คำถามติดแท็ก lower-bounds

ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ได้ให้ตัวอย่างของ "ราคาของนามธรรม" ทั้งสองที่โดดเด่นที่สุดสำหรับการกำจัดแบบเกาส์และการเรียงลำดับ กล่าวคือ: เป็นที่ทราบกันดีว่าการกำจัดแบบเกาส์นั้นดีที่สุดสำหรับการคำนวณคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ถ้าคุณ จำกัด การทำงานในแถวและคอลัมน์โดยรวม [1] เห็นได้ชัดว่าอัลกอริธึมของ Strassen ไม่ปฏิบัติตามข้อ จำกัด ดังกล่าวและดีกว่าการกำจัดแบบเกาส์ ในการเรียงลำดับถ้าคุณปฏิบัติต่อองค์ประกอบของรายการเป็นกล่องสีดำที่สามารถนำมาเปรียบเทียบและย้ายไปรอบ ๆ แล้วเรามีมาตรฐานข้อมูลตามทฤษฎีขอบเขตล่าง ทว่าฟิวชั่นก็เอาชนะต้นไม้นี้ได้เท่าที่ฉันเข้าใจมันการใช้การคูณอย่างชาญฉลาดnlognnlog⁡nn \log n มีตัวอย่างอื่น ๆ เกี่ยวกับราคาของสิ่งที่เป็นนามธรรมหรือไม่ เพื่อเป็นทางการมากขึ้นฉันกำลังมองหาตัวอย่างที่ขอบเขตล่างเป็นที่รู้จักโดยไม่มีเงื่อนไขในการคำนวณแบบจำลองที่อ่อนแอ แต่เป็นที่รู้กันว่าถูกละเมิดในรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่า นอกจากนี้จุดอ่อนของแบบจำลองที่อ่อนแอควรมาในรูปแบบของนามธรรมซึ่งเป็นที่ยอมรับว่าเป็นความคิดส่วนตัว ตัวอย่างเช่นฉันไม่พิจารณาข้อ จำกัด ของวงจรโมโนโทนที่เป็นนามธรรม หวังว่าตัวอย่างสองตัวอย่างข้างต้นจะทำให้ชัดเจนในสิ่งที่ฉันกำลังมองหา [1] KLYUYEV, VV และ NI KOKOVKIN-SHcHERBAK: ในการลดจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สำหรับการแก้ปัญหาของระบบพีชคณิตเชิงเส้นของสมการ แปลโดย GI TEE: รายงานทางเทคนิค CS 24 มิถุนายน t4, t965 ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด

112 ds.algorithms  reference-request  big-list  lower-bounds 

เมื่อออกแบบอัลกอริทึมสำหรับปัญหาใหม่ถ้าฉันไม่พบอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามหลังจากผ่านไประยะหนึ่งฉันอาจลองพิสูจน์ว่ามันเป็น NP-hard แทน หากฉันประสบความสำเร็จฉันได้อธิบายว่าทำไมฉันจึงไม่พบอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนาม ไม่ใช่ที่ฉันรู้แน่ ๆ ว่า P! = NP มันแค่นี้ดีที่สุดที่สามารถทำได้ด้วยความรู้ปัจจุบันและแน่นอนฉันทามติคือ P! = NP ในทำนองเดียวกันบอกฉันได้พบวิธีพหุนามเวลาสำหรับปัญหาบางอย่าง แต่เวลาทำงานเป็น2) หลังจากความพยายามอย่างมากฉันก็ไม่มีความก้าวหน้าในการปรับปรุงสิ่งนี้ ดังนั้นฉันอาจลองพิสูจน์ว่ามันเป็น 3SUM-hard แทน นี่เป็นเรื่องปกติที่น่าพอใจไม่ใช่เพราะความเชื่อสูงสุดของฉันที่ 3SUM ต้องใช้เวลาแต่เพราะนี่คือสถานะปัจจุบันของศิลปะและคนฉลาดจำนวนมากพยายามปรับปรุง มันและล้มเหลว ดังนั้นมันไม่ใช่ความผิดของฉันที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถทำได้Θ ( n 2 )O(n2)O(n2)O(n^2)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2) ในกรณีเช่นนี้สิ่งที่ดีที่สุดที่เราทำได้คือผลความแข็งแทนขอบเขตล่างจริงเนื่องจากเราไม่มีขอบเขตต่ำสุดเชิงเส้นสำหรับเครื่องทัวริงสำหรับปัญหาใน NP มีชุดของปัญหาที่สามารถใช้กับพหุนามวิ่งทุกครั้งหรือไม่ ตัวอย่างเช่นถ้าฉันต้องการพิสูจน์ว่ามันไม่น่าเป็นไปได้ว่าปัญหาบางอย่างมีอัลกอริทึมที่ดีกว่ามีปัญหา X บ้างไหมที่ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็น X-hard และปล่อยให้เป็นแบบนั้น?O(n7)O(n7)O(n^7) อัปเดต : คำถามนี้ขอมาสำหรับครอบครัวที่มีปัญหา เนื่องจากมีปัญหาหลายครอบครัวและคำถามนี้ได้รับตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของปัญหาที่ยากของแต่ละบุคคลฉันกำลังผ่อนคลายคำถามกับปัญหาใด ๆ ที่สามารถใช้สำหรับผลลัพธ์ความแข็งแบบพหุนามเวลา ฉันยังเพิ่มความโปรดปรานให้กับคำถามนี้เพื่อส่งเสริมคำตอบเพิ่มเติม

58 cc.complexity-theory  lower-bounds  conditional-results 

ขอบเขตล่างที่ดีที่สุดในปัจจุบันสำหรับเวลาและความลึกของวงจรสำหรับ 3SAT คืออะไร

46 cc.complexity-theory  lower-bounds  sat 

ในปี 1980 Razborov มีชื่อเสียงแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียวที่ชัดเจน (เช่นฟังก์ชั่น CLIQUE) ที่ต้องการประตู AND และ OR จำนวนมากเพื่อการคำนวณ อย่างไรก็ตามพื้นฐาน {AND, OR} เหนือโดเมนบูลีน {0,1} เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของชุดเกทที่น่าสนใจซึ่งขาดความเป็นสากล สิ่งนี้นำไปสู่คำถามของฉัน: มีชุดประตูอื่น ๆ ที่น่าสนใจแตกต่างไปจากประตูโมโนโทนซึ่งเป็นที่รู้จักกันในขอบเขตล่างที่อธิบายขนาดของวงจร (ไม่มีความลึกหรือข้อ จำกัด อื่น ๆ ในวงจร)? ถ้าไม่มีมีชุดประตูอื่น ๆ ที่มีความน่าเชื่อถือสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่านั้น --- ขอบเขตที่ไม่จำเป็นต้องทำลายกำแพง Natural Proofs ในขณะที่ผลการทดสอบเสียงโมโนโทนวงจรเดียวของ Razborov ไม่? หากชุดประตูมีอยู่แน่นอนว่ามันจะเป็นตัวอักษร k-ary สำหรับk≥3 เหตุผลก็คือเพราะตัวอักษรเลขฐานสองนั้น (1) ประตูเสียงเดียว ({AND, OR}) (2) ประตูเชิงเส้น ({NOT, XOR}) และ (3) …

40 lower-bounds  circuit-complexity  circuit-families 

ให้PRIMES ( การทดสอบเบื้องต้น ) เป็นปัญหา: รับจำนวนธรรมชาติเป็นnจำนวนเฉพาะ?nnnnnn ให้แฟจะมีปัญหา: เมื่อรับตัวเลขธรรมชาติ , mกับ1 ≤ m ≤ n , nมีปัจจัยdกับ1 &lt; d &lt; mหรือไม่?nnnmmm1≤m≤n1≤m≤n1 \leq m \leq nnnnddd1&lt;d&lt;m1&lt;d&lt;m1 < d < m เป็นที่รู้จักกันดีว่า PRIMES เป็น P-hard หรือไม่? ปัจจัยเกี่ยวกับปัจจัย ขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับปัญหาเหล่านี้คืออะไร

39 cc.complexity-theory  lower-bounds  factoring  primes  p-hardness 

ความโลภเนื่องจากการขาดคำพูดที่ดีกว่าเป็นสิ่งที่ดี หนึ่งในกระบวนทัศน์อัลกอริทึมแรกที่สอนในขั้นตอนวิธีการเบื้องต้นหลักสูตรเป็นวิธีโลภ วิธีโลภส่งผลให้เกิดอัลกอริธึมที่ง่ายและเข้าใจง่ายสำหรับปัญหาหลายอย่างในพีน่าสนใจยิ่งขึ้นสำหรับปัญหา NP บางตัวโลภที่เห็นได้ชัดและเป็นธรรมชาติ / อัลกอริธึมโลภท้องถิ่นส่งผลให้ ตัวอย่างคลาสสิกเป็นชุดปัญหาปก อัลกอริทึมโลภธรรมชาติให้ปัจจัยการประมาณ O (ln n) ซึ่งเหมาะสมที่สุดยกเว้น P = NP ตั้งชื่ออัลกอริทึมโลภ / ท้องถิ่นตามธรรมชาติสำหรับปัญหา NP-hard ที่เหมาะสมที่สุดภายใต้สมมติฐานเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนที่เหมาะสม

38 cc.complexity-theory  lower-bounds  approximation-algorithms  greedy-algorithms  approximation-hardness 

ไม่กี่ปีที่ผ่านมามีงานบางส่วนของโจเอลฟรีดแมนที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตล่างของวงจรโฮโมโลจี้เพื่อ Grothendieck (ดูเอกสาร: http://arxiv.org/abs/cs/0512008 , http://arxiv.org/abs/cs/0604024 ) แนวความคิดนี้ทำให้เกิดความเข้าใจใหม่ ๆ เกี่ยวกับความซับซ้อนของบูลีนหรือว่ามันยังคงเป็นความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์หรือไม่?

33 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions 

ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนและขอให้คิดเกี่ยวกับ F เป็นฟังก์ชันจากจะ\} ในภาษานี้การขยายฟูริเยร์ของ f เป็นเพียงการขยายตัวของ f ในรูปของ monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ ( monomials เหล่านี้เป็นพื้นฐานของพื้นที่ของฟังก์ชันจริงใน . ผลรวมของกำลังสองของสัมประสิทธิ์คือดังนั้นนำไปสู่การแจกแจงความน่าจะเป็นบน monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ เราเรียกการกระจายตัวนี้ว่าการกระจายตัวแบบ Fฉฉf{ - 1 , 1 }n{-1,1}n\{-1,1\}^n{ - 1 , 1 }{-1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{ - 1 , 1 }n{-1,1}n\{-1,1\}^n111ฉฉf ถ้า f สามารถอธิบายได้ด้วยวงจรเชิงลึกที่มีขอบเขตของขนาดพหุนามเราก็รู้จากทฤษฎีของ Linial, Mansour และ Nisan ว่าการแจกแจงแบบ F นั้นเน้นไปที่ monomials ของขนาดจนถึงน้ำหนักน้อยมาก สิ่งนี้ได้มาจาก Hastad …

29 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

ความซับซ้อนของวงจรการพัฒนาที่ผ่านมาผลลัพธ์ที่ต่ำกว่าขอบเขตของ Ryan Williams มีเทคนิคการพิสูจน์ที่ใช้ผลการทดสอบขอบเขตบนเพื่อพิสูจน์ขอบเขตความซับซ้อนที่ต่ำกว่า Suresh Venkat ในคำตอบของเขาสำหรับคำถามนี้มีผลตอบโต้เชิงวิทยาศาสตร์วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีหรือไม่? ให้สองตัวอย่างของการสร้างขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยการพิสูจน์ขอบเขตบน อะไรคือผลลัพธ์ที่น่าสนใจอื่น ๆ สำหรับการพิสูจน์ขอบเขตล่างที่ซับซ้อนซึ่งได้มาจากการพิสูจน์ขอบเขตบนความซับซ้อน? NP⊈P/polyNP⊈P/polyNP \not\subseteq P/polyP≠NPP≠NPP \ne NP

29 cc.complexity-theory  lower-bounds 

ฉันต้องการคำนวณค่ามัธยฐานที่ทำงานอยู่: การป้อนข้อมูล: nnn ,เวกเตอร์x_n)k kk( x 1 , x 2 , … , x n )(x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \dotsc, x_n) เอาท์พุท:เวกเตอร์ที่เป็นค่ามัธยฐานของK-1})( ปี1 , ปี2 , ... , Y n - k + 1 ) (y1,y2,…,yn−k+1)(y_1, y_2, \dotsc, y_{n-k+1})Y ฉันyiy_i ( x ฉัน , x ฉัน+ 1 , ... , x ฉัน+ …

25 ds.algorithms  ds.data-structures  lower-bounds 

คำถาม: ขนาดของสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนใน AC 0คืออะไร มีฟังก์ชั่นที่ชัดเจนที่มีขอบเขตล่างΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)หรือไม่? พื้นหลัง: เช่นเดียวกับขอบเขตที่ต่ำที่สุดขนาดขอบเขตสูตรที่ต่ำกว่านั้นหาได้ยาก ฉันสนใจที่จะลดขนาดของสูตรให้ต่ำกว่าชุดประตูสากลมาตรฐาน {AND, OR, NOT} ขนาดขอบสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตล่างสำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนเหนือชุดเกตนี้คือΩ(n3−o(1))Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดโดย Andreev นี้ถูกผูกไว้ถูกนำมาแสดงโดยHåstadปรับปรุง Andreev ของผูกพันล่างของΩ(n2.5−o(1))Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)}) ) ลดลงอย่างชัดเจนอีกประการหนึ่งที่ถูกผูกไว้เป็น Khrapchenko ของΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2)ขอบเขตล่างสำหรับการทำงานของความเท่าเทียมกัน แต่ทั้งสองฟังก์ชั่นไม่ได้อยู่ใน AC 0 ฉันสงสัยว่าถ้าเรารู้ฟังก์ชันที่ชัดเจนใน AC 0 ที่มีขอบเขตล่างเป็นกำลังสอง (หรือดีกว่า) ขอบเขตที่ดีที่สุดที่ฉันทราบคือขอบเขตล่างของΩ(n2/logn)Ω(n2/log⁡n)\Omega(n^2/\log n)สำหรับฟังก์ชันความแตกต่างขององค์ประกอบดังที่แสดงโดย Nechiporuk โปรดทราบว่าการทำงานขององค์ประกอบที่แตกต่างอยู่ใน AC 0ดังนั้นฉันกำลังมองหาที่ต่ำมุ่งชัดเจน AC 0ฟังก์ชั่นที่ดีกว่าΩ(n2/logn)Ω(n2/log⁡n)\Omega(n^2/\log n)โดยเฉพาะอย่างยิ่งΩ(n2)Ω(n2)\Omega(n^2) ) อ่านเพิ่มเติม: ทรัพยากรที่ยอดเยี่ยมในหัวข้อคือ "Boolean Function Complexity: Advance and Frontiers" โดย Stasys Jukna ร่างของหนังสือเล่มนี้สามารถใช้ได้ฟรีบนเว็บไซต์ของเขา

25 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  formulas 

เป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาใด ๆ ที่ decidable ใน logspace กำหนด ( ) ทำงานในเวลาพหุนามมากที่สุด ( ) มีความมั่งคั่งของการเรียนซับซ้อนระหว่างเป็นและPตัวอย่าง ได้แก่ , , , , ,ฉัน เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าPLLLPPPLLLPPPNLNLNLLogCFLLogCFLLogCFLNCiNCiNC^iC ฉัน S C ฉัน L ≠ PSACiSACiSAC^iACiACiAC^iSCiSCiSC^iL≠PL≠PL \neq P ในตอนหนึ่งของฉันบล็อกโพสต์ที่ผมกล่าวถึงสองวิธี (พร้อมกับคาดเดาที่สอดคล้องกัน) ที่มีต่อการพิสูจน์P วิธีการทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กับโปรแกรมการแยกสาขาและห่างกัน 20 ปี !! จะมีวิธีการอื่น ๆ และ / หรือการคาดเดาไปทางแยกจาก (หรือ) แยกชั้นเรียนกลางระหว่างและPL≠PL≠PL \neq PLLLPPPLLLPPP

24 cc.complexity-theory  lower-bounds  space-bounded 

พหุนามคือการฉายภาพเดียวของพหุนามถ้า = polyและมีการกำหนด เช่นว่า(y_m)) นั่นคือมันเป็นไปได้ที่จะเข้ามาแทนที่ตัวแปรแต่ละของโดยตัวแปรหรือคงที่หรือเพื่อให้ส่งผลให้สอดคล้องกับพหุนามฉ g ( y 1 , … , y m ) m ( n ) π : { y 1 , … , y m } → { x 1 , … , x n , 0 , 1 } f ( x 1 , …

23 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits 

ฉันรู้ว่าฟังก์ชั่น OR บนnnnตัวแปรx 1 , … , x nx1,…,xnx_1,\ldots, x_nสามารถแทนได้อย่างแม่นยำโดยพหุนามp ( x 1 , … , x n )p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)เช่น: p ( x 1 , … , x n ) = 1 - Π n ฉัน= 1 ( 1 - x ผม)p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)ซึ่งเป็นปริญญาnnn แต่วิธีการที่ฉันสามารถแสดงสิ่งที่ดูเหมือนชัดเจนว่าถ้าPppเป็นพหุนามที่แสดงถึงหรือฟังก์ชั่นตรง (เพื่อ∀ x ∈ { …

23 cc.complexity-theory  co.combinatorics  lower-bounds  polynomials 

ต่อไปนี้บนจากคำถามก่อนหน้านี้ , สิ่งที่เป็นพื้นที่ปัจจุบันที่ดีที่สุดในขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับ SAT? ด้วยขอบเขตที่ต่ำกว่าขอบเขตฉันหมายถึงจำนวนของเซลล์เวิร์คเทปที่ใช้โดยเครื่องทัวริงซึ่งใช้ตัวอักษรไบนารีเวิร์คเทป ไม่สามารถหลีกเลี่ยงคำเติมแต่งอย่างต่อเนื่องเนื่องจาก TM สามารถใช้สถานะภายในเพื่อจำลองเซลล์เวิร์กเทปจำนวนคงที่ อย่างไรก็ตามฉันสนใจที่จะควบคุมค่าคงที่แบบหลายค่าซึ่งมักถูกปล่อยทิ้งไว้โดยปริยาย: การตั้งค่าแบบปกติอนุญาตให้มีการบีบอัดค่าคงที่โดยพลการผ่านตัวอักษรขนาดใหญ่ดังนั้นค่าคงที่แบบหลายค่าจะไม่เกี่ยวข้องกันที่นั่น ตัวอย่างเช่น SAT ต้องการพื้นที่มากกว่า ; ถ้าไม่ใช่จากนั้นพื้นที่บนขอบนี้จะนำไปสู่เวลาบนขอบเขตของโดยการจำลองและด้วยเหตุนี้จึงรวมช่องว่างด้านล่างเวลาสำหรับ SAT จะ ถูกละเมิด (ดูคำถามที่เชื่อมโยง) นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะปรับปรุงอาร์กิวเมนต์นี้เพื่อยืนยันว่า SAT ต้องการพื้นที่อย่างน้อยสำหรับบางค่าบวกเล็ก ๆที่มีค่าโดยที่คือเลขชี้กำลังคงที่ในการจำลองพื้นที่ที่มีขอบเขต TM โดย TM ที่ จำกัด เวลาn 1 + o ( 1 ) n 1.801 + o ( 1 ) δ log n + c δ 0.801 / …

22 cc.complexity-theory  sat  lower-bounds  space-bounded  space-complexity