คำถามติดแท็ก lower-bounds

ในแง่ของช่องว่างล่าสุดที่ความลึก -3ผลลัพธ์ (ซึ่งเหนือสิ่งอื่นใดผลผลิต2n√logn2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}ลึก 3 วงจรทางคณิตศาสตร์สำหรับn×nn×nn \times n ปัจจัยมากกว่าCC\mathbb{C}) ฉันมีคำถามต่อไปนี้: Grigoriev และ Karpinskiพิสูจน์แล้วว่าขอบเขตล่างสำหรับการใด ๆ ลึก 3 คอมพิวเตอร์วงจรเลขคณิต ตัวกำหนดของเมทริกซ์บนฟิลด์ จำกัด (ซึ่งฉันเดาว่าจะเป็นแบบถาวร) สูตร Ryser ของสำหรับการคำนวณถาวรให้ลึก 3 วงจรเลขคณิตของขนาด(n)} นี่แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับวงจรความลึก -3 สำหรับการถาวรเหนือทุ่ง จำกัด ฉันมีสองคำถาม: n × n O ( n 2 2 n ) = 2 O ( n )2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)} …

22 circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant 

นอกจากนี้(กำหนด) การสื่อสารความซับซ้อน ของความสัมพันธ์อีกมาตรการพื้นฐานสำหรับจำนวนของการสื่อสารที่จำเป็นเป็นจำนวนพาร์ทิชันโปรโตคอล(R) ความสัมพันธ์ระหว่างสองมาตรการนี้เป็นที่ทราบกันดีถึงปัจจัยคงที่ เอกสารโดย Kushilevitz และ Nisan (1997) ให้R p p ( R )c c ( R )cc(R)cc(R)RRR p p ( R )pp(R)pp(R) คค( R ) / 3 ≤ บันทึก2( พีพี( R ) ) ≤ คค( R )cc(R)/3≤log2⁡(pp(R))≤cc(R).cc(R)/3 \le \log_2(pp(R)) \le cc(R). เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันที่สองมันเป็นเรื่องง่ายที่จะให้ (ครอบครัวไม่มีที่สิ้นสุดของ) ความสัมพันธ์กับ(R)log 2 ( p p …

22 fl.formal-languages  lower-bounds  open-problem  regular-expressions  communication-complexity 

ประโยคที่ถูกต้องของชื่อนี้เกิดจากอานันท์คุลคาร์นี (ผู้เสนอเว็บไซต์นี้ถูกสร้างขึ้น) คำถามนี้ถูกถามเป็นคำถามตัวอย่าง แต่ฉันอยากรู้อยากเห็นอย่างบ้าคลั่ง ฉันรู้น้อยมากเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและในความเป็นจริงแล้วมีเพียงความเข้าใจระดับปริญญาตรีของอุปสรรคที่เล่นในคำถาม P / โพลีกับ NP ปัญหา (ไม่ใช่ relativizing, ไม่ใช่พีชคณิตน่าจะไม่ใช่หลักฐานธรรมชาติ) . อะไรที่ทำให้เรขาคณิตเชิงพีชคณิตดูเหมือนว่ามันจะผ่านสิ่งกีดขวางเหล่านี้ได้? มันเป็นเพียงสัญชาตญาณจากผู้เชี่ยวชาญหรือเรามีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อว่าวิธีการนั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าเดิมหรือไม่? วิธีนี้มีผลลัพธ์ที่อ่อนแอกว่าสามารถบรรลุ?

22 cc.complexity-theory  np-hardness  lower-bounds  gct  barriers 

การใช้อัลกอริธึมมองล่วงหน้าเราสามารถคำนวณการเพิ่มโดยใช้ความลึกขนาดพหุนาม 5 (หรือ 4?)วงจรตระกูล เป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดความลึก เราสามารถคำนวณการบวกเลขฐานสองสองตัวโดยใช้ตระกูลวงจรขนาดพหุนามที่มีความลึกน้อยกว่าที่ได้จากการหาอัลกอริธึมล่วงหน้าได้ไหม?C0AC0AC^0 มีขอบเขตพหุนามต่ำสุดสำหรับขนาดของวงจรตระกูลการคำนวณเพิ่มเติมที่เป็น 2 หรือ 3 หรือไม่? dC0dACd0AC^0_dddd ตามความลึกฉันหมายถึงความลึกของการสลับ

21 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  upper-bounds 

คำนำ ระบบพิสูจน์เชิงโต้ตอบและโปรโตคอล Arthur-Merlin ได้รับการแนะนำโดยGoldwasser, Micali และ RackoffและBabaiย้อนกลับไปในปี 1985 ตอนแรกก็คิดว่าอดีตนั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าสมัยก่อน แต่Goldwasser และ Sipserแสดงให้เห็นว่าพวกเขามีพลังเดียวกัน ( ด้วยความเคารพต่อการรับรู้ภาษา) ดังนั้นในบทความนี้ฉันจะใช้แนวคิดทั้งสองสลับกันได้ ให้เป็นคลาสของภาษาที่ยอมรับระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบด้วยรอบ Babai พิสูจน์ให้เห็นว่า P (ผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กันได้)k ฉันP [ O ( 1 ) ] ⊆ เธP 2ผมP[ k ]ผมP[k]IP[k]kkkผมP[ O ( 1) ) ] ⊆เธP2ผมP[O(1)]⊆Π2PIP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P ตอนแรกไม่ทราบว่าจำนวนรอบที่ไม่ จำกัด สามารถเพิ่มพลังของ IP ได้หรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันก็แสดงให้เห็นว่ามีความขัดแย้ง relativizations: Fortnow และ Sipserแสดงให้เห็นว่าบาง …

21 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity 

เรารู้มากเกี่ยวกับข้อ จำกัด ของวงจรเชิงลึก (ขนาดพหุนาม) เนื่องจาก (ขนาดพหุนาม) สูตรความลึกคงที่จึงเป็นรูปแบบการคำนวณที่ จำกัด ยิ่งขึ้นปัญหาทั้งหมดที่ทราบว่าไม่อยู่ใน AC 0จึงไม่สามารถคำนวณได้จากสูตรเชิงลึกคงที่ อย่างไรก็ตามเนื่องจากเป็นรุ่นที่ง่ายกว่าฉันจึงคาดว่าจะมีปัญหามากกว่าที่จะไม่สามารถคำนวณได้ในโมเดลนี้ มีการศึกษาเรื่องนี้หรือไม่? (ฉันเดาว่ามันเป็นไปได้ แต่ฉันอาจไม่ได้ใช้คำค้นหาที่เหมาะสม) โดยเฉพาะฉันสนใจในคำถามต่อไปนี้: มีฟังก์ชัน f ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยวงจรAC 0ของขนาด S แต่ต้องการสูตรความลึกคงที่ขนาดอย่างน้อยกำลังสองใน S หรือซุปเปอร์พหุนามใน S? อะไรคือผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีที่สุดในประเภทนี้? ในกรณีที่มันไม่ชัดเจนว่าฉันหมายถึงอะไรโดยสูตรเชิงลึกคงที่ฉันหมายถึงสูตรที่ถ้าคุณเขียนเป็นต้นไม้ (โดยมีโหนดภายในเป็นและ / หรือ / ไม่มีประตูและใบไม้เป็นอินพุต) จากนั้นต้นไม้นี้มีค่าคงที่ ความสูง สูตรที่มีความลึกคงที่เท่ากับวงจรความลึกคงที่ซึ่งประตูที่ไม่ใช่อินพุตทั้งหมดจะมี fanout 1

21 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds 

สมมติว่ากราฟมีจุดยอดแสดงเป็นสตรีมของขอบแต่อนุญาตให้ผ่านได้หลายครั้งผ่านกระแสn เมตรGGGnnnม.mm Monika Rauch Henzinger, Prabhakar Raghavan และ Sridar Rajagopalanตั้งข้อสังเกตว่ามีความจำเป็นที่จะต้องพิจารณาว่ามีช่องว่างระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดในหรือไม่ถ้าอนุญาตผ่านข้อมูล (ดูที่เวอร์ชันรายงานทางเทคนิคด้วย) อย่างไรก็ตามจะไม่มีการจัดทำอัลกอริทึมเพื่อให้บรรลุข้อผูกพันนี้ ฉันคิดว่าอัลกอริทึมที่ดีที่สุดจริงจะใช้เวลาพื้นที่ในแบบจำลองคอมพิวเตอร์ที่สมจริงตั้งแต่หนึ่งที่มีการแยกแยะความแตกต่างจุดที่แตกต่างกันหากไม่สามารถหน่วยความจำดัชนีโดยใช้ตัวชี้ขนาดคงที่G k O ( ( nΩ(n/k)Ω(n/k)\Omega(n/k)GGGkkknO((nlogn)/k)O((nlogn)/k)O((n\, \log\, n)/k)nnn เราจะตัดสินใจเลือกการเชื่อมต่อกราฟที่มีผ่านโดยใช้พื้นที่อย่างไรO ( ( nkkkO((nlogn)/k)O((nlogn)/k)O((n\, \log\, n)/k) หากอนุญาตให้ส่งผ่านได้เพียงครั้งเดียวข้อมูลอินพุตสามารถจัดเก็บเป็นพาร์ติชันของชุดจุดยอดรวมชุดถ้าขอบถูกมองเห็นระหว่างจุดยอดในชุดต่าง ๆ ที่สอง สิ่งนี้ต้องมีพื้นที่มากที่สุดอย่างชัดเจน คำถามของฉันเกี่ยวกับ : เราจะใช้บัตรผ่านเพิ่มเติมเพื่อลดพื้นที่ที่ต้องการได้อย่างไรk > 1O(nlogn)O(nlogn)O(n\, \log\, n)k>1k>1k > 1 (เพื่อหลีกเลี่ยงเรื่องไร้สาระเป็นพารามิเตอร์ที่ไม่สามารถ จำกัด ขอบเขตนิรนัยได้โดยค่าคงที่และขอบเขตของพื้นที่เป็นนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของทั้งและ )n kkkknnnkkk อัปเดต: แม้แต่สำหรับมันจะมีประโยชน์มากที่จะมีวิธีเก็บเฉพาะจุดยอดหรือมีขอบเขตต่ำกว่าที่แข็งแกร่งกว่าสำหรับค่าคงที่โดยไม่คำนึงถึง ?n / 2 c …

20 reference-request  graph-algorithms  ds.data-structures  lower-bounds  data-streams 

[หมายเหตุ: ฉันเชื่อว่าคำถามนี้จะไม่ถูกต้องตามความถูกต้องหรือความไม่ถูกต้องของกระดาษของ Deolalikar] ในบล็อกของ Scott Aaronson Shtetl Optimizedในการสนทนาเกี่ยวกับความพยายามล่าสุดของ Deolalikar ใน P vs NP, Leonid Gurvits ได้แสดงความคิดเห็นต่อไปนี้: ฉันพยายามที่จะเข้าใจ / ปรับเปลี่ยนวิธีการและนี่คือความพยายามที่เรียบง่ายของฉัน: การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องในกระดาษสามารถดูได้เป็นเทนเซอร์หรือพหุนามแบบหลายชั้นพิเศษมาก สมมติฐาน“ P = NP” ให้ขอบเขต (พหุนาม) บนขอบเขตของเมตริกซ์ และในที่สุดเมื่อใช้ผลลัพธ์ความน่าจะเป็นที่รู้จักเขาได้รับการไม่จับคู่ (เลขชี้กำลัง?) ที่ต่ำกว่าในอันดับเดียวกัน ถ้าฉันพูดถูกแล้วตัวนี้ก็เป็นคนที่ฉลาดมาก ๆ ในความรู้สึกที่ดีในระดับประถมศึกษาวิธีที่จะผลักดันวิธีพีชคณิตเรขาคณิต แม้จะมีข้อสงสัย / ข้อบกพร่องที่เป็นที่รู้จักในการพิสูจน์ของ Deolalikar ฉันอยากรู้: การแจกแจงที่กล่าวถึงในบทความของ Deolalikar สามารถพิจารณาเป็นเทนเซอร์ได้อย่างไรและงบของผลลัพธ์ของเขา (โดยไม่คำนึงถึงความถูกต้องของพวกเขา) จะแปลเป็นคำแถลงเกี่ยวกับ

20 cc.complexity-theory  lower-bounds  tensor-rank 

USTCONN เป็นปัญหาที่ต้องตัดสินใจว่าจะมีเส้นทางจากจุดสุดยอดแหล่งที่มาเป้าหมายยอดในกราฟที่เหล่านี้จะได้รับทั้งหมดเป็นส่วนหนึ่งของการป้อนข้อมูลt GssstttGGG Omer Reingold พบว่า USTCONN อยู่ในL (ดอย: 10.1145 / 1391289.1391291 ) การพิสูจน์สร้างตัวแผ่ระดับคงที่ด้วยผลิตภัณฑ์ซิกแซก เครื่องมือขยายระดับคงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางลอการิทึมและหนึ่งสามารถตรวจสอบเส้นทางทั้งหมดที่เป็นไปได้โดยใช้เครื่องหมายขนาดลอการิทึมจำนวนคงที่ ผลลัพธ์ของ Reingold ทำให้เกิดขอบเขตลอการิทึมบนความซับซ้อนของพื้นที่ของ USTCONN การแก้ไขความซับซ้อนของพื้นที่ "จนถึงปัจจัยคงที่" ตามเอกสาร ฉันอยากรู้เกี่ยวกับขอบเขตล่างที่เกี่ยวข้องซึ่งไม่ได้กล่าวถึงในที่อื่น เราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าต้องใช้พื้นที่ลอการิทึมในการตัดสินใจ USTCONN ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด? แก้ไข:แก้ไขการแทนค่าอินพุตให้เป็น adjacency matrix ของกราฟกำกับทิศทางแบบง่าย -vertex แบบสมมาตรพื้นฐานโดยมีแถวที่อยู่ในรายการติดต่อกันเพื่อสร้างสตริงบิตN N N 2N×NN×NN \times NNNNN2N2N^2 Lewis และ Papadimitriou แสดงให้เห็น (ดอย: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ) USTCONN นั้นเป็น …

19 cc.complexity-theory  lower-bounds  reductions  space-bounded 

พื้นหลัง: พิจารณาถึงรูปแบบสองฝ่ายปกติของความซับซ้อนในการสื่อสารโดยที่ Alice และ Bob ได้รับ bit stringsและและต้องคำนวณฟังก์ชันบูลีนที่\}nnnxxxyyyf : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }f(x,y)f(x,y)f(x,y)f:{0,1}n×{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n×{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\} เรากำหนดปริมาณต่อไปนี้: D(f)D(f)D(f) (ความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้นโดย ): จำนวนบิตต่ำสุดที่อลิซและบ๊อบจำเป็นต้องสื่อสารเพื่อคำนวณอย่างไม่แน่นอนf ( x , y )ffff(x,y)f(x,y)f(x,y) Pn(f)Pn(f)Pn(f) (หมายเลขพาร์ติชันของ ): ลอการิทึม (ฐาน 2) ที่เล็กที่สุดของสี่เหลี่ยมสีเดียวในพาร์ติชัน (หรือหน้าปกแยก) …

19 lower-bounds  communication-complexity 

ความเท่าเทียมกันและC0AC0AC^0เป็นเหมือนฝาแฝดที่แยกกันไม่ออก หรือดังนั้นจึงดูเหมือนว่าในช่วง 30 ปีที่ผ่านมา ในแง่ของผลลัพธ์ของไรอันจะมีการต่ออายุความสนใจในชั้นเรียนขนาดเล็ก Furst Saxe Sipser ถึง Yao to Hastad ล้วนเป็นข้อ จำกัด และข้อ จำกัด แบบสุ่ม Razborov / Smolensky เป็นพหุนามโดยประมาณที่มีพาริตี้ (ตกลง, mod gates) Aspnes et al ใช้ระดับที่อ่อนแอในความเท่าเทียมกัน นอกจากนี้ Allender Hertrampf และ Beigel Tarui กำลังใช้ Toda ในชั้นเรียนขนาดเล็ก และ Razborov / Beame ด้วยต้นไม้ตัดสินใจ ทั้งหมดนี้ตกลงไปในตะกร้าพาริตี้ 1) สิ่งที่เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นจากธรรมชาติอื่น ๆ (นอกเหนือจากความเท่าเทียมกัน) ที่สามารถแสดงให้เห็นได้โดยตรงไม่ว่าจะอยู่ใน ?C0AC0AC^0 2) …

19 cc.complexity-theory  complexity-classes  lower-bounds  circuit-complexity 

พิจารณาภาษาL k - วันที่ฉันs T ฉันn คทีLk−distinctL_{k-distinct}ประกอบด้วยทั้งหมดkkk -letter สตริงมากกว่าΣΣ\Sigmaเช่นว่าไม่มีตัวอักษรสองตัวมีค่าเท่ากัน: L k - วันที่ฉันs T ฉันn คที : = { W = σ 1 σ 2 . . σ k | ∀ ฉัน∈ [ k ] : σ ฉัน ∈ Σ และ ∀ เจ≠ ฉัน: σ เจ ≠ σ ฉัน } …

18 automata-theory  lower-bounds  regular-language  communication-complexity  streaming 

เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบอัลกอริธึมว่าจำนวนที่คำนวณได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม? ในคำอื่น ๆ ก็จะมีความเป็นไปได้สำหรับห้องสมุดที่ใช้คำนวณตัวเลขเพื่อให้ฟังก์ชั่นisIntegerหรือisRational? ฉันเดาว่ามันเป็นไปไม่ได้และนี่ก็เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบว่าตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะพิสูจน์มัน แก้ไข: จำนวนที่คำนวณได้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่สามารถส่งกลับค่าประมาณด้วยเหตุผลด้วยความแม่นยำ :สำหรับใด ๆ0 รับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทดสอบว่าหรือ ?xxxfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

แก้ไข (22 ส.ค. 2554): ฉันลดความซับซ้อนของคำถามต่อไปและตั้งคำถามให้มากขึ้น บางทีคำถามที่ง่ายกว่านี้อาจมีคำตอบที่ง่าย ฉันจะหยุดทุกส่วนของคำถามเดิมที่ไม่เกี่ยวข้องอีกต่อไป (ขอขอบคุณ Stasys Jukna และ Ryan O'Donnell ที่ตอบคำถามต้นฉบับบางส่วน!) พื้นหลัง: ด้วยวงจรAC 0 ที่มีความลึก k และขนาด S, มีวงจรAC 0อีกอันที่มีฟังก์ชั่นเดียวกันกับความลึก k และขนาดที่วงจรใหม่มี fanout = 1 สำหรับประตูทุกบาน กล่าวอีกนัยหนึ่งวงจรดูเหมือนต้นไม้ (ยกเว้นที่อินพุตเนื่องจากอินพุตอาจ fanout มากกว่าหนึ่งประตู) วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการทำซ้ำประตูทั้งหมดที่มี fanout> 1 จนกว่าประตูทั้งหมดจะมี fanout = 1O(Sk)O(Sk)O(S^k) แต่นี่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการแปลง AC 0 circuit เป็น AC 0 circuits โดยใช้ fanout …

18 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity 

ฉันคิดว่าทฤษฎีบทลำดับชั้นขนาดสำหรับความซับซ้อนของวงจรอาจเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญในพื้นที่ มันเป็นวิธีที่น่าสนใจในการแยกชั้นเรียนหรือไม่? แรงจูงใจของคำถามคือเราต้องพูด มีฟังก์ชั่นบางอย่างที่ไม่สามารถคำนวณได้ตามขนาดวงจรและสามารถคำนวณได้โดยมีขนาดวงจรที่(n)) (และอาจเป็นสิ่งที่เกี่ยวกับความลึก)f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n)f(n)&lt;o(g(n))f(n)&lt;o(g(n))f(n)<o(g(n)) ดังนั้นถ้าทรัพย์สินดูเหมือนจะผิดธรรมชาติ (มันละเมิดเงื่อนไขความใหญ่โต) เห็นได้ชัดว่าเราไม่สามารถใช้เส้นทแยงมุมได้เพราะเราไม่ได้อยู่ในสภาพที่เหมือนกันf(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n) \leq n^{O(1)} มีผลในทิศทางนี้หรือไม่?

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  natural-proofs  hierarchy-theorems