คำถามติดแท็ก circuit-complexity

คำถามนี้สามารถถามได้ทั้งในกรอบความซับซ้อนของวงจรของวงจรบูลีนหรือในกรอบของทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตหรืออาจอยู่ในการตั้งค่าอื่น ๆ มากมาย มันง่ายที่จะแสดงด้วยการนับการโต้แย้งว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนในอินพุต N ที่ต้องการประตูจำนวนมากแทน (แม้ว่าแน่นอนว่าเราไม่มีตัวอย่างที่ชัดเจน) สมมติว่าฉันต้องการประเมินฟังก์ชั่นเดียวกัน M ครั้งสำหรับจำนวนเต็ม M บางตัวใน M ของชุดอินพุตที่แตกต่างกันดังนั้นจำนวนอินพุตทั้งหมดคือ MN นั่นก็คือเราเพียงต้องการที่จะประเมินสำหรับฟังก์ชั่นเดียวกันฉที่ในแต่ละครั้งf(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})fff คำถามคือ: เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่ามีลำดับของฟังก์ชัน (หนึ่งฟังก์ชันสำหรับแต่ละ N) เช่นนั้นสำหรับ N ใด ๆ สำหรับ M ใด ๆ จำนวนประตูทั้งหมดที่ต้องการนั้นอย่างน้อยเท่ากับ M คูณฟังก์ชันเลขชี้กำลังของ N? อาร์กิวเมนต์การนับอย่างง่ายดูเหมือนจะไม่ทำงานเนื่องจากเราต้องการให้ผลลัพธ์นี้เก็บไว้สำหรับ M. One ทุกคนสามารถเกิดขึ้นได้กับ analogues ที่เรียบง่ายของคำถามนี้ในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตและด้านอื่น ๆfff

15 cc.complexity-theory  circuit-complexity  algebraic-complexity 

ในกระดาษNatural Proofsของ Razborov-Rudich หน้า 6 ในส่วนที่พวกเขาพูดถึงว่ามี "การพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าที่แข็งแกร่งสำหรับแบบจำลองวงจรโมโนโทน " และวิธีที่พวกเขาพอดีกับภาพมีประโยคต่อไปนี้: นี่คือปัญหาที่ไม่สร้างสรรค์ - คุณสมบัติที่ใช้ในการพิสูจน์เหล่านี้เป็นไปได้ทั้งหมด - แต่ดูเหมือนจะไม่มีอะนาล็อกอย่างเป็นทางการที่ดีของสภาพความใหญ่โต โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีใครกำหนดคำนิยามที่สามารถใช้การได้ของ "ฟังก์ชั่นโมโนโทนเดียว" การแยกเอาท์พุทของฟังก์ชั่นโมโนโทนเป็นเรื่องง่ายหรือไม่? การมีอยู่ของขอบเขตล่างที่แข็งแกร่งไม่ได้บอกเราว่าไม่มีสิ่งนั้นหรือ คำถามของฉันคือ: พวกเขาหมายถึงอะไรโดยความหมายที่สามารถทำงานได้ของ "ฟังก์ชั่นเดียวสุ่ม" ?

15 cc.complexity-theory  circuit-complexity  randomness  natural-proofs  boolean-functions 

หลักฐานธรรมชาติเป็นอุปสรรคต่อการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าในความซับซ้อนของวงจรของฟังก์ชันบูลีน พวกเขาไม่ได้โดยตรงบ่งบอกถึงอุปสรรคใด ๆ ในการพิสูจน์ขอบเขตที่ลดลงในซับซ้อนวงจร มีความคืบหน้าในการระบุอุปสรรคดังกล่าวหรือไม่? มีอุปสรรคอื่น ๆ ในการตั้งค่าเสียงเดียวหรือไม่monotonemonotonemonotone

15 cc.complexity-theory  circuit-complexity  barriers  natural-proofs 

ภาษาอยู่ในL/polyL/polyL/polyหากมีเครื่องทัวริง logspace ที่ตัดสินใจภาษาด้วยคำแนะนำจำนวนพหุนาม ดูที่นี่สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม: https://en.wikipedia.org/wiki/L/poly คำถาม ผลของP⊆L/polyP⊆L/polyP \subseteq L/polyคืออะไร

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  polynomial-time  advice-and-nonuniformity  logspace 

พิจารณาวงจรแบบโมโนโทนเดียวต่อไปนี้: แต่ละเกจเป็นเพียงไบนารีหรือ อะไรคือความซับซ้อนของฟังก์ชั่นf ( x ) = A xf(x)=Axf(x)=Axโดยที่AAAคือบูลีนเมทริกซ์ที่มี 0 มันสามารถคำนวณได้โดยขนาดเชิงเส้นหรือวงจร?n×nn×nn \times nO(n)O(n)O(n) อีกอย่างเป็นทางการคือฟังก์ชันจากถึงบิต เอาท์พุท -th ของมี (เช่นการหรือการย่อยของบิตการป้อนข้อมูลที่ได้รับจากแถว -th ของ)fffnnnnnniiifff⋁nj=1(Aij∧xj)⋁nj=1(Aij∧xj)\bigvee_{j=1}^{n}(A_{ij} \land x_j)iiiAAA โปรดทราบว่า 0 แยกแถวของเป็นช่วง (ชุดย่อยที่ประกอบด้วยองค์ประกอบต่อเนื่องของ ) สิ่งนี้ทำให้สามารถใช้โครงสร้างข้อมูลแบบสอบถามช่วงที่ทราบได้ เช่นโครงสร้างข้อมูลตารางเบาบางสามารถกลายเป็นหรือวงจรขนาดn) อัลกอริธึมของ Yaoสำหรับการสอบถามโอเปอเรเตอร์กึ่ง semigroup สามารถเปลี่ยนเป็นวงจรเชิงเส้นตรงเกือบ (ขนาดโดยที่คือ Invermann ผกผัน)O(n)O(n)O(n)AAAO(n)O(n)O(n)[n][n][n]O(nlogn)O(nlogn)O(n\log n)O(α(n)⋅n)O(α(n)⋅n)O(\alpha(n) \cdot n)α(n)α(n)\alpha(n) โดยเฉพาะฉันไม่ทราบวิธีสร้างวงจรขนาดเชิงเส้นสำหรับกรณีพิเศษที่แต่ละแถวของประกอบด้วยศูนย์สองตัว ในขณะที่กรณีของศูนย์หนึ่งในแต่ละแถวเป็นเรื่องง่าย (แต่ละฟังก์ชั่นเอาท์พุทสามารถคำนวณได้โดย OR ของคำนำหน้าและคำต่อท้ายซึ่งสามารถคำนวณได้ล่วงหน้าโดยหรือประตู)AAA[1..k−1][1..k−1][1..k-1][k+1..n][k+1..n][k+1..n]2n2n2n

14 ds.algorithms  circuit-complexity  upper-bounds 

Letเป็นฟังก์ชั่นที่แผนที่ -gate วงจรบนบิตและบิตสตริงเพื่อ(x) สมมติว่าวงจรถูกเข้ารหัสเป็นลำดับแบบวนรอบของการมอบหมายโดยที่เป็นป้ายกำกับสายไฟ sCnnxC(x)k:=กรัม(ฉัน,J)ฉัน,J,KC ฉันR คยูฉันทีอีวีลิตรs , nคผมRคยูผมเสื้อEโวลต์aล.s,n\mathsf{CircuitEval}_{s, n}sssคคCnnnnnnxxxค( x )ค(x)C(x)k : = g( i , j )k=ก.(ผม,J)k := g(i, j)ฉัน, j , kผม,J,ki, j, k ฉันรู้ว่านี่เป็นคำถามที่ตลกนิดหน่อย แต่อะไรคือขอบเขตที่รู้จักกันดีที่สุดของความซับซ้อนของวงจรของปัญหานี้ มี TM เทปเดี่ยวฟังก์ชั่นนี้และจากการจำลอง Fischer-Pippenger ขนาดควรเพียงพอ . กำลังสองมาจากการที่ต้องค้นหาไปมา เป็นไปได้ไหมที่จะทำได้ดีกว่า เป็นไปได้ไหมที่จะทำในขนาด ?O ( ( s + n ) 2เข้าสู่ระบบ( s + n ) …

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  circuit-families 

ในคำถามนี้ฉันสนใจ vs. /ปัญหาสำหรับเขตร้อนและB P P P P o L YBPP\mathbf{BPP}P\mathbf{P}poly\mathrm{poly} ( สูงสุด, + ) ( นาที, + )(max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+)วงจร คำถามนี้ลดการแสดงขอบเขตด้านบนสำหรับมิติ VC ของพหุนามในช่วงรอบเขตร้อน (ดูทฤษฎีบทที่ 2 ด้านล่าง) ให้เป็น semiring ศูนย์รูปแบบลำดับของมีหลายชื่อในเป็นส่วนหนึ่งที่มีอยู่และดังที่ทุก , IFFS นั่นคือกราฟของว่ามีหลายชื่อเหล่านั้นกับต้องตีจุด1} ("Zero-pattern" เนื่องจากเงื่อนไขสามารถถูกแทนที่ด้วยRRR(f1,…,fm)(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmmR[x1,…,xn]R[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx∈Rnx\in R^ny∈Ry∈Ry\in Ri=1,…,mi=1,…,mi=1,\ldots,mfi(x)=yfi(x)=yf_i(x)= yi∈Si∈Si\in Sfifif_ii∈Si∈Si\in S(x,y)∈Rn+1(x,y)∈Rn+1(x,y)\in R^{n+1}fi(x)=yfi(x)=yf_i(x)=yfi(x)−y=0fi(x)−y=0f_i(x)-y=0 ) อนุญาตZ(m)Z(m)Z(m)= จำนวนที่เป็นไปสูงสุดของศูนย์รูปแบบของการลำดับของพหุนามของระดับที่มากที่สุดdดังนั้นเมตร มิติ Vapnik-Chervonenkisปริญญามีหลายชื่อคือ \} mmmddd0≤Z(m)≤2m0≤Z(m)≤2m0\leq Z(m)\leq 2^mdddVC(n,d):=max{m:Z(m)=2m}VC(n,d):=max{m:Z(m)=2m}VC(n,d) := \max\{m\colon …

14 co.combinatorics  circuit-complexity  algebraic-complexity  arithmetic-circuits  vc-dimension 

kkk -th ประถมศึกษาพหุนามสมมาตรSnk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)คือผลรวมของทั้งหมดผลิตภัณฑ์ของตัวแปรที่แตกต่างกัน ฉันสนใจในความซับซ้อนของวงจรเลขคณิตของพหุนามนี้ อัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกอย่างง่าย (เช่นเดียวกับรูปที่ 1 ด้านล่าง) ให้วงจรพร้อมประตู k(+,×)(+,×)O(kn)(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) คำถาม: รู้จักขอบเขตต่ำกว่า หรือไม่? Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) วงจรAจะเอียงหากอย่างน้อยหนึ่งในสองอินพุตของแต่ละเกทผลิตภัณฑ์เป็นตัวแปร วงจรดังกล่าวเป็นจริงเหมือนกับเครือข่ายการสลับและการแก้ไข (กราฟ acyclic กำกับด้วยขอบบางอย่างที่มีป้ายกำกับโดยตัวแปร; แต่ละเส้นทางเซนต์ให้ผลิตภัณฑ์ของฉลากของมันและเอาท์พุทเป็นผลรวมของทุกเส้นทางเซนต์) แล้ว 40 ปีที่ผ่านมามาร์คอฟได้รับการพิสูจน์ผลแน่นน่าแปลกใจที่: เสียงเดียวน้อยที่สุดวงจรเอียงทางคณิตศาสตร์สำหรับได้ว่าประตูสินค้า บนที่ถูกผูกไว้ดังนี้จากรูปที่ 1. (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) แต่ฉันไม่เคยเห็นความพยายามใด ๆ ที่จะพิสูจน์ว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรที่ไม่เอียง นี่เป็นเพียง "ความเย่อหยิ่ง" ของเราหรือมีปัญหาบางอย่างที่เกิดขึ้นระหว่างทางหรือไม่? PS ฉันรู้ว่าประตูเป็นสิ่งที่จำเป็นไปพร้อม ๆ กันการคำนวณทั้งหมด n สิ่งนี้ตามมาจากขอบเขตล่างของขนาดของวงจรบูลีนโมโนโทนซึ่งเรียงลำดับอินพุต 0-1; ดูที่หน้า 158 ของหนังสือ Ingo Wegener ของ เครือข่าย AKS เรียงลำดับนอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าประตูมีเพียงพอในเรื่องนี้ …

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits  dynamic-programming 

Reg⊆NC1Reg⊆NC1\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{NC^1}RegReg\mathsf{Reg}R E G ⊆ T C 0 N C 1 ⊈ T C 0 R E g ⊈ T C 0TC0⊈RegTC0⊈Reg\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{Reg}Reg⊆TC0Reg⊆TC0\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{TC^0}NC1⊈TC0NC1⊈TC0\mathsf{NC^1}\not\subseteq\mathsf{TC^0}Reg⊈TC0Reg⊈TC0\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0} มีผู้สมัครสำหรับปัญหาในที่ไม่ได้อยู่ในหรือไม่T C 0RegReg\mathsf{Reg}TC0TC0\mathsf{TC^0} มีผลลัพธ์ตามเงื่อนไขที่อ้างถึง , เช่นถ้าแล้ว ? N C 1 ⊈ T C 0 R e g ⊈ T C 0Reg⊈TC0Reg⊈TC0\mathsf{Reg} …

14 cc.complexity-theory  fl.formal-languages  automata-theory  circuit-complexity  regular-language 

Razborov พิสูจน์ให้เห็นว่าฟังก์ชั่นจับคู่เดียวไม่ได้อยู่ในMP แต่เราสามารถคำนวณการจับคู่โดยใช้วงจรขนาดพหุนามกับการปฏิเสธได้หรือไม่? มีวงจร P / poly ที่มีการปฏิเสธที่คำนวณการจับคู่หรือไม่? การแลกเปลี่ยนระหว่างจำนวนของการปฏิเสธและขนาดของการจับคู่คืออะไรO(nϵ)O(nϵ)O(n^\epsilon)

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  matching  monotone 

เราพิจารณา DABs ความ (กำกับกราฟวัฏจักร) กับหนึ่งโหนดแหล่งsssและเป้าหมายหนึ่งโหนดทีtt ; อนุญาตให้ใช้ขอบขนานที่มีจุดยอดคู่เดียวกัน kkk - ตัดเป็นชุดของขอบที่มีการกำจัดทำลายทั้งหมดsss - เสื้อttเส้นทางนานกว่าkkk ; เส้นทางsss - t ที่สั้นกว่าttรวมถึงเส้นทาง "ภายใน" ที่ยาว (ซึ่งไม่ใช่ระหว่างsssและttt ) อาจอยู่รอดได้! คำถาม: มันพอที่จะลบที่มากที่สุดประมาณ1 / k1/k1/kส่วนหนึ่งของขอบจาก DAG เพื่อที่จะทำลายทุกsss - เสื้อttเส้นทางนานกว่าkkk ? นั่นคือถ้าe ( G )e(G)e(G)แสดงถึงจำนวนทั้งหมดของขอบในGGGดังนั้น DAG GทุกตัวGGจะมีkkk -cut ที่มีขอบe ( G ) / kมากที่สุดe(G)/ke(G)/kหรือไม่? สองตัวอย่าง: หากทั้งหมด sss - เสื้อttเส้นทางที่มีความยาว> k>k> …

14 cc.complexity-theory  graph-theory  circuit-complexity  directed-acyclic-graph 

ที่ทุกคนรู้, SAT เป็นที่สมบูรณ์แบบสำหรับ wrt พหุนามเวลาหลายหนึ่งลดลง มันยังคงสมบูรณ์ WRT A C 0ลดลงหลายรายการNPNP\mathsf{NP}AC0AC0\mathsf{AC^0} คำถามของฉันคือความลึกต่ำสุดที่จำเป็นสำหรับการลดลงคืออะไร เป็นทางการมากขึ้น อะไรคือน้อยที่สุดที่ SAT เป็นN P-ฮาร์ด wrt A C 0 dการลดลงหลายครั้งdddNPNP\mathsf{NP}AC0dACd0\mathsf{AC^0_d} ฉันคิดว่าน่าจะเพียงพอหรือไม่ ไม่มีใครรู้อ้างอิงหรือไม่AC02AC20\mathsf{AC^0_2}

14 cc.complexity-theory  reference-request  np-hardness  circuit-complexity  reductions 

ฉันกำลังอ่านภาคผนวกเกี่ยวกับขอบเขตที่ต่ำกว่าของ ACC สำหรับ NEXP ใน Arora และหนังสือ Computational Complexityของ Barak http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf หนึ่งในบทสรุปที่สำคัญคือการเปลี่ยนแปลงจากวงจรไปเป็นพหุนามพหุนามหลายระดับในจำนวนเต็มที่มีระดับ polylogarithmic และสัมประสิทธิ์ quasipolynomial หรือเทียบเท่า ซึ่งเป็นคลาสS Y M +ซึ่งเป็นระดับความลึกสองวงจรที่มี quasipolynomially และประตูที่ระดับล่างสุดของมันด้วยพัดลม polylogarithmic และประตูสมมาตรที่ระดับบนสุดACC0ACC0ACC^{0}SYM+SYM+SYM^{+} ในภาคผนวกที่ตำราเรียน, การเปลี่ยนแปลงครั้งนี้มีสามขั้นตอนสมมติว่าชุดประตูประกอบด้วย OR, mod , MOD 3และคงที่1 ขั้นตอนแรกคือการลดแฟนอินของประตู OR ให้เป็นระเบียบคำสั่ง polylogarithmic222333111 ใช้องอาจ-Vazirani แยกแทรกผู้เขียนจะขอที่ได้รับหรือประตูมากกว่าปัจจัยการผลิตในรูปแบบO R ( x 1 , . . . , x 2 k ) …

14 cc.complexity-theory  co.combinatorics  complexity-classes  circuit-complexity  boolean-functions 

ผลที่ 1: ทฤษฎีบทของ Linial-Mansour-Nisan กล่าวว่าน้ำหนักของฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่คำนวณโดยวงจรจะเน้นไปที่เซตย่อยที่มีขนาดเล็กและมีความน่าจะเป็นสูงC0Aค0\mathsf{AC}^0 ส่งผลให้เกิด 2: P A R I T YPARผมTY\mathsf{PARITY}มีน้ำหนักฟูเรียร์ของความเข้มข้นในการร่วมที่มีประสิทธิภาพของการศึกษาระดับปริญญาnnnn คำถาม: มีวิธีพิสูจน์ (ถ้าพิสูจน์ได้) P A R I T YPARผมTY\mathsf{PARITY}ไม่สามารถคำนวณได้โดยC0Aค0\mathsf{AC}^0วงจรผ่าน / ใช้ผลลัพธ์ 1 และ 2 หรือไม่?

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

SCผมSAคผมSAC^iเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่แก้ไขได้โดยตระกูลของวงจรความลึกพร้อมกับ fanin OR ที่ไม่มีขอบเขตและและ bounded-fanin และประตู อนุญาตให้มีการลบในระดับอินพุตเท่านั้น เป็นที่ทราบกันว่าSAC ^ iสำหรับi \ geq 1ถูกปิดภายใต้ส่วนประกอบและSAC ^ 0ไม่ได้ นอกจากนี้SAC ^ 1 = LogCFLและด้วยเหตุนี้จึงมีลักษณะของเครื่องเนื่องจากLogCFLเป็นชุดของภาษาที่ยอมรับโดยพื้นที่O ({\ log} n) ที่จำกัด ขอบเขตและเวลาเสริมโพลิโนเมียลที่ จำกัด ขอบเขต มีลักษณะของเครื่องที่คล้ายกันของSAC ^ iสำหรับi \ geq 2หรือไม่?S A C ฉัน i ≥ 1 S A C 0 S A C 1 = L o …

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  space-bounded  arithmetic-circuits