คำถามติดแท็ก circuit-complexity

คำถามที่เกี่ยวข้องสองข้อเกี่ยวกับการคำนวณเชิงลึกแบบมีขอบเขต: 1) สมมติว่าคุณเริ่มต้นด้วย n bits และเริ่มต้นด้วย bit i สามารถเป็น 0 หรือ 1 ที่มีความน่าจะเป็น p (i) โดยอิสระ (ถ้าทำให้ปัญหาง่ายขึ้นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่า p (i) s ทั้งหมดคือ 0,1 หรือ 1/2หรือแม้แต่ทั้งหมดก็ 1/2) ตอนนี้คุณทำการคำนวณรอบที่ จำกัด ในแต่ละรอบคุณใช้ประตูคลาสสิกย้อนกลับในชุดบิตที่ไม่ปะติดปะต่อ (แก้ไขชุดประตูย้อนกลับคลาสสิคคลาสสิกที่คุณชื่นชอบ) ในตอนท้ายคุณจะได้รับการแจกแจงความน่าจะเป็นในสตริงที่ n บิต มีผลต่อการ จำกัด การแจกแจงดังกล่าวหรือไม่? ฉันกำลังมองหาบางสิ่งที่คล้ายคลึงกับ Hastad switch lemme, Boppana ทำให้ผลลัพธ์ทั้งหมดมีอิทธิพลน้อยหรือทฤษฎี LMN 2) คำถามเดียวกันกับ 1) แต่มีวงจรควอนตัมเชิงลึกที่มีขอบเขต จำกัด

20 cc.complexity-theory  quantum-computing  circuit-complexity  randomness  circuit-depth 

ในเอกสาร "บทสรุปของปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับ P" โดย Greenlaw, Hoover และ Ruzzo (PS) (PDF)มีรายการปัญหาใน P ที่ไม่ทราบว่าอยู่ใน NC และไม่รู้ว่าจะเป็น P-complete อย่างใดอย่างหนึ่ง . (รายการนี้จะอธิบายปัญหาที่เปิดอยู่ทั้งหมดในแบบสำรวจที่ยอดเยี่ยมโดย Karp และ Ramachandran ) รายการปัญหาที่เปิดขึ้นเริ่มต้นในหน้า 89 มีปัญหาอะไรบ้างในรายการนี้ที่ได้รับการแก้ไข (เช่นแสดงว่าเป็น P-complete หรือใน NC) ฉันเดาว่าไม่มากนักที่ได้รับการแก้ไขในช่วง 19 ปีที่ผ่านมาดังนั้น (หวังว่า) จะไม่กลายเป็นรายการใหญ่ นั่นคือรายการล่าสุดที่ฉันสามารถหาได้ ตัวชี้ไปยังรายการที่ทันสมัยมากขึ้นก็จะได้รับการชื่นชม! แก้ไข: András Salamon ชี้ให้เห็นว่ามีตำราเรียนโดยผู้เขียนคนเดียวกันซึ่งมีรายการที่ยาวกว่าเล็กน้อย นี่คือไฟล์ PDF ของหนังสือ ปัญหาที่เปิดอยู่เริ่มต้นในหน้า 237

20 cc.complexity-theory  open-problem  circuit-complexity 

อ้างอิงถึงประวัติศาสตร์ (ไม่ยืนยัน) บัญชี Kolmogorov คิดว่าทุกภาษาในมีความซับซ้อนของวงจรเชิงเส้น (ดูคำถามก่อนหน้านี้คาดเดา Kolmogorov ที่มีวงจรเชิงเส้นขนาด .) หมายเหตุว่ามันหมายถึง\ mathsf {P} \ neq \ mathsf {}PP\mathsf{P}PPPP≠NPP≠NP\mathsf{P}\neq \mathsf{NP} อย่างไรก็ตามการคาดเดาของ Kolmogorov มีแนวโน้มว่าจะล้มเหลว ตัวอย่างเช่น Ryan Williams เขียนในรายงานล่าสุด: "การคาดคะเนน่าประหลาดใจถ้าเป็นจริงสำหรับภาษาในPP\mathsf{P}ต้องใช้เวลาn100100n100100n^{100^{100}} ดูเหมือนว่าไม่น่าจะซับซ้อนของปัญหาดังกล่าว จะลดขนาดลงอย่างน่าอัศจรรย์ถึงขนาดO(n)O(n)O(n)เพียงเพราะวงจรที่แตกต่างกันสามารถออกแบบสำหรับความยาวอินพุตแต่ละตัวได้ " ในทางตรงกันข้าม Andrey Kolmogorov (1903-1987) ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของศตวรรษที่ 20 มันค่อนข้างยากที่จะจินตนาการว่าเขาจะเสนอการคาดเดาที่ไร้สาระอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นฉันพยายามค้นหาข้อโต้แย้งบางอย่างที่อาจสนับสนุนการคาดเดาที่น่าประหลาดใจของเขา นี่คือสิ่งที่ฉันคิดได้: สมมติP⊈SIZE(lin)P⊈SIZE(lin)\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)(หลิน) จากนั้นเราสามารถเลือกภาษาL∈PL∈PL\in \mathsf{P}เช่นนั้นLLLมีความซับซ้อนเป็นพิเศษทั้งในเครื่องแบบและในรูปแบบที่ไม่เหมือนกัน มีความเป็นไปได้สองอย่าง: มีที่รู้จักกันเป็น อย่างชัดเจนอัลกอริทึม (ทัวริงเครื่อง) ที่ยอมรับLLLLจากนี้เราสามารถสร้างตระกูลฟังก์ชั่นที่ชัดเจนที่จะต้องมีความซับซ้อนของวงจรแบบซุปเปอร์ไลน์ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้อาจดูได้ยากเนื่องจากไม่มีใครสามารถหาตัวอย่างเช่นนี้ได้ในการวิจัยวงจรที่ยาวนานกว่า 60 ปี …

19 cc.complexity-theory  circuit-complexity  ho.history-overview 

เราสามารถคำนวณเกตเกตเกตเกต bit ตามขนาดพหุนาม (วงจรแฟนอิน) ที่มีความลึกไหม? อีกวิธีหนึ่งเราสามารถนับจำนวน 1s ในบิตอินพุตโดยใช้วงจรเหล่านี้ได้หรือไม่?lg nnnnLGnLGLGnlg⁡nlg⁡lg⁡n\frac{\lg n}{\lg \lg n} คือ ?T C0⊆ ลิตรเสื้อT ฉันm E ( O ( LGnLGLGn) , O ( lgn ) )TC0⊆AltTime(O(lg⁡nlg⁡lg⁡n),O(lg⁡n))\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n)) โปรดทราบว่าn)) ดังนั้นคำถามคือถามว่าถ้าเราสามารถบันทึกปัจจัยในระดับความลึกของวงจรเมื่อคำนวณประตูธรณีประตูlg lg nT C0⊆ N C1= A l o g t i m e …

19 cc.complexity-theory  circuit-complexity  circuit-depth 

มีการอ้างอิงใด ๆ ที่ให้รายละเอียดเกี่ยวกับขอบเขตล่างของวงจรสำหรับปัญหาเฉพาะที่เกิดขึ้นในการเข้ารหัสเช่นเลขจำนวนเต็มแฟคตอริ่งจำนวนเต็มปัญหาไพรม์ / คอมโพสิตลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องและตัวแปรของมัน ปัญหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่? ปัญหาใด ๆ เหล่านี้โดยเฉพาะมีความซับซ้อนเชิงเส้นตรงที่ต่ำกว่าขอบเขต?

19 cc.complexity-theory  complexity-classes  cr.crypto-security  circuit-complexity 

ความเท่าเทียมกันและC0AC0AC^0เป็นเหมือนฝาแฝดที่แยกกันไม่ออก หรือดังนั้นจึงดูเหมือนว่าในช่วง 30 ปีที่ผ่านมา ในแง่ของผลลัพธ์ของไรอันจะมีการต่ออายุความสนใจในชั้นเรียนขนาดเล็ก Furst Saxe Sipser ถึง Yao to Hastad ล้วนเป็นข้อ จำกัด และข้อ จำกัด แบบสุ่ม Razborov / Smolensky เป็นพหุนามโดยประมาณที่มีพาริตี้ (ตกลง, mod gates) Aspnes et al ใช้ระดับที่อ่อนแอในความเท่าเทียมกัน นอกจากนี้ Allender Hertrampf และ Beigel Tarui กำลังใช้ Toda ในชั้นเรียนขนาดเล็ก และ Razborov / Beame ด้วยต้นไม้ตัดสินใจ ทั้งหมดนี้ตกลงไปในตะกร้าพาริตี้ 1) สิ่งที่เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นจากธรรมชาติอื่น ๆ (นอกเหนือจากความเท่าเทียมกัน) ที่สามารถแสดงให้เห็นได้โดยตรงไม่ว่าจะอยู่ใน ?C0AC0AC^0 2) …

19 cc.complexity-theory  complexity-classes  lower-bounds  circuit-complexity 

ในการอธิบายปัญหาดินเหนียวอย่างเป็นทางการสำหรับ P เมื่อเทียบกับ NP มันระบุว่าจะตามมาจากการแสดงว่า "ทุกภาษาใน [คลาสของภาษาที่จำได้ในเวลาชี้แจงด้วยเครื่องทัวริงกำหนดขึ้น] สามารถคำนวณได้โดยตระกูลวงจรบูลีนเช่นว่าอย่างน้อยหนึ่ง ,มีประตูน้อยกว่าสูงสุดที่จำเป็นในการคำนวณฟังก์ชั่นบูลีนใด ๆ ." อย่างไรก็ตามการอ้างอิงเพียงอย่างเดียวคือสิ่งนี้ "เป็นข้อสังเกตที่น่าสนใจของ V. Kabanets" ใครช่วยกรุณาชี้ให้ฉันไปที่รุ่นที่เผยแพร่ของความหมายนี้ด้วยการพิสูจน์?E < B n > n B n f : { 0 , 1 } n ⟶ { 0 , 1 }P≠NPP≠ยังไม่มีข้อความPP \neq NPEEE< Bn><Bn>nnnBnBnB_nฉ: { 0 , 1 }n⟶ { 0 , 1 }ฉ:{0,1}n⟶{0,1}f: …

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity 

ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่มีน้ำหนักของฟูเรียร์จดจ่ออยู่กับเซตขนาดเล็ก (หรือเงื่อนไขที่มีระดับต่ำ) คำนวณโดยวงจรหรือไม่C0AC0\mathsf{AC}^0

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบอัลกอริธึมว่าจำนวนที่คำนวณได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม? ในคำอื่น ๆ ก็จะมีความเป็นไปได้สำหรับห้องสมุดที่ใช้คำนวณตัวเลขเพื่อให้ฟังก์ชั่นisIntegerหรือisRational? ฉันเดาว่ามันเป็นไปไม่ได้และนี่ก็เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบว่าตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะพิสูจน์มัน แก้ไข: จำนวนที่คำนวณได้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่สามารถส่งกลับค่าประมาณด้วยเหตุผลด้วยความแม่นยำ :สำหรับใด ๆ0 รับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทดสอบว่าหรือ ?xxxfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

แก้ไข (22 ส.ค. 2554): ฉันลดความซับซ้อนของคำถามต่อไปและตั้งคำถามให้มากขึ้น บางทีคำถามที่ง่ายกว่านี้อาจมีคำตอบที่ง่าย ฉันจะหยุดทุกส่วนของคำถามเดิมที่ไม่เกี่ยวข้องอีกต่อไป (ขอขอบคุณ Stasys Jukna และ Ryan O'Donnell ที่ตอบคำถามต้นฉบับบางส่วน!) พื้นหลัง: ด้วยวงจรAC 0 ที่มีความลึก k และขนาด S, มีวงจรAC 0อีกอันที่มีฟังก์ชั่นเดียวกันกับความลึก k และขนาดที่วงจรใหม่มี fanout = 1 สำหรับประตูทุกบาน กล่าวอีกนัยหนึ่งวงจรดูเหมือนต้นไม้ (ยกเว้นที่อินพุตเนื่องจากอินพุตอาจ fanout มากกว่าหนึ่งประตู) วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการทำซ้ำประตูทั้งหมดที่มี fanout> 1 จนกว่าประตูทั้งหมดจะมี fanout = 1O(Sk)O(Sk)O(S^k) แต่นี่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการแปลง AC 0 circuit เป็น AC 0 circuits โดยใช้ fanout …

18 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity 

ฉันคิดว่าทฤษฎีบทลำดับชั้นขนาดสำหรับความซับซ้อนของวงจรอาจเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญในพื้นที่ มันเป็นวิธีที่น่าสนใจในการแยกชั้นเรียนหรือไม่? แรงจูงใจของคำถามคือเราต้องพูด มีฟังก์ชั่นบางอย่างที่ไม่สามารถคำนวณได้ตามขนาดวงจรและสามารถคำนวณได้โดยมีขนาดวงจรที่(n)) (และอาจเป็นสิ่งที่เกี่ยวกับความลึก)f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n)f(n)&lt;o(g(n))f(n)&lt;o(g(n))f(n)<o(g(n)) ดังนั้นถ้าทรัพย์สินดูเหมือนจะผิดธรรมชาติ (มันละเมิดเงื่อนไขความใหญ่โต) เห็นได้ชัดว่าเราไม่สามารถใช้เส้นทแยงมุมได้เพราะเราไม่ได้อยู่ในสภาพที่เหมือนกันf(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n) \leq n^{O(1)} มีผลในทิศทางนี้หรือไม่?

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  natural-proofs  hierarchy-theorems 

ฉันสนใจฟังก์ชั่นบูลีนที่ชัดเจนพร้อมด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้: ถ้าคงที่ในบางพื้นที่ย่อยของเลียนแบบแล้วมิติของสเปซนี้คือ(n)ฉ:0 , 1n→0 , 1f:0,1n→0,1f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}ฉff o ( n )0 , 1n0,1n\\{0,1\\}^no ( n )o(n)o(n) มันไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นสมมาตรไม่พอใจคุณสมบัตินี้โดยพิจารณาพื้นที่ย่อย\\} ใด ๆมีตรง 's และด้วยเหตุคือคงสเปซของมิติ 2A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}n / 2 1 f A n / 2x∈Ax∈Ax \in An / 2n/2n/2 …

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  derandomization  linear-algebra 

ไม่ใช่กำหนดวงจรบูลีนมีนอกเหนือไปจากปัจจัยการผลิตสามัญชุดของปัจจัยการผลิต "ไม่กำหนดว่า" Y = ( y ที่1 , ... , Y ม. ) ไม่ใช่กำหนดวงจรCรับข้อมูลxถ้ามีYดังกล่าวว่าวงจรการส่งออก1ใน( x , Y ) คล้ายกับP / p o l yx=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn)x = (x_1,\dots,x_n)y=(y1,…,ym)y=(y1,…,ym)y=(y_1,\dots,y_m)CCCxxxyyy111(x,y)(x,y)(x,y)P/polyP/polyP/poly(ระดับของภาษา decidable โดยวงจรขนาดพหุนาม), สามารถกำหนดเป็นคลาสของภาษา decidable โดยขนาดพหุนามไม่ใช่วงจรที่กำหนดขึ้นได้ เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าวงจรที่ไม่ใช่กำหนดขึ้นมีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าวงจรกำหนดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งN P ⊂ P / P o L y ที่บ่งบอกว่ายุบลำดับชั้นของพหุนามNP/polyNP/polyNP/polyNP⊂P/polyNP⊂P/polyNP \subset P/poly มีตัวอย่างที่ชัดเจน (และไม่มีเงื่อนไข) ในวรรณคดีที่แสดงว่าวงจรที่ไม่ได้กำหนดค่าจะมีประสิทธิภาพมากกว่าวงจรที่กำหนดขึ้นหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณรู้จักตระกูลฟังก์ชัน คำนวณได้โดยวงจรที่ไม่กำหนดขนาดc nแต่ไม่สามารถคำนวณได้โดยวงจรที่กำหนดขนาด( c …

17 cc.complexity-theory  circuit-complexity  nondeterminism 

เป็นที่รู้จักกันว่าขนาดต่ำสุดของ -circuits คอมพิวเตอร์ฟังก์ชั่นความเท่าเทียมกันตรงเท่ากับ(n-1) การพิสูจน์ขอบเขตล่างขึ้นอยู่กับวิธีการกำจัดเกทยู2ยู2U_23 ( n - 1 )3(n-1)3(n-1) เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันสังเกตเห็นว่าวิธีการกำจัดประตูทำงานได้ดีสำหรับ nondeterministicวงจรและเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับขนาดของ nondeterministicวงจรที่คำนวณฟังก์ชันพาริตี้ยู2ยู2U_23 ( n - 1 )3(n-1)3(n-1)ยู2ยู2U_2 (หมายความว่าการคำนวณแบบ nondeterministic นั้นไม่มีประโยชน์ในการคำนวณ parity โดย -circuits และไม่สามารถลดขนาดจากดังนั้นวงจรขั้นต่ำไม่เปลี่ยนจากกรณีที่กำหนดขึ้น)ยู2ยู2U_23 ( n - 1 )3(n-1)3(n-1) คำถามของฉันมีสองต่อไปนี้: (1) นี่คือผลลัพธ์ใหม่หรือผลลัพธ์ที่ทราบหรือไม่ (2) โดยทั่ว ๆ ไปมีบางส่วนที่ทราบผลของขอบเขตล่างสำหรับขนาดของวงจร nondeterministic (รวมถึงสูตรวงจรความลึกคงที่และอื่น ๆ ) ด้วยบิตอินพุต nondeterministic ไม่ จำกัด (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ nondeterminism ไม่ จำกัด …

17 cc.complexity-theory  reference-request  circuit-complexity 

ขอบล่างของ Blum 3n−o(n)3n−o(n)3n-o(n)คือขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีขอบเขตล่างที่สมบูรณ์สำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนฉ: { 0 , 1 }n→ { 0 , 1 }ฉ:{0,1}n→{0,1}f : \{0,1\}^n \to \{0,1\} , cf Jukna ตอบคำถามนี้สำหรับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้อง สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันดีขอบเขตลดลงหากช่วงของฉฉfคือ{ 0 , 1 }ม.{0,1}ม.\{0,1\}^m ? โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เราจะได้รับสิ่งที่ดีกว่าสำหรับm = nม.=nm = nหรือm = 2ม.=2m = 2 ?

17 circuit-complexity  lower-bounds