คำถามติดแท็ก circuit-complexity

หนึ่งสามารถพูดคุยของtreewidthของวงจรบูลีน, การกำหนดเป็น treewidth ของ "moralized" กราฟบนสายไฟ (จุด) ที่ได้รับดังนี้สายเชื่อมต่อและเมื่อใดก็ตามที่คือการส่งออกของประตูมีเป็น input (หรือ ในทางกลับกัน); เชื่อมต่อสายและทุกครั้งที่ใช้เป็นอินพุตไปยังเกทเดียวกัน แก้ไข:หนึ่งสามารถกำหนด treewidth ของวงจรเท่ากับที่กราฟแสดง; ถ้าเราใช้การเชื่อมโยงกันเพื่อ rewite ทั้งหมด AND และ OR ประตูที่จะมีแฟนในที่มากที่สุดสอง treewidth ตามความหมายอย่างใดอย่างหนึ่งคือขึ้นเดียวกันกับปัจจัย3aaabbbbbbaaaaaabbb333 มีปัญหาอย่างน้อยหนึ่งปัญหาที่ทราบกันทั่วไปในวงจรบูลีนที่ จำกัด ขอบเขตของความกังวล: ให้โอกาสสำหรับแต่ละสายอินพุตที่จะตั้งค่าเป็น 0 หรือ 1 (เป็นอิสระจากที่อื่น) คำนวณความน่าจะเป็นที่ ประตูส่งออกบางอย่างเป็น 0 หรือ 1 นี้โดยทั่วไป # P-อย่างหนักโดยลดลงจากเช่น # 2SAT แต่ก็สามารถแก้ไขได้ใน PTIME ในวงจรที่มี treewidth จะถือว่าน้อยกว่าอย่างต่อเนื่องโดยใช้อัลกอริทึมต้นไม้แยก คำถามของฉันคือการรู้ว่ามีปัญหาอื่น ๆนอกเหนือจากการคำนวณความน่าจะเป็นที่รู้กันว่าเป็นเรื่องยากที่จะอธิบายได้ แต่โดยทั่วไปสำหรับการเดินวนรอบวงเวียน …

14 circuit-complexity  pr.probability  treewidth  arithmetic-circuits 

เป็นที่รู้จักกันถ้าปัญหาการประเมินวงจรอยู่ใน ? แล้ว (uniform ) ล่ะ? N C 1 L o กรัมT ฉันm E N C 1N C1NC1\mathsf{NC^1}N C1NC1\mathsf{NC^1}A L o g T ฉันม. eALogTime\mathsf{ALogTime}N C1NC1\mathsf{NC^1} เรารู้ว่าวงจรความลึกสามารถประเมินได้ด้วยวงจรความลึก โดยที่คือค่าคงที่สากล ซึ่งหมายความว่าวงจรของความลึกสามารถประเมินได้จากวงจรของความลึกn) อย่างไรก็ตามไม่ได้มีฟังก์ชั่นที่ในที่สุดก็ครอบงำการทำงานทั้งหมดในn)k + c c k lg n + o ( lg n ) O ( lg n ) O ( lg …

14 cc.complexity-theory  reference-request  circuit-complexity 

Adleman ได้แสดงในปี 1978 ว่า : ถ้าฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรสามารถคำนวณได้โดยวงจรบูบูลีนน่าจะเป็นขนาดจากนั้นสามารถคำนวณได้โดยการกำหนด บูลีนวงจรของขนาดพหุนามในและ ; จริงขนาด(NM) BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}fffnnnMMMfffMMMnnnO(nM)O(nM)O(nM) คำถามทั่วไป:กว่าสิ่งอื่น ๆ (กว่าบูล) semirings ไม่ถือ? BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly} เพื่อให้มีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้นความน่าจะเป็นวงจร เหนือ semiringใช้การดำเนินการ "การเพิ่ม"และ "การคูณ ''เป็นประตู . อินพุตคือตัวแปรอินพุตและอาจมีตัวแปรสุ่มเพิ่มเติมจำนวนหนึ่งซึ่งรับค่าและ อย่างอิสระโดยมีความน่าจะเป็นและนี่คือ และตามลำดับตัวบ่งชี้การบวกและการคูณของ semiring . วงจรดังกล่าวคำนวณฟังก์ชันที่กำหนดCC\mathsf{C}(S,+,⋅,0,1)(S,+,⋅,0,1)(S,+,\cdot,0,1)(+)(+)(+)(⋅)(⋅)(\cdot)x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n0001111/21/21/2000111CC\mathsf{C} f:Sn→Sf:Sn→Sf:S^n\to Sถ้าทุก ,2/3 x∈Snx∈Snx\in S^nPr[C(x)=f(x)]≥2/3Pr[C(x)=f(x)]≥2/3\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3ฟังก์ชั่นการออกเสียงลงคะแนน ของตัวแปรที่เป็นฟังก์ชั่นบางส่วนที่มีค่าถ้าองค์ประกอบปรากฏมากกว่าครั้งในหมู่และจะไม่ได้กำหนด หากไม่มีองค์ประกอบเช่นมีอยู่ แอปพลิเคชันอย่างง่ายของ Chernoff และขอบเขตของสหภาพให้ผลตอบแทนดังนี้Maj(y1,…,ym)Maj(y1,…,ym)\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)mmmyyyyyym/2m/2m/2y1,…,ymy1,…,ymy_1,\ldots,y_myyy เสียงข้างมากเคล็ดลับ:ถ้าเป็นไปได้วงจรคำนวณฟังก์ชั่นบนขอบเขต จำกัด ,รับของเช่นว่าถือสำหรับทุกx CC\mathsf{C}f:Sn→Sf:Sn→Sf:S^n\to SX⊆SnX⊆SnX\subseteq S^nm=O(log|X|)m=O(log⁡|X|)m=O(\log|X|)C1,…,CmC1,…,CmC_1,\ldots,C_mCC\mathsf{C}f(x)=Maj(C1(x),…,Cm(x))f(x)=Maj(C1(x),…,Cm(x))f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))x∈Xx∈Xx\in X จากการบูลีน …

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  randomized-algorithms  derandomization  arithmetic-circuits 

เป็นที่ทราบกันว่าถ้าแล้วลำดับชั้นของพหุนามทรุดและAMΣ P 2 M A = A Mยังไม่มีข้อความP⊆ P/ po l yNP⊆P/PolyNP\subseteq P/PolyΣP2Σ2P\Sigma_2^{P}MA = A MMA=AMMA = AM อะไรคือการล่มสลายที่แข็งแกร่งที่สุดที่รู้จักกันจะเกิดขึ้นถ้า ?ยังไม่มีข้อความEXP⊆ P/ po l yNEXP⊆P/PolyNEXP\subseteq P/Poly

13 circuit-complexity  complexity 

P / poly เป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่แก้ไขได้โดยครอบครัวของวงจรบูลีนขนาดพหุนาม มันสามารถกำหนดเป็นเครื่องทัวริงเวลาพหุนามที่ได้รับสตริงคำแนะนำที่มีขนาดพหุนามใน n และจะขึ้นอยู่กับขนาดของ n mP / poly เป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่แก้ไขได้โดยครอบครัวของวงจรบูลีนแบบโพลิโนเมียลขนาดเดียว แต่มีนิยามทางเลือกตามธรรมชาติของ mP / โพลีในแง่ของเครื่องทัวริงเวลาพหุนามหรือไม่?

13 cc.complexity-theory  complexity-classes  circuit-complexity  polynomial-time  monotone 

รับขั้นตอนวิธีการทำงานในเวลาเราสามารถแปลงเป็น "จิ๊บจ๊อย" ครอบครัววงจรชุดสำหรับปัญหาเดียวกันขนาดที่มากที่สุด(n)≈ t ( n ) บันทึกt ( n )t(n)t(n)t(n)≈t(n)logt(n)≈t(n)log⁡t(n)\approx t(n)\log t(n) ในทางกลับกันอาจเป็นเพราะเรามีวงจรเครื่องแบบขนาดเล็กกว่ามากสำหรับปัญหานั้นแม้ว่าเป็นเวลาทำงานที่เหมาะสมที่สุด วงจรอาจใช้เวลานานกว่าในการสร้าง แต่มีขนาดเล็กt ( n )t(n)t(n)t(n)t(n)t(n)t(n) แต่เรารู้วิธีสร้างสิ่งเหล่านี้จริง ๆ หรือไม่? ฉันคิดว่าคำถามแรกที่จะถามคือ (1) เรามีตัวอย่างที่สร้างสรรค์ของวงจรแบบไม่ใช้สิ่งของเช่นวงจรแบบมีขนาดเล็กกว่าเวลาทำงานที่รู้จักกันดีที่สุดของอัลกอริทึมสำหรับปัญหาเดียวกันหรือไม่? ตอนนี้ผมเชื่อว่าถ้ามีปัญหาอยู่ในแล้วเรามีขั้นตอนวิธีการชี้แจงเวลาที่จะหาวงจรที่ดีที่สุดโดยใช้การค้นหาหมดจด: ให้เราเขียนคำตอบในทุกอินพุต (ใช้เวลา ); จากนั้นเราแจกแจงวงจรทั้งหมดในอินพุตเพิ่มขนาดจนกระทั่งพบว่ามีคำตอบที่ถูกต้องทั้งหมด ยุติการค้นหาที่ทั้งขนาดของแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่หรือตารางความจริงของฟังก์ชั่นที่ถ้าผลเป็น\} (แก้ไข: โทมัสชี้ให้เห็นว่าขอบเขตคือเนื่องจาก Shannon / Lupanov) n 2 n ( 2 n ) t ( n …

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  uniformity 

ให้เป็นฟังก์ชันส่วนใหญ่เช่นถ้าหากว่า . ฉันสงสัยว่ามีการพิสูจน์ความจริงต่อไปนี้ (โดย "ง่าย" ฉันหมายถึงการไม่พึ่งพาวิธีความน่าจะเป็นเช่น Valiant 84 ได้หรือในเครือข่ายการเรียงลำดับ; โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างวงจรที่ชัดเจนและตรงไปตรง):f ( x ) = 1 ∑ n i = 1 x i > n / 2ฉ: { 0 , 1 }n→ { 0 , 1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}ฉ( x ) = 1f(x)=1f(x) = 1Σni = 1xผม> n / 2∑i=1nxi>n/2\sum_{i …

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  circuit-families  circuit-depth 

ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรบูลีนn Let กรัม( x ) = T ε ( ฉ) ( x )เป็นค่าที่คาดหวังของF ( Y )เมื่อปีจะได้รับจากxโดยการพลิกแต่ละประสานงานกับความน่าจะเป็นε / 2ฉffnnnก.( x ) = Tε( ฉ) ( x )g(x)=Tϵ(f)(x)g(x)=T_\epsilon (f) (x)ฉ( y)f(y)f(y)Yyyxxxϵ / 2ϵ/2\epsilon/2 ฉันสนใจในกรณีที่มันเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณโดยประมาณกรัมให้ฉันแก้ไขความคิดของ "การประมาณ" (แต่อาจจะมีคนอื่น): ฟังก์ชั่นบูลีนเอชประมาณgถ้าh ( x ) = 1เมื่อg ( x ) ≥ 0.9และh ( x ) = 0เมื่อg …

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions 

มีหลายที่รู้จักกันดีC 0ผลขนาดวงจรที่ต่ำกว่าที่ถูกผูกไว้ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด แบบสุ่มและการสลับแทรกAC0AC0\mathsf{AC^0} เราสามารถพัฒนาผลการสลับเลมม่าเพื่อพิสูจน์ขนาดขอบเขตล่างสำหรับวงจรTC0TC0\mathsf{TC^0} (คล้ายกับบทพิสูจน์ขอบเขตล่างสำหรับAC0AC0\mathsf{AC^0} ) ได้หรือไม่? หรือมีอุปสรรคใด ๆ ที่จะใช้วิธีนี้เพื่อพิสูจน์TC0TC0\mathsf{TC^0}ขอบเขตล่าง? ทำผลอุปสรรคเช่นพิสูจน์ธรรมชาติพูดอะไรเกี่ยวกับการใช้การสลับแทรกเช่นเทคนิคในการพิสูจน์TC0TC0\mathsf{TC^0}ต่ำกว่าขอบเขต?

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  boolean-functions 

และ N L o g T i m eเป็นคลาสซับซ้อนที่เล็กที่สุดที่เรามี (โปรดทราบว่าลำดับชั้นของลอการิทึมเวลา L Hเท่ากับ A C 0และนี่คือสองระดับแรกของ L H )D l o g T ฉันม. eDLogTime\mathsf{DLogTime}N L o กรัมT ฉันมอีNLogTime\mathsf{NLogTime}L HLH\mathsf{LH}C0AC0\mathsf{AC}^0L HLH\mathsf{LH} หลังจากอ่านคำถามผมกลายเป็นที่สนใจเพื่อดูว่าการแยกระหว่างทั้งสองชั้นเป็นที่รู้จักกันและในความเป็นจริงมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแยกพวกเขาตั้งแต่ . (ขอบคุณโรบิน Kothari ดูยังเป็นที่รู้จักกันO R ( x1, . . . , xn) ∈ N L o กรัมT ฉันm E …

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity 

คลาสความซับซ้อนจำนวนมากที่กำหนดด้วยเครื่องจักรทัวริงมีคำจำกัดความในแง่ของวงจรเครื่องแบบ ตัวอย่างเช่น P สามารถกำหนดได้โดยใช้วงจรขนาดพหุนามที่สม่ำเสมอและในทำนองเดียวกัน BPP, NP, BQP และอื่น ๆ สามารถกำหนดได้ด้วยวงจรเครื่องแบบ ดังนั้นจึงมีความหมายตามวงจรของ L? ความคิดที่ชัดเจนคือการอนุญาตให้ใช้วงจรขนาดพหุนามที่มีข้อ จำกัด เชิงลึกบ้าง แต่กลับกลายเป็นการกำหนดลำดับชั้นของ NC ฉันคิดถึงคำถามนี้มานานแล้ว แต่ไม่พบคำตอบ ถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้องแรงจูงใจของฉันคือการเข้าใจว่าอะนาล็อกควอนตัมของ L จะเป็นอย่างไร

13 cc.complexity-theory  complexity-classes  circuit-complexity 

สมมติว่าเรามีฟีดเครือข่ายประสาทส่งต่อเลเยอร์เดียวที่มีอินพุต k และหนึ่งเอาต์พุต ฟังก์ชั่นมันจะคำนวณจาก ก็ค่อนข้างง่ายที่จะเห็นว่าเรื่องนี้มีอย่างน้อยอำนาจการคำนวณเช่นเดียวกับC 0 เพื่อความสนุกสนานเราจะเรียกชุดฟังก์ชั่นที่คำนวณได้โดยเครือข่ายประสาทชั้นเดียว " N e u r a l "{ 0 , 1 }n→ { 0 , 1 }{0,1}n→{0,1}\lbrace 0,1\rbrace ^{n}\rightarrow\lbrace 0,1\rbrace C0AC0AC^0ยังไม่มีข้อความอียูr ลิตรNeuralNeural อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่ามันอาจมีพลังการคำนวณมากกว่าเพียงอย่างเดียวC0AC0AC^0 ดังนั้น ... จะC 0 ⊆ N e U r ลิตรหรือN e U r L = C 0 ? ระดับความซับซ้อนเช่นนี้เคยถูกศึกษามาก่อนหรือไม่?C0⊆ Nอียูr …

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  machine-learning  ne.neural-evol 

พิจารณาฟังก์ชันคำนวณโดยวงจรบูลีนC ที่มีอินพุตnของขนาดs ( n ) = p o l y ( n )บนพื้นฐาน{ X O R , A N D , N O T } (กับ indegree 2 สำหรับX O R , A N Dประตู)ฉffคCCnnns ( n ) = p o l y ( n )s(n)=poly(n)s(n) = \mathsf{poly}(n){ X O …

12 circuit-complexity  circuits 

ฉันกำลังพิจารณาภาษาของสูตรตรรกะเชิงประพจน์ที่น่าพอใจทั้งหมดSAT (เพื่อให้แน่ใจว่านี่มีตัวอักษรที่ จำกัด เราจะเข้ารหัสตัวอักษรเชิงประพจน์ในวิธีที่เหมาะสม[แก้ไข: การตอบกลับชี้ให้เห็นว่าคำตอบของคำถามอาจไม่แข็งแกร่งภายใต้ การเข้ารหัสที่แตกต่างกันดังนั้นเราต้องเจาะจงมากขึ้น - ดูข้อสรุปของฉันด้านล่าง] ) คำถามง่ายๆของฉันคือ คือSATภาษาบริบทฟรีหรือไม่ การคาดเดาครั้งแรกของฉันคือคำตอบของวันนี้ (ต้นปี 2560) ควรเป็น "ไม่มีใครรู้เพราะสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำถามที่ไม่ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีความซับซ้อน" อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง (ดูคำตอบด้านล่าง) แต่ก็ไม่ได้ผิดทั้งหมด นี่คือบทสรุปสั้น ๆ ของสิ่งที่เรารู้ (เริ่มจากสิ่งที่ชัดเจน) SATไม่ปกติ (เนื่องจากไวยากรณ์ของแคลคูลัสเชิงประพจน์นั้นไม่ปกติเนื่องจากวงเล็บที่ตรงกัน) SATไวต่อบริบท (ไม่ยากที่จะให้ LBA แก่มัน) SATคือ NP-complete (Cook / Levin) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการตัดสินใจโดย nondeterministic TMs ในเวลาพหุนาม SATสามารถรับรู้โดยทางเดียว nondeterministic stack automata (1-NSA) (ดู WC Rounds, ความซับซ้อนของการรับรู้ในภาษาระดับกลาง , การสลับและทฤษฎีออโตมาตา, 1973, …

12 cc.complexity-theory  circuit-complexity  sat  context-free 

ให้( ฉ)แสดงขนาดต่ำสุดของ (ที่ไม่ใช่เสียงเดียว) คณิตศาสตร์( + , × , - )วงจรคอมพิวเตอร์ที่กำหนดพหุนาม multilinear F ( x 1 , ... , x n ) = Σ อี∈ E C E n Πฉัน= 1 x e i iA ( f)A(f)A(f)( + , × , - )(+,×,−)(+,\times,-) และ B ( ฉ)แสดงขนาดต่ำสุดของ (ที่ไม่ใช่เสียงเดียว) บูล ( ∨ …

12 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits