คำถามติดแท็ก graph-theory

หากเป็นแบบไร้ทิศทางdกราฟ -regular และSเป็นส่วนหนึ่งของจุดของ cardinality ≤ | V | / 2เรียกการขยายขอบของSปริมาณG = ( V, E)G=(V,E)G=(V,E)dddSSS≤ | V| / 2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ ( S) : = Edก.อีเอส( S, โวลต์- S)d⋅ | S| ⋅ | V- S|ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} ที่ไหนคือจำนวนของขอบกับหนึ่งในปลายทางและเป็นหนึ่งในปลายทางB จากนั้นปัญหาการขยายขอบคือการหาชุดSด้วย| S | ≤ | V | / 2ที่ช่วยลดไว( S …

27 ds.algorithms  graph-theory  ho.history-overview  expanders  spectral-graph-theory 

ปัญหา NP-hard บางอย่างที่อธิบายบนกราฟทั่วไปนั้นเป็นเอ็กซ์โพแนนเชียลในกราฟระนาบเนื่องจากความว่องไวมากที่สุดและพวกมันเป็นเลขชี้กำลังในความกังวล4.9 | V( G ) |------√4.9|V(G)|4.9 \sqrt{|V(G)|} โดยทั่วไปฉันสนใจหากมีอัลกอริทึม subexponential สำหรับ PLANAR SAT ซึ่งเป็น NP-complete Letจะเป็นสูตร CNF กับตัวแปรและ ข้อ -th เป็นC_ix ฉันฉันc ฉันφϕ\phixผมxix_iผมiiคผมcic_i อุบัติการณ์กราฟพี 5 ของอยู่บนจุด และขอบ IFFหรือC_iϕ V ( G ) = { x i } ∪ { c i } ( x i , c i ) …

26 graph-theory  sat  reductions 

มีบางสิ่งที่รู้เกี่ยวกับคลาสของกราฟที่มีคุณสมบัติที่ชุดอิสระสูงสุดทั้งหมดมีความสำคัญเชิงเดียวกันและดังนั้นจึงเป็นค่า IS สูงสุด ตัวอย่างเช่นใช้ชุดของจุดในระนาบและพิจารณากราฟของจุดตัดระหว่างส่วนทั้งหมดระหว่างคู่ของจุดในชุด (ส่วน -> จุดยอด, จุดตัด -> ขอบ) กราฟนี้จะมีคุณสมบัติด้านบนเนื่องจากค่า IS สูงสุดทั้งหมดสอดคล้องกับสมการของชุดจุดดั้งเดิม ทราบว่ามีกราฟประเภทอื่นที่มีคุณสมบัตินี้หรือไม่? สามารถทดสอบคุณสมบัตินี้ได้อย่างง่ายดายหรือไม่?

26 graph-theory  co.combinatorics 

สมมติว่าเราผ่อนคลายปัญหาการนับสีที่เหมาะสมโดยการนับสีที่มีน้ำหนักดังต่อไปนี้: ทุกสีที่เหมาะสมจะได้รับน้ำหนัก 1 และทุกสีที่ไม่เหมาะสมจะได้รับน้ำหนักโดยที่มีค่าคงที่บ้างและคือจำนวนขอบ ในขณะที่ไปที่ 0 จะช่วยลดการนับจำนวนสีที่เหมาะสมซึ่งยากสำหรับกราฟจำนวนมาก เมื่อ c คือ 1 ทุกสีจะมีน้ำหนักเท่ากันและปัญหานั้นเล็กน้อย เมื่อเมทริกซ์ adjacency ของกราฟคูณด้วยมีรัศมีสเปกตรัมต่ำกว่าcvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilonผลรวมนี้สามารถประมาณได้ด้วยการเผยแผ่ความเชื่อด้วยการรับรองการบรรจบกันดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายในทางปฏิบัติ นอกจากนี้ยังง่ายในทางทฤษฎีเนื่องจากต้นไม้การคำนวณแสดงการสลายตัวของสหสัมพันธ์และด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการประมาณที่รับประกัน - Tetali, (2007) คำถามของฉันคือ - คุณสมบัติอื่นใดของกราฟทำให้ปัญหานี้ยากสำหรับอัลกอริทึมท้องถิ่น ยากในความรู้สึกว่ามีเพียงช่วงเล็ก ๆ ของ 's สามารถ addressedccc แก้ไข 09/23 : จนถึงตอนนี้ฉันได้พบกับอัลกอริทึมการประมาณค่าพหุนามสองแบบสำหรับปัญหาในระดับนี้ (อนุพันธ์ของกระดาษ STOC2006 ของ Weitz และวิธีการ "ขยายช่องว่าง" ของการ์นิกเพื่อการนับโดยประมาณ) และทั้งสองวิธีขึ้นอยู่กับ หลีกเลี่ยงการเดินบนกราฟ รัศมีสเปกตรัมเกิดขึ้นเพราะมันเป็นขอบเขตบนของปัจจัยการแยก คำถามคือ - มันเป็นประมาณการที่ดีหรือไม่? เราสามารถเรียงลำดับของกราฟที่มีปัจจัยการแยกสาขาของการเดินแบบหลีกเลี่ยงตัวเองได้หรือไม่ แก้ไข 10/06 : บทความนี้โดย …

26 graph-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  counting-complexity  graph-colouring 

เลมม่าประจำ Szemeredi กล่าวว่ากราฟที่หนาแน่นทุกตัวสามารถประมาณเป็นสหภาพของกราฟแท่งขยายสองฝ่ายจำนวนมาก แม่นยำยิ่งขึ้นมีพาร์ทิชันของจุดยอดนิยมส่วนใหญ่ในชุดชุดส่วนใหญ่เป็นคู่ตัวขยาย bipartite (จำนวนชุดในพาร์ติชันและพารามิเตอร์การขยายขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์การประมาณ):O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma มีรุ่นของบทแทรกสำหรับกราฟแบบเบาบาง "มีพฤติกรรม" ดู: http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf สิ่งที่ทำให้ฉันประหลาดใจเกี่ยวกับสูตรเหล่านี้คือพวกเขารับประกันได้ว่าคู่ชุดส่วนใหญ่ในพาร์ติชันแบบฟอร์มตัวขยาย bipartite และตัวขยาย bipartite เหล่านี้อาจว่าง ดังนั้นในกราฟกระจัดกระจายทั่วไปเป็นไปได้มากที่ขอบทั้งหมดระหว่างส่วนต่าง ๆ ในพาร์ทิชันของจุดยอดไม่ได้อยู่ในส่วนขยาย ฉันสงสัยว่ามีสูตรที่ให้ขอบส่วนใหญ่มาจากส่วนขยายหรือว่าไม่มีความหวังสำหรับสูตรดังกล่าว

25 graph-theory  co.combinatorics  expanders 

ผลลัพธ์โดยRobertson และ Seymourแสดงให้เห็นถึงอัลกอริทึมสำหรับการทดสอบว่ากราฟคงที่นั้นมีค่าน้อยกว่าหรือไม่ ฉันมีคำถามสองและครึ่งในหัวข้อนี้:G HO ( n3)O(n3)O(n^3)GGGHHH 1) ปรากฏว่ามีการปรับปรุงอัลกอริทึมนี้ตั้งแต่ ปัจจุบันอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดคืออะไร? 2a) ผู้คนคาดเดาว่าอะไรจะเป็นขอบเขตที่ดีที่สุด? อัลกอริทึมของ Mohar สำหรับการฝังบนพื้นผิวที่คงที่และอัลกอริทึมของ Kawarabayashi สำหรับการจดจำกราฟ -apexkkkตัดสินการเป็นสมาชิกของกราฟที่สามารถกำหนดลักษณะได้โดยผู้เยาว์ต้องห้ามในเวลาเชิงเส้นกระตุ้นคำถามสุดท้าย: 2b) มีเหตุผลใดที่สงสัยว่าเราสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่? แน่นอนถ้ามีคนคิดอัลกอริธึมเชิงเส้นอยู่แล้วสองคำถามสุดท้ายนั้นโง่ :)

25 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  graph-algorithms 

โดยปกติแล้วคนหนึ่งจะสร้างกราฟแล้วถามคำถามเกี่ยวกับเมทริกซ์ adjacency (หรือญาติสนิทเช่นLaplacian ) eigenvalue การสลายตัว (เรียกอีกอย่างว่าสเปกตรัมของกราฟ ) แต่แล้วปัญหาย้อนกลับล่ะ เมื่อกำหนดค่าลักษณะเฉพาะสามารถหากราฟที่มีสเปกตรัมนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่nnn ฉันสงสัยว่าโดยทั่วไปสิ่งนี้ยากที่จะทำ (และอาจเทียบเท่ากับ GI) แต่ถ้าคุณผ่อนคลายเงื่อนไขเล็กน้อย ถ้าคุณทำเงื่อนไขว่าไม่มีค่าลักษณะเฉพาะหลายหลาก แล้วการอนุญาตให้ใช้กราฟที่มีสเปคตรัม "ปิด" ด้วยการวัดระยะทางบ้าง ยินดีต้อนรับการอ้างอิงหรือความคิดใด ๆ แก้ไข : ดังที่ Suresh ชี้ให้เห็นถ้าคุณอนุญาตให้กราฟถ่วงน้ำหนักแบบไม่ระบุทิศทางพร้อมลูปตัวเองปัญหานี้จะกลายเป็นเรื่องเล็กน้อย ฉันหวังว่าจะได้รับคำตอบเกี่ยวกับชุดกราฟที่เรียบง่ายที่ไม่ได้บอกทิศทางและไม่มีน้ำหนัก แต่ฉันก็จะมีความสุขกับกราฟกำกับที่ไม่มีน้ำหนักแบบง่ายเช่นกัน

25 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  spectral-graph-theory 

ฉันเพิ่งสอนผู้ขยายและแนะนำแนวคิดของกราฟรามานุช Michael Forbes ถามว่าทำไมพวกเขาถึงถูกเรียกแบบนี้และฉันต้องยอมรับว่าไม่รู้ ใคร?

25 graph-theory  soft-question  ho.history-overview  expanders 

มีการศึกษาความซับซ้อนของปัญหาต่อไปนี้หรือไม่ อินพุต : กราฟลูกบาศก์ (หรือ ) , ขอบเขตบนธรรมชาติG = ( V , E ) t333G = ( V, E)G=(V,E)G=(V,E)เสื้อเสื้อt คำถาม : มีพาร์ทิชันของเข้าส่วนของขนาดดังกล่าวว่าผลรวมของคำสั่งของ (เชื่อมต่อ nonnecessarily) subgraphs ที่สอดคล้องกันเป็นอย่างมาก ?| E | / 3 3 tEEE| E| / 3|E|/3|E|/3333เสื้อเสื้อt งานที่เกี่ยวข้อง ฉันพบเอกสารค่อนข้างน้อยในวรรณคดีที่พิสูจน์ว่าจำเป็นและ / หรือมีเงื่อนไขเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของพาร์ติชันในกราฟบางอันที่มีสามขอบซึ่งเกี่ยวข้องกันอย่างใดอย่างหนึ่งและอื่น ๆ บางอย่างเกี่ยวกับความซับซ้อนของคอมพิวเตอร์ ด้านบน (เช่นพาร์ติชันจะต้องให้ subgraphs isomorphic เป็นหรือP 4และไม่มีน้ำหนักเกี่ยวข้องกับพาร์ติชั่นที่กำหนด) แต่ไม่มีใครจัดการกับปัญหาข้างต้นได้อย่างแน่นอนK1 , …

25 graph-theory  np-hardness  co.combinatorics 

การคาดการณ์การสร้างใหม่บอกว่ากราฟ (ที่มีจุดยอดอย่างน้อยสามจุด) จะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยกราฟย่อยที่ถูกลบยอด การคาดเดานี้มีอายุห้าสิบปีแล้ว การค้นหาวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องฉันพบว่ากราฟของคลาสต่อไปนี้เป็นที่รู้กันว่าสามารถสร้างใหม่ได้: ต้นไม้ กราฟที่ถูกตัดการเชื่อมต่อ กราฟปกติ กราฟนอกสุดสูงสุด กราฟระนาบสูงสุด กราฟด้านนอก บล็อกที่สำคัญ กราฟที่แยกไม่ออกโดยไม่มีจุดสิ้นสุด กราฟ unicyclic (กราฟที่มีหนึ่งรอบ) กราฟผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนที่ไม่สำคัญ สี่เหลี่ยมของต้นไม้ กราฟ bidegreed กราฟช่วงเวลาของหน่วย กราฟเกณฑ์ กราฟเกือบทั้งหมด (เช่น Gv คือ acyclic) กราฟ cacti กราฟที่หนึ่งในกราฟที่ถูกลบจุดสุดยอดเป็นฟอเรสต์ ฉันเพิ่งพิสูจน์ว่ากรณีพิเศษของต้นไม้ 2 ต้นบางส่วนสามารถสร้างใหม่ได้ ฉันสงสัยว่าต้นไม้ 2 ต้นบางส่วน (หรือที่รู้จักกันในชื่อกราฟคู่ขนาน ) นั้นสามารถสร้างขึ้นมาใหม่ได้หรือไม่ ต้นไม้ 2 ต้นบางส่วนดูเหมือนจะไม่อยู่ในหมวดหมู่ใด ๆ ที่กล่าวถึงข้างต้น ฉันไม่มีกราฟที่สร้างขึ้นใหม่ได้ในรายการด้านบนหรือไม่ โดยเฉพาะต้นไม้ 2 ต้นที่รู้กันว่าสามารถสร้างใหม่ได้หรือไม่?

24 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  treewidth 

การนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟแบบสองทางจะลดลงทันทีในการคำนวณแบบถาวร ตั้งแต่การหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟที่ไม่ใช่ฝ่ายอยู่ใน NP มีอยู่บางส่วนที่ลดลงจากกราฟที่ไม่ใช่ฝ่ายไปอย่างถาวร แต่มันอาจจะเกี่ยวข้องกับการระเบิดพหุนามที่น่ารังเกียจโดยใช้การลดคุกเพื่อ SAT แล้วทฤษฎีบทองอาจเพื่อลดไป ถาวร. การลดที่มีประสิทธิภาพและเป็นธรรมชาติจากกราฟที่ไม่มีสองฝ่ายGถึงเมทริกซ์A = f ( G )โดยที่Perm ( A ) = Φ ( G )จะมีประโยชน์สำหรับการใช้งานจริงเพื่อนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบโดยใช้ที่มีอยู่ ไลบรารีที่คำนวณถาวรฉffGGGA = f( G )A=f(G)A = f(G)ดัด( A ) = Φ ( G )perm⁡(A)=Φ(G)\operatorname{perm}(A) = \Phi(G) อัปเดต:ผมเพิ่มเงินรางวัลสำหรับคำตอบรวมทั้งฟังก์ชั่นได้อย่างมีประสิทธิภาพ-คำนวณจะใช้กราฟพลกับฝ่ายกราฟHที่มีหมายเลขเดียวกันของจ้อที่สมบูรณ์แบบและไม่เกินO ( n 2 )จุดGGGHHHO ( n2)O(n2)O(n^2)

24 graph-theory  counting-complexity  reductions  permanent 

กราฟ H คือแก่นถ้า homomorphism ใด ๆ จาก H ถึงตัวมันเองคือ bijection กราฟย่อย H ของ G เป็นแกนกลางของ G ถ้า H เป็นแกนกลางและมีโฮโมมอร์ฟิซึมจาก G ถึง H. http://en.wikipedia.org/wiki/Core_%28graph_theory%29 จากกราฟ G อัลกอริธึมที่แน่นอนที่สุดที่รู้จักกันดีที่สุดในการค้นหาแกนกลาง

24 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms 

เป็นที่ทราบกันดีว่ามันเป็นปัญหาที่สมบูรณ์เพื่อทดสอบว่ามีวัฏจักรของแฮมิลตันอยู่ในกราฟ 3 รูปแบบแม้ว่ามันจะเป็นระนาบ (Garey, Johnson และ Tarjan, SIAM J. Comput. 1976) หรือ bipartite (Akiyama, Nishizeki, และ Saito, J. . แจ้ง Proc. 1980) หรือเพื่อทดสอบว่ามีวงจร Hamiltonian อยู่ในกราฟ 4 แบบปกติหรือไม่แม้ว่าจะเป็นกราฟที่เกิดจากการจัดเรียงของเส้นโค้งของจอร์แดน (Iwamoto and Toussaint, IPL 1994) K ตัวไหนที่เป็นที่รู้กันว่า NP-complete ในการทดสอบ Hamiltonicity ของ k-regular graphs? กรณีเฉพาะที่ฉันสนใจคือกราฟ 6 รอบพร้อมเงื่อนไขเพิ่มเติมที่กราฟมีจำนวนจุดยอดคี่ ถ้ากรณีนี้อาจจะแสดงให้เห็นว่า NP-ฉบับสมบูรณ์ (หรือพหุนาม) มันจะมีผลกระทบในกราฟปัญหาการวาดภาพที่อธิบายไว้ในhttp://arxiv.org/abs/1009.0579 เงื่อนไข "จำนวนจุดยอดคี่" เป็นเพราะสิ่งที่ฉันต้องการทราบจริง …

24 graph-theory  np-hardness  hamiltonian-paths 

ฉันกำลังมองหาส่วนขยายที่ไม่สมดุลซึ่ง "ดี" และ "ประหยัดพื้นที่" โดยเฉพาะกราฟสองฝ่ายซ้ายปกติ , , , ด้วยองศาซ้ายG=(A,B,E)G=(A,B,E)G=(A,B,E)| B | = m d|A|=n|A|=n|A|=n|B|=m|B|=m|B|=mdddเป็น -expander ถ้าใด ๆS ⊂ของ ขนาดสูงสุดkจำนวนเพื่อนบ้านที่แตกต่างของSในBอย่างน้อย( 1 - ϵ ) d | S | . เป็นที่ทราบกันดีว่าวิธีความน่าจะเป็นนั้นให้กราฟกับd = O(k,ϵ)(k,ϵ)(k,\epsilon)S⊂AS⊂AS \subset AkkkSSSBBB(1−ϵ)d|S|(1−ϵ)d|S|(1-\epsilon)d|S|และม. = O ( k ล็อก( n / k ) / ε 2 ) อย่างไรก็ตามหนึ่งต้องการพื้นที่ O ( n …

24 graph-theory  derandomization  expanders 

สำหรับการคงที่หนึ่งสามารถกำหนดเส้นเวลารับข้อมูลกราฟไม่ว่าจะเป็นtreewidthมีk อย่างไรก็ตามเมื่อได้รับทั้งและเป็นอินพุตปัญหาจะเป็นปัญหา ( ที่มา ) G ≤ k k Gk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGG≤k≤k\leq kkkkGGG อย่างไรก็ตามเมื่อกราฟอินพุตเป็นระนาบดูเหมือนว่าจะมีความซับซ้อนน้อยกว่ามาก ปัญหาที่เกิดขึ้นเห็นได้ชัดว่าเปิดในปี 2010 อ้างว่ายังปรากฏตัวในการสำรวจครั้งนี้ในปี 2007 และในหน้าวิกิพีเดียสาขาสลายตัว ตรงกันข้ามปัญหาก็อ้าง NP-ยาก (ไม่มีหลักฐานการอ้างอิง) ในรุ่นก่อนหน้านี้จากการสำรวจดังกล่าวก่อนหน้า แต่ผมถือว่าเป็นข้อผิดพลาด มันยังคงเปิดให้กำหนดความซับซ้อนของปัญหาให้และกราฟระนาบของการกำหนดมี treewidth ? ถ้าเป็นเช่นนั้นสิ่งนี้ถูกอ้างสิทธิ์ในเอกสารล่าสุดหรือไม่? ทราบผลบางส่วนหรือไม่ ถ้าไม่ใช่ใครจะแก้ไขได้ G G ≤ kk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGGGG≤k≤k\leq k

23 reference-request  graph-theory  np-hardness  open-problem  treewidth