คำถามติดแท็ก circuit-complexity

ความซับซ้อนของวงจรคือการศึกษาวงจรที่มีขอบเขตของทรัพยากรและฟังก์ชั่นที่คำนวณโดยวงจรดังกล่าว

1
เป็นกับกระโดด fanout อ่อนแอกว่า ?
ในการสำรวจ"วงจรควอนตัมเชิงลึกขนาดเล็ก" โดย D. Bera, F. Green และ S. Homer (หน้า 36 ของ ACM SIGACT News, มิถุนายน 2007 ปีที่ 38, ฉบับที่ 2)ฉันอ่านประโยคต่อไปนี้: รุ่นคลาสสิกของ (ซึ่งในและประตูที่มี fanout คงที่มากที่สุด) คือสรรพสิ่งที่อ่อนแอกว่า 0 A N D O R A C 0QAC0QAC0QAC^0ANDANDANDORORORAC0AC0AC^0 ไม่มีการอ้างอิงสำหรับการอ้างสิทธิ์นี้ ฉันจะเรียกคลาสนี้ว่าโดยที่หมายถึง "bounded fanout" (สวนสัตว์ที่มีความซับซ้อนต่ำลงและฉันไม่สามารถตรวจสอบได้ว่าคลาสดังกล่าวมีชื่ออยู่ในวรรณคดีหรือไม่) หากเราสมมติว่า fanout ที่ไม่มีขอบเขตสำหรับบิตอินพุตวงจรเหล่านี้ดูเหมือนจะเทียบเท่ากับสูตรความลึกคงที่จนถึงขนาดพหุนามที่เพิ่มขึ้นดังนั้นการอ้างสิทธิ์ข้างต้นจึงไม่สมเหตุสมผล แต่ถ้าเราคิด fanout จำกัด สำหรับการป้อนข้อมูลบิตเกินไปแล้วฉันไม่สามารถคิดว่าภาษาใด ๆ ที่แยกชั้นนี้จาก 0 …
2
ขอบเขตล่างสำหรับดีเทอร์มิแนนต์และถาวร
ในแง่ของช่องว่างล่าสุดที่ความลึก -3ผลลัพธ์ (ซึ่งเหนือสิ่งอื่นใดผลผลิต2n√logn2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}ลึก 3 วงจรทางคณิตศาสตร์สำหรับn×nn×nn \times n ปัจจัยมากกว่าCC\mathbb{C}) ฉันมีคำถามต่อไปนี้: Grigoriev และ Karpinskiพิสูจน์แล้วว่าขอบเขตล่างสำหรับการใด ๆ ลึก 3 คอมพิวเตอร์วงจรเลขคณิต ตัวกำหนดของเมทริกซ์บนฟิลด์ จำกัด (ซึ่งฉันเดาว่าจะเป็นแบบถาวร) สูตร Ryser ของสำหรับการคำนวณถาวรให้ลึก 3 วงจรเลขคณิตของขนาด(n)} นี่แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับวงจรความลึก -3 สำหรับการถาวรเหนือทุ่ง จำกัด ฉันมีสองคำถาม: n × n O ( n 2 2 n ) = 2 O ( n )2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)} …
4
วงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน
สถานะของความรู้ของเราเกี่ยวกับวงจรเลขคณิตทั่วไปดูเหมือนจะคล้ายกับสถานะของความรู้ของเราเกี่ยวกับวงจรบูลีนนั่นคือเราไม่มีขอบเขตล่างที่ดี บนมืออื่น ๆ ที่เรามีขนาดชี้แจงลดขอบเขตสำหรับเสียงเดียววงจรบูลีน เรารู้อะไรเกี่ยวกับวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน เรามีขอบเขตล่างที่ดีเหมือนกันสำหรับพวกเขาหรือไม่? ถ้าไม่ความแตกต่างที่สำคัญคืออะไรที่ไม่อนุญาตให้เราใช้ขอบเขตล่างที่คล้ายกันสำหรับวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน คำถามได้รับแรงบันดาลใจจากความคิดเห็นในคำถามนี้
1
วงจรเลขคณิตที่มีเกตหนึ่งเกท
เมื่อถูก จำกัด ไป -ปัจจัยการผลิตทุก -circuitคำนวณฟังก์ชั่นบางอย่าง{N} ในการรับฟังก์ชั่นบูลีนเราสามารถเพิ่มเกต gate หนึ่ง fanin-1 หนึ่งเป็นเกตเอาท์พุท บนอินพุต , threshold ที่เกิดขึ้น - วงจรจะให้ผลลัพธ์ถ้า , และเอาท์พุทถ้า ; thresholdสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ000111{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)F:{0,1}n→NF:{0,1}n→NF:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n {+,×}{+,×}\{+,\times\}111F(a)≥tF(a)≥tF(a)\geq t000F(a)≤t−1F(a)≤t−1F(a)\leq t-1t=tnt=tnt=t_nnnnแต่ไม่ได้อยู่ในค่าอินพุต วงจรส่งผลให้คำนวณบางคน (เดียว) บูลฟังก์ชั่น \}F′:{0,1}n→{0,1}F′:{0,1}n→{0,1}F':\{0,1\}^n\to \{0,1\} คำถาม:ขีด จำกัดวงจรสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดย วงจรหรือไม่ {+,×}{+,×}\{+,\times\}{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\} ภายใต้ "ประสิทธิภาพ" ฉันหมายถึง "โดยส่วนใหญ่แล้วการเพิ่มขนาดของพหุนาม" คำตอบนั้นชัดเจนว่า "ใช่" สำหรับ threshold : เพียงแค่แทนที่ด้วย ,โดยและลบประตูธรณีประตูสุดท้ายออก นั่นคือวงจรอยู่ในเกณฑ์จริง -วงจร แต่สิ่งที่เกี่ยวกับเกณฑ์ที่มีขนาดใหญ่, การพูด, …
4
ขนาดต่ำสุดของวงจรที่คำนวณ PARITY คืออะไร
มันเป็นผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่ทุกวงจรพัดลมใน 2 และ - หรือ - ไม่ใช่ที่คำนวณ PARITY จากตัวแปรอินพุตมีขนาดอย่างน้อย3(n−1)3(n−1)3(n-1)และนี่คือชาร์ป (เรากำหนดขนาดเป็นจำนวนของ AND และ OR หรือ) การพิสูจน์นั้นเกิดจากการกำจัดประตูและดูเหมือนว่าจะล้มเหลวหากเรายอมให้มีการเข้าพัดลม กรณีนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างไร ไม่มีใครรู้ตัวอย่างเมื่อมีการช่วยเหลือแฟนมากกว่าเช่นเราต้องการประตูน้อยกว่า3(n−1)3(n−1)3(n-1) อัปเดตวันที่ 18 ต.ค. Marzio แสดงให้เห็นว่าสำหรับn=3n=3n=3ถึง555ประตูที่เพียงพอโดยใช้รูปแบบ CNF ของ PARITY นี่แสดงถึงขอบเขตของ⌊52n⌋−2⌊52n⌋-2\lfloor \frac 52 n \rfloor-2ทั่วไปnคุณทำได้ดีกว่านี้ไหมnnn
2
สามารถเพิ่มในความลึกน้อยกว่า 5 ได้หรือไม่?
การใช้อัลกอริธึมมองล่วงหน้าเราสามารถคำนวณการเพิ่มโดยใช้ความลึกขนาดพหุนาม 5 (หรือ 4?)วงจรตระกูล เป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดความลึก เราสามารถคำนวณการบวกเลขฐานสองสองตัวโดยใช้ตระกูลวงจรขนาดพหุนามที่มีความลึกน้อยกว่าที่ได้จากการหาอัลกอริธึมล่วงหน้าได้ไหม?C0AC0AC^0 มีขอบเขตพหุนามต่ำสุดสำหรับขนาดของวงจรตระกูลการคำนวณเพิ่มเติมที่เป็น 2 หรือ 3 หรือไม่? dC0dACd0AC^0_dddd ตามความลึกฉันหมายถึงความลึกของการสลับ
2
ลดขอบเขตของวงจรและความซับซ้อนของ kolmogorov
พิจารณาเหตุผลต่อไปนี้: ให้แสดงถึงความซับซ้อน Kolmogorovของสตริงx ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Chaitinกล่าวว่าxK(x)K(x)K(x)xxx สำหรับการใด ๆ ที่สอดคล้องกันและแข็งแรงพออย่างเป็นทางการระบบมีอยู่อย่างต่อเนื่อง (ขึ้นอยู่เฉพาะในระบบอย่างเป็นทางการและภาษา) เช่นว่าสายใด ๆ , ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าTT x S K ( x ) ≥ TSSSTTTxxxSSSK(x)≥TK(x)≥TK(x) \geq T ให้จะเป็นฟังก์ชั่นบูลีนในตัวแปรเซนต์ซับซ้อน Kolmogorov ของสเปกตรัมของมันคือที่มากที่สุดk Let S ( ฉn )เป็นความซับซ้อนของวงจรฉnคือขนาดของวงจรน้อยที่สุดการคำนวณฉ n nfnfnf_nnnnkkkS(fn)S(fn)S(f_n)fnfnf_nfnfnf_n A (คร่าวๆ) ขอบเขตบนสำหรับคือ S ( f n ) ≤ c ⋅ B B ( k ) ⋅ …
3
ปัญหากลิกในกราฟคงที่
ในฐานะที่เรารู้ว่า -clique ฟังก์ชั่นยิง ( ทอด ) subgraphของที่สมบูรณ์กราฟ -vertexและเอาท์พุท IFFมี -clique ตัวแปรในกรณีนี้สอดคล้องกับขอบของK_nมันเป็นความรู้ (Razborov, Alon-Boppana) ว่าสำหรับฟังก์ชั่นนี้ต้องใช้วงจรเดียวขนาดประมาณ k C L ฉันถามU E ( n , k ) G ⊆ K n n K n 1 G kkkkCL ฉันQ UE( n , k )CLIQUE(n,k)CLIQUE(n,k)G ⊆ KnG⊆KnG\subseteq K_nnnnKnKnK_n111GGGkkk 3 ≤ k ≤ n / 2 …
2
วงจรของ AND & หรือ P-Complete หรือไม่
ประตู AND & OR เป็นประตูที่ได้รับสองอินพุตและส่งคืน AND และหรือของพวกเขา มีการสร้างวงจรออกจากประตู AND & OR โดยไม่ต้องมี fanout เท่านั้นหรือสามารถทำการคำนวณเองได้? แม่นยำยิ่งขึ้น logspace การคำนวณเวลาแบบพหุนามมีค่าลดลงเป็นวงจร AND & OR หรือไม่? แรงจูงใจของฉันสำหรับปัญหานี้ค่อนข้างแปลก ตามที่อธิบายไว้ที่นี่คำถามนี้เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการคำนวณภายในเกมคอมพิวเตอร์ป้อมแคระ
1
ไม่
มีความซับซ้อนที่เป็นไปได้ / สมมติฐาน crypto ที่ตัดความเป็นไปได้ที่วงจรขนาดพหุนามมีขนาดเอ็กซ์โพแนนเชียล - ขนาด (เช่นกับϵ &lt; 1 ) ขอบเขตความลึก ( d = O ( 1 )2O ( nε)2O(nε)2^{O(n^\epsilon)}ϵ &lt; 1ε&lt;1\epsilon<1d= O ( 1 )d=O(1)d = O(1) ) เรารู้ว่าทุกฟังก์ชั่นที่คำนวณได้โดยวงจรสามารถคำนวณได้โดยวงจรขนาด2 O ( n ϵ )วงจรความลึกd (โดยใช้ AND, OR และไม่ใช่ประตู, ไม่ได้ จำกัด พัดลม) (สำหรับทุก0 &lt; ϵมี สามารถใช้dและdเป็นO ( 1 / …
2
NC เวอร์ชั่นใหญ่คืออะไร
จับความคิดของ parallelizable ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเป็นหนึ่งในความหมายของมันก็เป็นปัญหาที่แก้ไขได้ในเวลา O ( เข้าสู่ระบบค n )โดยใช้ O ( n k )หน่วยประมวลผลแบบขนานสำหรับบางคนคงค ,k คำถามของฉันคือถ้ามีความสลับซับซ้อนคล้ายที่เวลาเป็น n คและจำนวนของตัวประมวลผลเป็น 2 n k เป็นคำถามที่เติมในช่องว่าง:N CNC\mathsf{NC}O ( บันทึกคn )O(logc⁡n)O(\log^c n)O ( nk)O(nk)O(n^k)คcckkkncncn^c2nk2nk2^{n^k} คือ Pเนื่องจาก__ คือ E X PNCNC\mathsf{NC}PP\mathsf{P}EXPEXP\mathsf{EXP} โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจในแบบจำลองที่เรามีคอมพิวเตอร์จำนวนมากที่ถูกจัดเรียงในเครือข่ายที่มีขอบเขตแบบ polynomially (ให้บอกว่าเครือข่ายไม่ขึ้นอยู่กับอินพุต / ปัญหาหรืออย่างน้อยก็สามารถสร้างได้ง่ายหรืออย่างอื่น ๆ ) ในแต่ละขั้นตอน: คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องจะอ่านจำนวนพหุนามของข้อความขนาดพหุนามที่ได้รับในขั้นตอนเวลาก่อนหน้า คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องใช้การคำนวณแบบหลายช่วงเวลาที่สามารถขึ้นอยู่กับข้อความเหล่านี้ คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องส่งข้อความ (ความยาว) ไปยังแต่ละเพื่อนบ้าน คลาสความซับซ้อนชื่ออะไรที่ตรงกับโมเดลเหล่านี้? เป็นสถานที่ที่ดีในการอ่านเกี่ยวกับชั้นเรียนที่ซับซ้อนเช่นอะไร? มีปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับชั้นเรียนนี้หรือไม่?
6
การอ้างอิงบนขอบเขตล่างของวงจร
คำนำ ระบบพิสูจน์เชิงโต้ตอบและโปรโตคอล Arthur-Merlin ได้รับการแนะนำโดยGoldwasser, Micali และ RackoffและBabaiย้อนกลับไปในปี 1985 ตอนแรกก็คิดว่าอดีตนั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าสมัยก่อน แต่Goldwasser และ Sipserแสดงให้เห็นว่าพวกเขามีพลังเดียวกัน ( ด้วยความเคารพต่อการรับรู้ภาษา) ดังนั้นในบทความนี้ฉันจะใช้แนวคิดทั้งสองสลับกันได้ ให้เป็นคลาสของภาษาที่ยอมรับระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบด้วยรอบ Babai พิสูจน์ให้เห็นว่า P (ผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กันได้)k ฉันP [ O ( 1 ) ] ⊆ เธP 2ผมP[ k ]ผมP[k]IP[k]kkkผมP[ O ( 1) ) ] ⊆เธP2ผมP[O(1)]⊆Π2PIP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P ตอนแรกไม่ทราบว่าจำนวนรอบที่ไม่ จำกัด สามารถเพิ่มพลังของ IP ได้หรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันก็แสดงให้เห็นว่ามีความขัดแย้ง relativizations: Fortnow และ Sipserแสดงให้เห็นว่าบาง …
6
วิธีที่ดีที่สุดในการรับเหรียญที่ใกล้เคียงกับการโยนจากเหรียญลำเอียงที่เหมือนกันคืออะไร?
(ฟอนนอยมันน์ให้อัลกอริทึมที่จำลองเหรียญที่ยุติธรรมให้การเข้าถึงเหรียญลำเอียงที่เหมือนกันอัลกอริทึมอาจต้องใช้จำนวนอนันต์ของเหรียญ bounded.) สมมติว่าเรามีเหรียญเหมือนกันกับอคติ[Tail] จุดมุ่งหมายคือการจำลองเหรียญโยนเดียวในขณะที่ลดอคติnnnδ= P[ ชe a d] - พี[ Tฉันลิตร]δ=P[Head]−P[Tail]\delta=P[Head]-P[Tail] การจำลองจะต้องมีประสิทธิภาพในความรู้สึกต่อไปนี้: ขั้นตอนการทำงานในลักษณะพหุนามเวลาที่บิตแบบสุ่มและผลบิตเดียว อคติของอัลกอริทึมถูกกำหนดให้เป็นที่คาดหวังจะได้รับการกระจายที่กำหนดโดยบิต IIDเช่นว่าProbB i a s ( A ) = | E [ A = 0 ] - E [ A = 1 ] | n x 1 , … , x n P r o b [ …
2
ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับสูตรความลึกคงที่
เรารู้มากเกี่ยวกับข้อ จำกัด ของวงจรเชิงลึก (ขนาดพหุนาม) เนื่องจาก (ขนาดพหุนาม) สูตรความลึกคงที่จึงเป็นรูปแบบการคำนวณที่ จำกัด ยิ่งขึ้นปัญหาทั้งหมดที่ทราบว่าไม่อยู่ใน AC 0จึงไม่สามารถคำนวณได้จากสูตรเชิงลึกคงที่ อย่างไรก็ตามเนื่องจากเป็นรุ่นที่ง่ายกว่าฉันจึงคาดว่าจะมีปัญหามากกว่าที่จะไม่สามารถคำนวณได้ในโมเดลนี้ มีการศึกษาเรื่องนี้หรือไม่? (ฉันเดาว่ามันเป็นไปได้ แต่ฉันอาจไม่ได้ใช้คำค้นหาที่เหมาะสม) โดยเฉพาะฉันสนใจในคำถามต่อไปนี้: มีฟังก์ชัน f ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยวงจรAC 0ของขนาด S แต่ต้องการสูตรความลึกคงที่ขนาดอย่างน้อยกำลังสองใน S หรือซุปเปอร์พหุนามใน S? อะไรคือผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีที่สุดในประเภทนี้? ในกรณีที่มันไม่ชัดเจนว่าฉันหมายถึงอะไรโดยสูตรเชิงลึกคงที่ฉันหมายถึงสูตรที่ถ้าคุณเขียนเป็นต้นไม้ (โดยมีโหนดภายในเป็นและ / หรือ / ไม่มีประตูและใบไม้เป็นอินพุต) จากนั้นต้นไม้นี้มีค่าคงที่ ความสูง สูตรที่มีความลึกคงที่เท่ากับวงจรความลึกคงที่ซึ่งประตูที่ไม่ใช่อินพุตทั้งหมดจะมี fanout 1
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.