋯,gm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}P1={(f1(x→),⋯,fm(x→))∣Ax→≤b}P2={(g1(x→),⋯,gm(x→))∣Ax→≤b}\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*} ที่ 's และg ' s เป็นเลียนแบบแมป กล่าวคือพวกเขามีรูปแบบ→ ค ⋅ → x + d (เราทราบว่าP 1และP 2เป็น polytopes เพราะเป็น "affine mappings" ของ …

14 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  polytope 

เราพิจารณา DABs ความ (กำกับกราฟวัฏจักร) กับหนึ่งโหนดแหล่งsssและเป้าหมายหนึ่งโหนดทีtt ; อนุญาตให้ใช้ขอบขนานที่มีจุดยอดคู่เดียวกัน kkk - ตัดเป็นชุดของขอบที่มีการกำจัดทำลายทั้งหมดsss - เสื้อttเส้นทางนานกว่าkkk ; เส้นทางsss - t ที่สั้นกว่าttรวมถึงเส้นทาง "ภายใน" ที่ยาว (ซึ่งไม่ใช่ระหว่างsssและttt ) อาจอยู่รอดได้! คำถาม: มันพอที่จะลบที่มากที่สุดประมาณ1 / k1/k1/kส่วนหนึ่งของขอบจาก DAG เพื่อที่จะทำลายทุกsss - เสื้อttเส้นทางนานกว่าkkk ? นั่นคือถ้าe ( G )e(G)e(G)แสดงถึงจำนวนทั้งหมดของขอบในGGGดังนั้น DAG GทุกตัวGGจะมีkkk -cut ที่มีขอบe ( G ) / kมากที่สุดe(G)/ke(G)/kหรือไม่? สองตัวอย่าง: หากทั้งหมด sss - เสื้อttเส้นทางที่มีความยาว> k>k> …

14 cc.complexity-theory  graph-theory  circuit-complexity  directed-acyclic-graph 

สมมติว่าเราเชื่อมต่อจุดV=Z2V=Z2V = \mathbb{Z}^2โดยใช้ชุดของขอบที่ไม่ได้บอกทิศทางEEEซึ่งทั้ง(i,j)(ผม,J)(i, j)เชื่อมต่อกับ(i+1,j+1)(ผม+1,J+1)(i + 1, j + 1)หรือ(i+1,j)(i+1,j)(i + 1, j)เชื่อมต่อกับ(i,j+1)(i,j+1)(i, j + 1) , อิสระและสม่ำเสมอที่สุ่มทั้งหมดของi,ji,ji, j J (ได้รับแรงบันดาลใจจากชื่อและปกของหนังสือเล่มนี้) ความน่าจะเป็นที่กราฟนี้มีองค์ประกอบที่เชื่อมต่อขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุดคืออะไร ในทำนองเดียวกันให้พิจารณาซึ่งเป็นส่วนประกอบของการฝังภาพถ่ายในระนาบ ความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบนั้นมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไม่สิ้นสุดคืออะไร?R2∖GR2∖G\mathbb{R}^2 \setminus G เห็นได้ชัดว่าถ้าเส้นทแยงมุมชี้ไปในทางเดียวกันทั้งกราฟและส่วนประกอบนั้นมีองค์ประกอบไม่สิ้นสุด กราฟสุ่มที่มีลักษณะเหมือนกันของด้านบนล่ะ?

14 graph-theory 

ฉันอ่านบทความวิกิพีเดียเกี่ยวกับปัญหาแปดราชินี มันระบุว่าไม่มีสูตรที่รู้จักกันสำหรับจำนวนที่แน่นอนของการแก้ปัญหา หลังจากการค้นหาบางอย่างฉันพบกระดาษชื่อว่า "ความแข็งของการนับปัญหาของการแมปทั้งหมด" ในบทความนี้มีปัญหาแสดงให้เห็นว่าเป็นอย่างมากที่สุดเท่าที่ #queens ซึ่งเกิน #P รับเหลือบตัวเลข #queens นับละเอียดในบทความ wikipedia พวกเขาดูเหมือน exponential สุดสวยมาก ฉันต้องการถามถ้ามีชื่อสำหรับชั้นนี้หรือโดยทั่วไปมีการนับปัญหาที่เป็นของชั้นเรียนด้านบน #P (ด้วยการตัดสินใจที่ไม่ได้อยู่ใน PSPACE แน่นอนเพราะมันจะเห็นได้ชัด) ในที่สุดฉันต้องการถามว่ามีผลลัพธ์ที่รู้จักอื่น ๆ สำหรับปัญหาการค้นหาอื่น ๆ เช่นการหาจุดสามสีใน Lemma ของ Sperner หรือไม่ (PPAD สมบูรณ์)

14 cc.complexity-theory  counting-complexity  search-problem 

พวกเราส่วนใหญ่คุ้นเคยกับ - หรืออย่างน้อยก็เคยได้ยิน - เอนโทรปีของแชนนอนของตัวแปรสุ่ม, H(X)=−E[logp(X)]H(X)=−E[log⁡p(X)]H(X) = -\mathbb{E} \bigl[ \log p(X)\bigr]และมาตรการทางข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีเช่นเอนโทรปีสัมพัทธ์ ข้อมูลร่วมกันและอื่น ๆ มีอีกสองสามมาตรการของเอนโทรปีที่ใช้กันทั่วไปในทฤษฎีวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และทฤษฎีสารสนเทศเช่น min-entropy ของตัวแปรสุ่ม ฉันเริ่มเห็นเอนโทรปีของ Renyi ที่เรียกว่าเหล่านี้บ่อยขึ้นเมื่อฉันอ่านวรรณกรรม พวกเขาวางแนวเอนโทรปีของแชนนอนและมินเอนโทรปีและในความเป็นจริงได้ให้สเปกตรัมทั้งหมดของการวัดเอนโทรปีของตัวแปรสุ่ม ฉันทำงานส่วนใหญ่ในพื้นที่ของข้อมูลควอนตัมซึ่งรุ่นควอนตัมของ Renyi Entropy ก็ถือว่าค่อนข้างบ่อยเช่นกัน สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจจริงๆคือเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงมีประโยชน์ ฉันได้ยินมาว่าบ่อยครั้งที่พวกเขาทำงานกับการวิเคราะห์ได้ง่ายกว่าพูดว่าแชนนอน / ฟอนนอยมันน์เอนโทรปีหรือนาที - เอนโทรปี แต่พวกมันยังสามารถเชื่อมโยงกลับไปที่แชนนอนเอนโทรปี / นาที - เอนโทรปีได้เช่นกัน ทุกคนสามารถให้ตัวอย่าง (แบบคลาสสิกหรือควอนตัม) เมื่อใช้ Renropies เอนจีเป็น "สิ่งที่ถูกต้องที่จะทำ"? สิ่งที่ฉันกำลังมองหาคือ "hook hook" หรือ "template" สำหรับการรู้ว่าเมื่อใดฉันอาจต้องการใช้ Entropies Renyi ขอบคุณ!

14 it.information-theory  quantum-information 

ฉันสงสัยว่ามีแนวคิดสมดุลแบบสมดุลของ Nash ที่คำนวณได้หรือไม่ ลองนึกภาพชนิดของสองผู้เล่นเกมข้อมูลที่สมบูรณ์แบบที่เล่นในบางคณะกรรมการและที่มีความซับซ้อนในแง่ที่ว่าการเล่นที่ดีที่สุดคือ EXPTIME ยาก สมมติว่าความเรียบง่ายที่ดึงไม่ได้เช่นกัน ลองนึกภาพคู่( A , B )ของเครื่องทัวริงแบบสุ่มพหุนามเวลาเล่นเกมนี้กับแต่ละอื่น ๆ สำหรับแต่ละnให้พี, B ( n )จะเป็นไปได้ว่าเต้นBในการสั่งnเกม (สำหรับรูปธรรมสมมุติว่าAn × nn×nn\times n( A , B) )(A,B)(A, B)nnnพีA , B( n )พีA,B(n)p_{A,B}(n)AAABBBnnnAAAได้รับการเล่นครั้งแรกด้วยความน่าจะเป็น 0.5) สิ่งที่ฉันคิดว่าจะเจ๋งคือถ้าใครสามารถพิสูจน์การมีอยู่ของคู่กับคุณสมบัติที่ไม่มีเครื่องทัวริงเวลาพหุนามแบบสุ่มA ′ครองA (โดยที่ " A ′ปกครองA "หมายถึงP A ′ , B ( n ) > p A , …

14 gt.game-theory 

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันเริ่มสนใจปัญหาทั่วไปของการเพิ่มประสิทธิภาพการใช้หน่วยความจำในสถานการณ์ที่มีหน่วยความจำมากกว่าหนึ่งประเภทและมีการแลกเปลี่ยนระหว่างความจุของเซ็กเมนต์หน่วยความจำที่กำหนดและความเร็วในการเข้าถึง ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือโปรแกรมที่ตัดสินใจเมื่อจะอ่าน / เขียนไปยังแคชตัวประมวลผล RAM และฮาร์ดไดรฟ์ (ผ่านหน่วยความจำเสมือน) ฉันสนใจเป็นพิเศษในกรณีพิเศษที่ปริมาณข้อมูล (รวมถึงตัวโปรแกรมเอง) ที่จำเป็นต้องโหลดเกินความจุของพื้นที่เก็บข้อมูลที่เร็วที่สุดที่มีอยู่อย่างมีนัยสำคัญ (เช่นโซลูชันเล็กน้อยของ ฉันพบว่าหน้าวิกิพีเดียอธิบายอัลกอริทึมแคชทั่วไปซึ่งเกือบจะเป็นสิ่งที่ฉันต้องการ น่าเสียดายที่สิ่งเหล่านี้ค่อนข้างต่ำ: หลายอย่างเช่น LRU หรือ MRU จะใช้งานได้ก็ต่อเมื่อคุณมีรูทีนย่อยที่เข้าถึงหลายครั้ง หากฉันมีโปรแกรมที่มีรูทีนย่อยจำนวนมากบางโปรแกรมไม่เคยเข้าถึงในการทำงานที่กำหนดและบางโปรแกรมสามารถเข้าถึงได้หนึ่งหรือสองครั้งกลยุทธ์นี้จะไม่ทำงานเพราะมันไม่สามารถสร้างข้อมูลที่เพียงพอ ที่ใช้กันทั่วไปและสิ่งที่ไม่ คนอื่น ๆ เช่น CLOCK ดูเหมือนจะจัดการกับลักษณะเฉพาะของการนำไปปฏิบัติแทนที่จะโจมตีรากของปัญหา ฉันรู้ว่ามีกลยุทธ์ที่หนึ่งโปรไฟล์แรกโปรแกรมในระหว่างการทดสอบการทำงานแล้วให้โปรไฟล์สำหรับระบบปฏิบัติการเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพตาม อย่างไรก็ตามเรายังต้องแก้ปัญหาในการให้ตัวแทน "การใช้งานตัวอย่าง" อย่างแท้จริงในขณะที่สร้างโปรไฟล์ สิ่งที่ฉันต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้คือ: เมื่อเราสรุปความรู้ทางเทคนิคทั้งหมดของฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์และพูดในบริบททางทฤษฎีล้วนๆเป็นไปได้ที่จะวิเคราะห์โครงสร้างของอัลกอริทึมเพื่อหากลยุทธ์แคชที่มีประสิทธิภาพสำหรับ มันขึ้นอยู่กับความเข้าใจในระดับสูงว่าอัลกอริทึมกำลังทำอะไรอยู่?

14 optimization  program-analysis 

ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Chaitinกล่าวว่าไม่มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าK(s)>LK(s)>LK(s) > Lโดยที่K(s)K(s)K(s)เป็นความซับซ้อนของ Kolmogorov ของสตริงsssและLLLเป็นค่าคงที่ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร LLLคือขนาดใหญ่พอถ้ามันมีขนาดใหญ่กว่าขนาดในบิตของเครื่องตรวจสอบหลักฐาน (PCM) PCM สำหรับทฤษฎีTTTใช้เวลาสตริงเข้ารหัสเป็นจำนวนเต็มเป็น input และผล 1 ถ้าสตริงเป็นหลักฐานที่ถูกต้องในภาษาของTTTT สมมติว่าL(T)>|PCMT|L(T)>|PCMT|L(T) > |PCM_T|สำหรับทฤษฎีTTTเป็นผูกไว้บนสำหรับความซับซ้อนของTTTTพิจารณาลำดับชั้นของทฤษฎีต่อไปนี้: ปล่อยให้ทฤษฎีพื้นฐานเป็นเลขคณิตของโรบินสัน ( QQQ ) เติมQQQด้วยสัจพจน์ที่แข็งแกร่งมากขึ้นของการเหนี่ยวนำขอบเขตพหุนาม ให้Q∗Q∗Q^*เป็นทฤษฎีของทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ด้วยQQQและสัจพจน์เชิงอุปนัยใด ๆ สมมติว่าเราสามารถกำหนดL(Q)L(Q)L(Q)และโดยการกำหนด PCM สำหรับแต่ละทฤษฎีL(Q∗)L(Q∗)L({Q^*}) ฉันต้องการที่จะต้องพิจารณาเครื่องตรวจสอบหลักฐานที่เพิ่มขึ้น (EPCM) สำหรับ * EPCM นี้จะใช้เวลาสตริงเป็น input เช่นเดียวกับ ECM และมีการป้อนข้อมูลที่สองซึ่งได้กำหนดตำแหน่งและระดับของการย่อยทฤษฎีของQ * หากสายป้อนข้อมูลเป็นหลักฐานที่ถูกต้องในQ ∗ EPCM จะผ่านขั้นตอนของการพิสูจน์เพื่อกำหนดระดับสูงสุดและระดับของการเหนี่ยวนำที่ใช้ EPCM นี้แล้วเขียนประโยค 1 ถ้าใส่เป็นหลักฐานที่ถูกต้องในการระบุย่อยทฤษฎีของQ *Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^* ตัวตรวจสอบการพิสูจน์ขั้นสูงที่ฉันอธิบายนั้นเป็นไปได้หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นขนาดของ EPCM …

14 lo.logic  kolmogorov-complexity 

ฉันต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมพีชคณิตและความซับซ้อนของ thoery โดยเฉพาะฉันสนใจ PIT มีชุดบรรยายเอกสารหนังสือและแบบสำรวจสำหรับนักเรียนที่อ่านตำรามาตรฐานเกี่ยวกับทฤษฎีเช่นหนังสือ Sipser's หรือตำราเรียนที่ซับซ้อนของ Arora-Barak ชุดการอ้างอิงจะรวมผลลัพธ์ขั้นสูงเมื่อเร็ว ๆ นี้

14 cc.complexity-theory  reference-request  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

ในขณะที่การอภิปรายการพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานที่แข็งแกร่งความคิดเห็นนี้แตกต่าง "แบบฟอร์มปกติแบบฟอร์ม" กับ "วิธีการทางวากยสัมพันธ์ล้วนๆ" สิ่งนี้ทำให้ฉันกลับไปที่คำถามพื้นฐานเพิ่มเติม: เราสามารถแยกความแตกต่างระหว่างโครงสร้างประโยคและความหมายของประโยคอย่างเคร่งครัดได้หรือไม่ในการเผชิญกับโมเดลที่อิงกับไวยากรณ์ สิ่งที่เกี่ยวกับแบบจำลองของ algebras และแบบจำลองของ Henkin สำหรับการสั่งซื้อครั้งแรก สิ่งที่เกี่ยวกับความหมายการดำเนินงานโครงสร้าง? เนื่องจากเทอมตัวแบบสามารถแปรเปลี่ยนเป็นซินแท็กซ์ได้มันจึงยากที่จะสร้างความแตกต่างที่มั่นคง จนกว่าฉันจะศึกษาความแตกต่างระหว่างทฤษฎีการพิสูจน์และทฤษฎีแบบจำลองในเชิงตรรกะฉันก็รู้สึกงงงวยกับแนวคิดที่ว่า "ระบบชนิดสแตติกเป็นวิธีการสร้างประโยค" ท้ายที่สุดแล้วระบบการพิมพ์มีเหตุผลเกี่ยวกับประเภทซึ่งเป็นนามธรรมของพฤติกรรมของโปรแกรม (และด้วยประเภทที่ขึ้นอยู่กับความแม่นยำโดยพลการ)

14 lo.logic  pl.programming-languages  operational-semantics 

มันถูกกล่าวถึงในความคิดเห็นในโพสต์ cstheorySEอื่นว่า PSPACE-ครบถ้วนสมบูรณ์แสดงถึงความแข็ง APX ทุกคนสามารถอธิบาย / แบ่งปันข้อมูลอ้างอิงได้หรือไม่ นี่คือ "คับ" หรือไม่? (กล่าวคือมีปัญหาที่สมบูรณ์ของ PSPACE ซึ่งปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพยอมรับการประมาณค่าปัจจัยคงที่ในเวลาโพลีหรือไม่) ความสมบูรณ์ของ PH ในระดับใดบ้าง มันบ่งบอกถึงความแข็งประมาณหรือไม่?

14 cc.complexity-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  np  pspace 

Xor automata (NXA) ที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้เป็น syntactically NFA แต่คำว่า NXA นั้นได้รับการยอมรับว่าเป็นคำที่มีจำนวนเส้นทางที่ยอมรับได้ (แทนที่จะเป็นเส้นทางที่ยอมรับอย่างน้อยหนึ่งกรณีใน NFA) มันง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับภาษาปกติที่ จำกัดมี NFA น้อยที่สุดซึ่งไม่มีรอบใด ๆ (ถ้ารอบทั้งสองสามารถเข้าถึงได้จากสถานะเริ่มต้นและคุณได้รับจากมันไปสู่สถานะที่ยอมรับ - ภาษาของคุณไม่ใช่ จำกัด )LLL นี่ไม่ใช่กรณีของ NXAs แสดงว่าโดยซับซ้อน xor รัฐของภาษา ,xsc(L)xsค(L)xsc(L)LLL และซับซ้อนรัฐ xor วัฏจักรของ (เช่นขนาดของ NXA วัฏจักรที่เล็กที่สุดซึ่งยอมรับ )axsc(L)axsc(L)axsc(L)LLLLLL จริงหรือไม่สำหรับทุกภาษาที่ จำกัด :LLLaxsc(L)=xsc(L) ?axsc(L)=xsc(L) ?axsc(L)=xsc(L)\ ?

14 fl.formal-languages  automata-theory  nondeterminism  minimization