คำถามติดแท็ก ds.algorithms

กำหนดลำดับของตัวเลขมันสามารถเรียงลำดับด้วยการเปรียบเทียบO ( n ln n )และO ( n ) swaps / move หรือไม่? ตัวชี้ไปยังสิ่งตีพิมพ์ใด ๆ ในเรื่องนั้นหรือการโต้กลับที่แสดงขอบเขตล่างΩ ( n ln n )จะช่วยได้nnnO(nlnn)O(nln⁡n)O(n \ln n)O(n)O(n)O(n)Ω(nlnn)Ω(nln⁡n)\Omega(n \ln n)

12 cc.complexity-theory  ds.algorithms 

มีแนวคิดการแข่งขันหลายอย่างของ "กราฟเบาบาง" ตัวอย่างเช่นกราฟที่ฝังพื้นผิวนั้นอาจถูกพิจารณาว่าเป็นเบาบาง หรือกราฟที่มีความหนาแน่นของขอบล้อมรอบ หรือกราฟที่มีเส้นรอบวงสูง กราฟที่มีการขยายขนาดใหญ่ กราฟที่มีความ จำกัด treewidth (แม้จะอยู่ในฟิลด์ย่อยของกราฟแบบสุ่มมันก็มีความกำกวมเล็กน้อยในสิ่งที่อาจเรียกได้ว่ากระจัดกระจาย) และอื่น ๆ ความคิดของ "กราฟเบาบาง" มีผลกระทบมากที่สุดในการออกแบบอัลกอริธึมกราฟที่มีประสิทธิภาพและทำไม? ในทำนองเดียวกันความคิดของ "กราฟหนาแน่น" ... คืออะไร? (หมายเหตุ: Karpinski ทำงานได้อย่างยอดเยี่ยมเกี่ยวกับผลการประมาณค่าสำหรับกราฟมาตรฐานที่หนาแน่น) ฉันเพิ่งเห็นคำปราศรัยของ J. Nesetril ในรายการของเขา (ร่วมกับ P. Ossona de Mendez) เพื่อจับภาพมาตรการกระจัดกระจายในกราฟภายในกรอบ (asymptotic) แบบครบวงจร คำถามของฉัน - ใช่อาจเป็นอัตนัยและฉันคาดหวังว่าค่ายที่แตกต่างกัน - ได้รับแรงบันดาลใจจากความปรารถนาที่จะได้รับมุมมองที่หลากหลายในการใช้ sparsity ในอัลกอริทึม (และเสียบช่องว่างใด ๆ

12 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  big-picture 

ฉันกำลังมองหาการอ้างอิงที่ดีสำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุดของคอขวด โดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดยอดที่ได้รับและ t ในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วยน้ำหนักของขอบคุณต้องการเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก s ถึง t โดยที่ความยาวของเส้นทางคือขอบสูงสุดของเส้นทางนั้น สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ในเวลา O (n + m) โดยการหาค่าน้ำหนักขอบเฉลี่ยและ (ลบอย่างระมัดระวัง) ซ้ำ ๆ เพื่อลบขอบครึ่งหนึ่ง ไม่มีใครทราบการอ้างอิงสำหรับสิ่งนี้?

12 ds.algorithms  reference-request  graph-algorithms 

x1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_nR2R2\mathbb{R}^2∥xi−xj∥2‖xi−xj‖2\|x_i - x_j\|^22323\frac 2 32323\frac 2 3 ตัวอย่างที่เลวร้ายที่สุดที่ฉันสามารถที่จะหาคือ 3 จุดบนรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งประสบความสำเร็จใน3 โปรดทราบว่าการแบ่งแบบสุ่มจะสร้างแต่ดูเหมือนชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าในมิติที่ต่ำหนึ่งสามารถจัดกลุ่มได้ดีกว่าการสุ่ม2323\frac 2 31212\frac 1 2 จะเกิดอะไรขึ้นสำหรับ max-k-cut สำหรับ k> 2 ขนาด d> 2 เป็นอย่างไร? มีกรอบในการตอบคำถามเหล่านี้หรือไม่? ฉันรู้เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของ Cheeger แต่สิ่งเหล่านั้นนำไปใช้กับการตัดแบบกระจาย (ไม่ใช่การตัดสูงสุด) และใช้ได้กับกราฟปกติเท่านั้น (คำถามได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาการจัดกลุ่มแหล่งกำเนิดแสงในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์เพื่อลดความแปรปรวน)

12 ds.algorithms  graph-algorithms  application-of-theory  max-cut  clustering 

ชื่อพูดสำหรับตัวเอง นี่คือAkinatorและ20Q หลักการของเกมเหล่านี้คือการถามคำถามจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับเอนทิตีที่ผู้ใช้เลือก แล้วหาว่าเอนทิตี้นี้คืออะไร หลักของอัลกอริทึมคือการค้นหา "คำถามที่มีประโยชน์มากที่สุด" ในแต่ละรอบขณะที่จัดการกับผู้ใช้ที่อาจตอบคำถามไม่ถูกต้อง "คำถามที่มีประโยชน์มากที่สุด" ถูกกำหนดให้เป็นคำถามที่ให้ข้อมูลมากที่สุดในกรณีที่เหมาะสมที่สุดที่จะแยกผู้ชม (หรือหมายเลข?) ของเอนทิตีผู้สมัครออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ฉันพบกระดาษที่อธิบายอัลกอริธึมบางอย่าง (ไม่ได้ใช้คำว่า "อัลกอริธึม" แต่การพิสูจน์สามารถเปลี่ยนเป็นอัลกอริธึมได้) น่าเสียดายที่ฉันไม่พบเอกสารนี้อีก :( บทความอธิบายปัญหาเกี่ยวกับแนวคิดทฤษฎีเกมโดยอนุญาตให้ผู้ใช้บางระดับ (ได้กล่าวถึงการโกหก 3 ระดับ) โปรดโพสต์หากคุณคิดว่าคุณรู้จักบทความนี้

12 ds.algorithms 

CMSOL คือการนับ Monadic Second Order Logic นั่นคือตรรกะของกราฟที่โดเมนคือเซตของจุดยอดและขอบมีเพรดิเคตสำหรับการติดยอดจุดยอดและอุบัติการณ์ของขอบ - จุดยอดมีปริมาณเหนือขอบจุดยอดชุดขอบและจุดยอด ชุดและมีกริยาซึ่งเป็นการแสดงออกไม่ว่าจะเป็นขนาดของSคือnโมดูโลพีCardn,p(S)Cardn,p(S)\textrm{Card}_{n,p}(S)SSSnnnppp ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของ Courcelleระบุว่าหากเป็นสมบัติของกราฟที่แสดงออกได้ใน CMSOL ดังนั้นสำหรับกราฟGของ treewidth ทุก ๆที่kส่วนใหญ่สามารถตัดสินใจได้ในเวลาเชิงเส้นว่าΠถือได้หรือไม่โดยมีการสลายตัวของGในอินพุต ทฤษฎีบทรุ่นต่อมาได้กำหนดให้มีการสลายตัวของต้นไม้ในอินพุต (เพราะสามารถคำนวณด้วยอัลกอริธึมของ Bodlaender ) และอนุญาตให้ปรับให้เหมาะสมแทนการตัดสินใจเท่านั้น เช่นได้รับสูตร MSOL ϕ ( S )เรายังสามารถคำนวณเซตSที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุดซึ่งตรงกับϕΠΠ\PiGGGkkkΠΠ\PiGGGϕ(S)ϕ(S)\phi(S)SSS )ϕ(S)ϕ(S)\phi(S) คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับการปรับทฤษฎีบทของ Courcelle ให้เป็นกราฟของ cliquewidth ที่มีขอบเขต มีทฤษฎีบทคล้าย ๆ กันที่บอกว่าถ้าคุณมี MSOL1 ซึ่งอนุญาตให้มีการหาปริมาณของจุดยอด, ขอบ, เซตจุดยอด แต่ไม่ใช่ชุดขอบแล้วให้กราฟของ cliquewidth k (กับ clique-expression), สำหรับkคงที่ทุกอันสามารถตัดสินใจได้ เส้นเวลาไม่ว่าจะเป็นกราฟGตอบสนองบางสูตร MSOL1 φ …

12 ds.algorithms  reference-request  graph-algorithms  descriptive-complexity  cliquewidth 

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามที่มีอยู่เกี่ยวกับว่าสแต็กสามารถจำลองได้โดยใช้สองคิวในเวลาตัดจำหน่ายต่อการดำเนินการสแต็ก คำตอบดูเหมือนจะไม่เป็นที่รู้จัก นี่คือคำถามที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นซึ่งตรงกับกรณีพิเศษที่การดำเนินการ PUSH ทั้งหมดจะดำเนินการก่อนตามด้วยการดำเนินการ POP ทั้งหมด รายการขององค์ประกอบNสามารถย้อนกลับได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้สองคิวที่ว่างเปล่าเริ่มแรกได้อย่างไร การดำเนินการทางกฎหมายคือ:O(1)O(1)O(1)NNN จัดวางองค์ประกอบถัดไปจากรายการอินพุต (ไปยังส่วนท้ายของคิวทั้งสอง) ถอนออกจากองค์ประกอบที่หัวของคิวทั้งสองและจัดคิวอีกครั้ง (ไปที่ส่วนท้ายของคิวทั้งสอง) ถอนออกจากองค์ประกอบที่ส่วนหัวของคิวอย่างใดอย่างหนึ่งและเพิ่มลงในรายการผลลัพธ์ ถ้ารายการป้อนข้อมูลประกอบด้วยองค์ประกอบวิธีการที่ไม่จำนวนขั้นต่ำของการดำเนินงานที่จำเป็นในการสร้างรายชื่อส่งออกตรงกันข้าม[ N , N - 1 , . . , 2 , 1 ]ประพฤติตน? หลักฐานที่แสดงว่ามันโตเร็วกว่าO ( N )จะน่าสนใจเป็นพิเศษเพราะมันจะช่วยแก้ปัญหาเดิมในแง่ลบได้[1,2,...,N−1,N][1,2,...,N−1,N][1,2,...,N-1,N][N,N−1,...,2,1][N,N−1,...,2,1][N,N-1,...,2,1]O(N)O(N)O(N) Update (15 มกราคม 2011): ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในดังที่แสดงในคำตอบที่ส่งและความคิดเห็นของพวกเขา; และขอบเขตล่างของΩ ( N )เป็นเรื่องเล็กน้อย ขอบเขตเหล่านี้สามารถปรับปรุงได้หรือไม่?O(NlogN)O(Nlog⁡N)O(N \log N)Ω(N)Ω(N)\Omega(N)

12 ds.algorithms  ds.data-structures  lower-bounds  time-complexity  sorting 

แน่นอนว่าการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นที่เข้าใจกันในปัจจุบัน เรามีงานจำนวนมากที่แสดงถึงโครงสร้างของโซลูชันที่เป็นไปได้และโครงสร้างของโซลูชันที่ดีที่สุด เรามีความเป็นคู่ที่แข็งแกร่งอัลกอริทึมโพลีเวลา ฯลฯ แต่สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับการแก้ปัญหาสูงสุดขั้นต่ำของ LPs? หรือเท่ากับวิธีแก้ปัญหาขั้นต่ำขั้นสูงสุด (นี่ไม่ใช่คำถามการวิจัยจริง ๆ แต่บางทีเราอาจมีบางอย่างทางเทคนิคน้อยกว่าสำหรับวันหยุดฉันแค่อยากรู้อยากเห็นและหลังจาก googling บางฉันได้รับความรู้สึกว่าฉันจะต้องหายไปคำหลักที่เหมาะสมมันรู้สึกเหมือนชัดเจน ปัญหาในการศึกษา แต่ฉันพบเอกสารประปรายบางเรื่องที่กล่าวถึงปัญหา) เพื่อให้ง่ายให้มุ่งเน้นในการบรรจุและการครอบคลุมซีรี่ส์ ในLP บรรจุเราจะได้รับไม่ใช่เชิงลบเมทริกซ์ เวกเตอร์xเป็นไปได้ถ้าx ≥ 0และx ≤ 1 เราบอกว่าxเป็นค่าสูงสุดถ้าเป็นไปได้และเราไม่สามารถเพิ่มองค์ประกอบใด ๆ ได้อย่างโลภ นั่นคือถ้าy ≥ 0และy ≠ 0ดังนั้นx + yจะไม่สามารถทำได้ และในที่สุดxคือ aAAAxxxx≥0x≥0x \ge 0Ax≤1Ax≤1Ax \le 1xxxy≥0y≥0y \ge 0y≠0y≠0y \ne 0x+yx+yx + yxxxการแก้ปัญหาสูงสุดขั้นต่ำถ้ามันลดฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ในบรรดาการแก้ปัญหาสูงสุดทั้งหมด∑ixi∑ixi\sum_i x_i (คุณสามารถกำหนดวิธีแก้ปัญหาที่น้อยที่สุดสูงสุดของLP ที่ครอบคลุมในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน) พื้นที่ของโซลูชันสูงสุดขั้นต่ำมีลักษณะอย่างไร เราจะหาวิธีแก้ไขได้อย่างไร? มันยากแค่ไหนที่จะหาวิธีแก้ปัญหาเช่นนี้? …

12 cc.complexity-theory  ds.algorithms  reference-request  linear-programming  optimization 

การสลายตัวของต้นไม้เป็นเรื่องยากในกรณีที่เลวร้ายที่สุด แต่วิธีโลภน่าจะใกล้เคียงที่สุดในเครือข่ายขนาดเล็กในชีวิตจริง มีความรู้เกี่ยวกับความกระด้างของการสลายตัวของต้นไม้ของอินสแตนซ์ "ทั่วไป" ของกราฟบางชั้นหรือไม่? มีตัวอย่างของกราฟครอบครัวที่วิธีโลภสำหรับการย่อยสลายต้นไม้ทำได้ไม่ดีหรือไม่?

12 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  treewidth 

ฉันกำลังมองหาชื่อหรือการอ้างอิงถึงปัญหานี้ เมื่อกำหนดกราฟถ่วงน้ำหนักG=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)หาพาร์ติชันของจุดยอดเข้าสูงสุดn=|V|n=|V|n = |V|ตั้งค่าS1,…,SnS1,…,SnS_1,\ldots,S_nเพื่อเพิ่มมูลค่าของคมตัดสูงสุด: c(S1,…,Sn)=∑i≠j⎛⎝∑(u,v)∈E:u∈Si,v∈Sjw(u,v)⎞⎠c(S1,…,Sn)=∑i≠j(∑(u,v)∈E:u∈Si,v∈Sjw(u,v))c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right) โปรดทราบว่าบางชุดSiSiS_iสามารถว่างได้ ดังนั้นปัญหาคือ max-k-cut ยกเว้นkkkไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ input: อัลกอริธึมสามารถเลือกkkkมันชอบเพื่อเพิ่มค่าของคมตัดให้ได้มากที่สุด เห็นได้ชัดว่าปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องเล็กน้อยหากน้ำหนักขอบไม่เป็นลบเพียงแค่วางจุดยอดทุกจุดไว้ในชุดของตัวเองและคุณตัดขอบทั้งหมด แต่เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ น่าสนใจอนุญาตให้ลบน้ำหนักขอบ นี่เป็นปัญหาที่ศึกษาหรือไม่? การอ้างอิงถึงอัลกอริทึมหรือผลลัพธ์ความแข็งจะชื่นชม!

12 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms  max-cut 

ปัญหาที่เกิดขึ้นกับอัลกอริธึมที่เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดที่ได้รับจากการประมาณค่ากลับมาเป็นวิธีการสุ่มแบบสม่ำเสมอคืออะไร? ฉันรู้หนึ่งตัวอย่างเช่นสำหรับปัญหาการไหลเวียนของร้านค้า : ในกระดาษ " ขอบเขตที่ จำกัด สำหรับการจัดตารางการไหลของร้านเปลี่ยนรูปแบบ " Viswanath Nagarajan และ Maxim Sviridenko พิสูจน์ว่าการสุ่มลำดับงานมีการรับประกัน2 √F|perm|CmaxF|perm|CmaxF|perm|C_{max} (m-จำนวนเครื่องจักรและn- จำนวนของงาน) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในปัจจุบัน2min{m,n}−−−−−−−−−√2min{m,n}2\sqrt{min\{m,n\}}mmmnnn

12 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms 

สิ่งที่ฉันสงสัยโดยเฉพาะคือถ้ามีเงื่อนไขที่น่าสนใจเกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์ของการมอบหมายที่เป็นไปตามสูตร 3SAT เพื่อรับประกันว่าปัญหาดังกล่าวจะสามารถแก้ไขได้ ตัวอย่างเช่นคลาสของปัญหา 3SAT ที่จากการมอบหมายที่เป็นไปได้เป็นไปตามสูตรบูลีน เราจะพบการมอบหมายที่น่าพอใจได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่? สำหรับสิ่งที่\ epsilonเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นใน P?ϵ(n)2nϵ(n)2n\epsilon(n) 2^n2n2n2^nϵϵ\epsilon แก้ไขหมายเหตุ: แทนที่ϵϵ\epsilonด้วยϵ(n)ϵ(n)\epsilon(n)เพื่อกำจัดความสับสน

12 cc.complexity-theory  ds.algorithms  sat  np 

ปัญหา ฉันมีกราฟที่ไม่มีทิศทาง (ซึ่งมีหลายขอบ) ซึ่งจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาโหนดและขอบอาจถูกแทรกและลบ ในการแก้ไขกราฟแต่ละครั้งฉันต้องอัปเดตส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของกราฟนี้ คุณสมบัติ คุณสมบัติเพิ่มเติมคือจะไม่มีการเชื่อมต่อสองส่วนประกอบอีกต่อไป เห็นได้ชัดว่ากราฟสามารถมีรอบเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ (มิฉะนั้นการแก้ปัญหาจะไม่สำคัญ) ถ้า edge ไม่มีโหนดnมันจะไม่นำโหนดนั้นมาใช้ แต่ถ้าn ∈ อีก็สามารถเปลี่ยนไปn ∉อีeeennnn∈en∈en \in en∉en∉en \notin e แนวทาง ฉันมีสองแนวทางที่เป็นไปได้ แต่เท่าที่คุณจะเห็นพวกเขาน่ากลัว: ช้ารัฐน้อย ฉันสามารถค้นหา (dfs / bfs) กราฟเริ่มต้นจากองค์ประกอบที่แก้ไขทุกครั้ง สิ่งนี้ช่วยประหยัดพื้นที่ แต่ช้าเนื่องจากเรามี O (n + m) สำหรับการแก้ไขแต่ละครั้ง Stateful fast (-er) (?) วิธีการ ฉันสามารถเก็บเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับแต่ละโหนดไปยังโหนดที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่ถ้าฉันเห็นอย่างถูกต้องสิ่งนี้จะใช้หน่วยความจำ O (n ^ 4) แต่ฉันไม่แน่ใจว่าการปรับปรุงรันไทม์เป็นอย่างไร (ถ้ามีอย่างใดอย่างหนึ่งเพราะฉันต้องเก็บข้อมูลที่ทันสมัยสำหรับทุกโหนดในองค์ประกอบเดียวกัน) คำถาม …

12 ds.algorithms  graph-theory  approximation-algorithms  online-algorithms 

อะไรคืออัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์บูลีนที่กระจัดกระจายมากสองตัว (เช่น N = 200 และมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ 100-200) ที่จริงแล้วฉันมีข้อได้เปรียบที่เมื่อฉันคูณ A ด้วย B, B ของถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าและฉันสามารถทำการประมวลผลที่ซับซ้อนโดยพลการบนพวกเขา ฉันก็รู้ว่าผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์นั้นกระจัดกระจายเหมือนเมทริกซ์ดั้งเดิมเสมอ อัลกอริทึม "ค่อนข้างไร้เดียงสา" (สแกน A เป็นแถวสำหรับแต่ละ 1 บิตของ A-row หรือผลลัพธ์ที่มีแถว B ตรงกัน) จะมีประสิทธิภาพมากและต้องใช้คำสั่ง CPU เพียงสองสามพันคำสั่งในการคำนวณผลิตภัณฑ์เดียว ดังนั้นมันจะไม่ง่ายเกินกว่าและเป็นเพียงปัจจัยที่คงที่เท่านั้น (เพราะมีหลายร้อยบิตในผลลัพธ์) แต่ฉันไม่สูญเสียความหวังและขอความช่วยเหลือจากชุมชน :)

12 ds.algorithms  matrix-product  sparse-matrix  boolean-matrix  implementation 

นี่คือการติดตามคำถามล่าสุดของ David Eppsteinและได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาเดียวกัน สมมติว่าฉันมี dag ที่มีน้ำหนักจริงจำนวนมากที่จุดยอด ในขั้นต้นจุดยอดทั้งหมดจะไม่มีการทำเครื่องหมาย ฉันสามารถเปลี่ยนชุดจุดยอดที่ถูกทำเครื่องหมายด้วย (1) ทำเครื่องหมายจุดสุดยอดโดยไม่มีผู้ทำเครื่องหมายก่อนหน้าหรือ (2) ยกเลิกการทำเครื่องหมายจุดยอดที่ไม่มีผู้สืบทอดที่ทำเครื่องหมายไว้ (ดังนั้นชุดของจุดยอดที่ถูกทำเครื่องหมายจะเป็นคำนำหน้าของคำสั่งบางส่วนเสมอ) ฉันต้องการค้นหาลำดับของการทำเครื่องหมาย / การทำเครื่องหมายที่สิ้นสุดด้วยการทำเครื่องหมายจุดยอดทั้งหมดเช่นน้ำหนักรวมของจุดยอดที่ถูกทำเครื่องหมายจะไม่เป็นลบเสมอ . การค้นหาลำดับของการดำเนินการนั้นยากเพียงใด ไม่เหมือนกับปัญหาของเดวิดมันไม่ชัดเจนเลยว่าปัญหานี้เป็นปัญหา โดยหลักการ (แม้ว่าฉันจะไม่มีตัวอย่างใด ๆ ) ทุกลำดับการย้ายตามกฎหมายอาจมีความยาวเป็นเลขชี้กำลัง ที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถพิสูจน์ได้คือปัญหาอยู่ใน PSPACE การดำเนินการที่ไม่มีเครื่องหมายจำเป็นจริงหรือไม่? หากมีลำดับการย้ายที่ถูกต้องจะต้องมีลำดับการย้ายที่ถูกต้องที่จะไม่ยกเลิกการทำเครื่องหมายจุดสุดยอดหรือไม่? คำตอบยืนยันว่าจะทำให้ปัญหานี้เหมือนกันที่จะดาวิด ในทางกลับกันหากบางครั้งไม่จำเป็นต้องทำเครื่องหมายควรมีตัวอย่างขนาดเล็ก (ขนาดคงที่) ที่พิสูจน์ได้

12 ds.algorithms  directed-acyclic-graph  partial-order