คำถามติดแท็ก np

NP ย่อมาจากเวลาพหุนาม Nondeterministic

1
ข้อต่อที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับ / โดย NP และ Parity-P?
Parity-Pเป็นชุดของภาษาที่ได้รับการยอมรับโดยเครื่องทัวริงที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้ซึ่งสามารถแยกความแตกต่างระหว่างเส้นทาง "ยอมรับ" ที่เป็นเลขคู่หรือเลขคี่ได้ (แทนที่จะเป็นเส้นทางการยอมรับจำนวนศูนย์ ดังนั้น Parity-P เป็นพื้นPP 's ลักษณะแคระแกรนน้อง: ในขณะที่นับ PP หรือไม่ว่าจำนวนเส้นทางการยอมรับของ NP-เครื่องเป็นเสียงข้างมากหรือไม่ ( เช่นบิตที่สำคัญที่สุดของปริมาณนั้น) Parity-P บ่งชี้ บิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของจำนวนเส้นทางการยอมรับ เช่นเดียวกับ NP, Parity-P ประกอบด้วยUP (ซึ่งมี P, "อาจ" อย่างเคร่งครัดดังนั้น); และเช่นเดียวกับ NP, Parity-P มีอยู่ใน PSPACE คำถาม. อะไรคือข้อต่อบนและล่างที่รู้จักกันดีที่สุดของ NP และ Parity-P

1
ความซับซ้อนของปัญหาเครือข่ายสวิตช์
สวิทช์เครือข่าย (ชื่อที่ถูกคิดค้น) ทำด้วยสามประเภทของโหนด: หนึ่งโหนดเริ่มต้น โหนดปลายทางหนึ่งโหนด โหนด Switch หนึ่งโหนดขึ้นไป โหนดสวิตช์มีการออก 3 ครั้ง: ซ้าย, ขึ้น, ขวา; มีสองรัฐ L และ RและTL รัฐเป้าหมายหรือ TR สวิตช์แต่ละตัวสามารถเคลื่อนที่ด้วยกฎต่อไปนี้: เสมอจากซ้ายไปขึ้น; สถานะของสวิตช์เปลี่ยนเป็น L เสมอจากขวาไปขึ้น; สถานะของสวิตช์เปลี่ยนเป็น R จากขึ้นไปซ้ายเฉพาะเมื่อสวิตช์อยู่ในสถานะ L; รัฐจะไม่เปลี่ยนแปลง จากขึ้นไปขวาหากสวิตช์อยู่ในสถานะ R; รัฐจะไม่เปลี่ยนแปลง ไม่เคยจากซ้ายไปขวาหรือจากขวาไปซ้าย รูปที่ 1. สลับโหนดในสถานะ L ด้วยสถานะเป้าหมาย TR คุณสมบัติเหล่านี้ยังมี: สามารถแยก 0, 1 หรือ 2 ของสวิตช์ออกได้ (ไม่เชื่อมต่อกับสวิตช์อื่น) เส้นทางสามารถ"แตะ"สวิตช์เพื่อเปลี่ยนสถานะ: ป้อนจากซ้ายและออกจากซ้ายหรือป้อนจากขวาและออกจากขวา; …

2
ความแข็งของ CLIQUE ที่มีพารามิเตอร์
ให้0≤p≤10≤p≤10\le p\le 1และพิจารณาปัญหาการตัดสินใจ ก๊กอินพุต:จำนวนเต็มกราฟกับจุดและ\ lceil P \ binom {t} {2} \ rceilขอบคำถาม:ไม่Gประกอบด้วยก๊กบนอย่างน้อยsจุด?pp_p sssGGGttt⌈p(t2)⌉⌈p(t2)⌉\lceil p\binom{t}{2} \rceil GGGsss อินสแตนซ์ของ CLIQUE pp_pมีสัดส่วนpppจากขอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าก๊กpp_pเป็นเรื่องง่ายสำหรับค่าของบางส่วนหน้าpppCLIQUE 00_0มีกราฟที่ตัดการเชื่อมต่ออย่างสมบูรณ์เท่านั้นและ CLIQUE 11_1มีกราฟที่สมบูรณ์ ในทั้งสองกรณี CLIQUE pp_pสามารถตัดสินใจได้ในเวลาเชิงเส้น ในทางกลับกันสำหรับค่าpppใกล้กับ1/21/21/2 , CLIQUE pp_pคือ NP-hard โดยการลดลงของ CLIQUE เอง: โดยหลักแล้วมันก็เพียงพอที่จะใช้การรวมกลุ่มแบบไม่เป็นสมาชิกร่วมกับกราฟTurán T(t,s−1)T(t,s−1)T(t,s-1) . คำถามของฉัน: CLIQUEเป็น PTIME หรือ NP-complete สำหรับทุกตัวหรือไม่ หรือมีค่าซึ่ง CLIQUEมีความซับซ้อนระดับกลาง (ถ้า P ≠ NP)?พีพี_pพีพีpพีพีpพีพี_p คำถามนี้เกิดขึ้นจากคำถามที่เกี่ยวข้องกับไฮเปอร์กราฟกราฟ …

1
การโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มในจำนวนตัวแปรลอการิทึม
ผมอ่านจำนวนเต็มเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่มีการแก้ไขในเวลาที่ polynominal ถ้าจำนวนของตัวแปรได้รับการแก้ไขคือ(1) ถ้าจำนวนของตัวแปรเพิ่มขึ้นลอการิทึมเช่นสำหรับอินพุตที่กำหนดขนาดปัญหายังคงแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือนี่เป็นปัญหาเปิดหรือไม่nnnn∈O(1)n∈O(1)n \in O(1)n∈O(log2(N))n∈O(log2⁡(N))n \in O(\log_2(N))NNN

2
(อย่างไร) เราสามารถค้นพบ / วิเคราะห์ปัญหา NP ในกรณีที่ไม่มีโมเดลทัวริงของการคำนวณได้อย่างไร
จากมุมมองเชิงเหตุผลทางคณิตศาสตร์ / การคำนวณเชิงนามธรรมอย่างใดอย่างหนึ่ง (แม้) จะสามารถค้นพบหรือเหตุผลเกี่ยวกับปัญหาเช่น 3-SAT, ผลรวมย่อย, พนักงานขายเดินทาง ฯลฯ หรือไม่? เราจะยังสามารถที่จะมีเหตุผลเกี่ยวกับพวกเขาในทางที่มีความหมายใด ๆ มีเพียงการทำงานมุมมอง? มันจะเป็นไปได้ไหม ฉันได้ครุ่นคิดกับคำถามนี้อย่างหมดจดจากการสอบถามตนเองเป็นส่วนหนึ่งของการเรียนรู้รูปแบบการคำนวณแคลคูลัสแลมบ์ดา ฉันเข้าใจว่าเป็น "แบบไม่ใช้สัญชาตญาณ" และนั่นเป็นสาเหตุที่ Godel ชอบโมเดลทัวริง อย่างไรก็ตามฉันแค่อยากจะรู้ว่าอะไรคือข้อ จำกัด ทางทฤษฎีที่รู้จักกันในรูปแบบการทำงานของการคำนวณนี้และมันจะเป็นอุปสรรคในการวิเคราะห์ปัญหา NP ระดับเท่าไหร่?

1
ปัญหาที่สมบูรณ์
FewPเป็นคลาสของ -problems ที่มีพหุนามผูกอยู่กับจำนวนของการแก้ปัญหา (ในขนาดอินพุต) มีเป็นที่รู้จักกันไม่มีปัญหาที่สมบูรณ์ในfewPฉันสนใจว่าเราจะยืดข้อสังเกตนี้ไปได้ไกลแค่ไหนN P f e w PNPNPNPNPNPNPfewPfewPfewP มีสมบูรณ์ตามธรรมชาติของกับพหุนามพหุนามในขอบเขตของจำนวนคำตอบ (พยาน) หรือไม่? มีการคาดเดาที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางซึ่งจะตัดทอนความเป็นไปได้ดังกล่าวหรือไม่?NPNPNP โดยธรรมชาติหมายความว่าปัญหาไม่ใช่ปัญหาที่เกิดขึ้นจากการปลอมแปลงเพื่อตอบคำถาม (หรือคำถามที่คล้ายกัน) และผู้คนมีความสนใจในปัญหาอย่างอิสระ (ตามที่ Kaveh กำหนด) แก้ไข:เงินรางวัลจะได้รับจากธรรมชาติที่สมบูรณ์แบบหรือข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลตัดสินว่าปัญหาดังกล่าวมีอยู่จริง (โดยใช้การคาดเดาที่ซับซ้อนในเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อน)NPNPNP แรงจูงใจ:สัญชาตญาณของฉันคือความไม่สมบูรณ์ของกำหนดพหุนามต่ำ (หรือเลขชี้กำลังเลขชี้กำลัง) ที่ต่ำกว่าตามจำนวนพยานNPNPNP

2
มีภาษา NP- หรือ P-Complete สมมาตรสูงหรือไม่
มี , ภาษา NP- หรือ P-complete ซึ่งมีกลุ่มสมมาตรบางกลุ่ม (หรือgroupoidแต่จากนั้นคำถามอัลกอริทึมก็เปิดขึ้น) การแสดง (ในเวลาพหุนาม) ในเซตมีวงโคจรอยู่ไม่กี่เช่นนั่นคือสำหรับขนาดใหญ่พอที่และบางและเช่นนั้นสามารถสร้างได้อย่างมีประสิทธิภาพ ?LLLGnGnG_nLn={l∈L∣|l|=n}Ln={l∈L∣|l|=n}L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}|Ln/Gn|&lt;nc|Ln/Gn|&lt;nc|L_n / G_n| < n^cnnncccGnGnG_nnnn ประเด็นตรงนี้คือหากพบภาษา / กลุ่มเช่นนี้และหากพบรูปแบบปกติภายใต้การกระทำของกลุ่มเวลาพหุนามในจากนั้นหนึ่งสามารถลดLโดยP T I M Eลดลงถึง a ภาษากระจัดกระจายโดยการคำนวณรูปแบบปกติสำหรับNใดก็ตามซึ่งหมายความว่าP = N PหรือL = PFPFP\mathrm{FP}LLLPTIMEPTIME\mathrm{PTIME}NNNP=NPP=NP\mathrm{P = NP}L=PL=P\mathrm{L = P}ขึ้นอยู่กับว่าคุณเลือกภาษา NP- หรือ P-complete ตามลำดับ ดังนั้นดูเหมือนว่าจะไม่มีกลุ่มดังกล่าวที่มีวงโคจรเบาบางหรือการคำนวณรูปแบบปกตินั้นยากสำหรับกลุ่มดังกล่าวทั้งหมดหรือผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้จะคงไว้ซึ่งฉันคิดว่าพวกเราส่วนใหญ่ไม่เชื่อ นอกจากนี้ก็จะดูเหมือนว่าถ้าใครสามารถคำนวณความสมดุลมากกว่าวงโคจรแทนในรูปแบบปกติหนึ่งยังคงสามารถทำเช่นนี้ …

1
ความสมบูรณ์แบบของ PSPACE บ่งบอกถึงความแข็งประมาณหรือไม่?
มันถูกกล่าวถึงในความคิดเห็นในโพสต์ cstheorySEอื่นว่า PSPACE-ครบถ้วนสมบูรณ์แสดงถึงความแข็ง APX ทุกคนสามารถอธิบาย / แบ่งปันข้อมูลอ้างอิงได้หรือไม่ นี่คือ "คับ" หรือไม่? (กล่าวคือมีปัญหาที่สมบูรณ์ของ PSPACE ซึ่งปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพยอมรับการประมาณค่าปัจจัยคงที่ในเวลาโพลีหรือไม่) ความสมบูรณ์ของ PH ในระดับใดบ้าง มันบ่งบอกถึงความแข็งประมาณหรือไม่?

3
มีทฤษฎีความซับซ้อนแบบอะนาล็อกของทฤษฎีบทข้าวในทฤษฎีการคำนวณหรือไม่?
ทฤษฏีของไรซ์กล่าวว่าสมบัติที่ไม่น่าสนใจของชุดทัวริงที่ได้รับการยอมรับโดยเครื่องทัวริงบางอันนั้นไม่สามารถบอกได้ ฉันกำลังมองหาความซับซ้อน - ทฤษฎีทฤษฏีประเภทข้าวที่บอกเราว่าคุณสมบัติที่ไม่สำคัญของชุด NP นั้นเป็นสิ่งที่รักษาไม่ได้

2
ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เต็มไปด้วยเวทมนตร์นั้นสมบูรณ์หรือไม่
นี่คือปัญหา: เรามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีตัวเลขตั้งแต่ 1..N ในบางเซลล์ มันจำเป็นต้องมีการตรวจสอบว่ามันสามารถจะแล้วเสร็จในตารางมายากล ตัวอย่าง: 2 _ 6 2 7 6 _ 5 1 &gt;&gt;&gt; 9 5 1 4 3 _ 4 3 8 7 _ _ 9 _ _ &gt;&gt;&gt; NO SOLUTION 8 _ _ ปัญหานี้เกิดขึ้นกับ NP หรือไม่? ถ้าใช่ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร Crosspost บน MS

1
ขนาดพยานของการเป็นสมาชิกสำหรับทุกภาษา NP เป็นที่รู้จักกันแล้ว?
คำถามที่เกิดขึ้นกับผมเมื่อผมได้คำตอบ Dana Moshkovitz ไปหัวข้ออื่น ให้เป็นภาษาNPและให้เป็นความสัมพันธ์NPตามลำดับ เรารู้ว่ามีอยู่บางพหุนามPดังกล่าวว่า:LLLRLRLR_Lppp ∀x∈L,,∃w∈0,1p(|x|)(x,w)∈RL∀x∈L,,∃w∈0,1p(|x|)(x,w)∈RL\forall x \in L, \\, \exists w \in \\{0,1\\}^{p(|x|)} \quad (x,w) \in R_L ข้อความข้างต้นเท่านั้นที่ต้องดำรงอยู่เช่นpppแต่มันก็ไม่ได้บังคับให้มีการกำหนดอย่างชัดเจน ในทางตรงกันข้ามสำหรับทุกภาษาNPฉันรู้ว่าpppเป็นที่รู้จักกันแล้ว: สำหรับ SAT ขนาดของพยานเท่ากับจำนวนอะตอมที่ปรากฏในสูตร สำหรับ Hamiltonicity ขนาดของพยานคือO(|V|)O(|V|)O(|V|)โดยที่VVVคือชุดจุดสุดยอด สำหรับกราฟ 3 สีขนาดของพยานคือO(|V|)O(|V|)O(|V|)โดยที่VVVคือชุดจุดสุดยอด จะมีอยู่NPภาษา (แม้เทียมหนึ่ง) ซึ่งเรารู้ว่ามีอยู่บางพหุนามpppวิ่งขนาดของพยาน แต่เราไม่สามารถตรวจสอบอย่างชัดเจนppp ?

1
มีปัญหา "NP-Intermediate-Complete" หรือไม่
สมมติ P NP≠≠\ne ทฤษฎีบทของ Ladner กล่าวว่ามีปัญหา NP Intermediate (ปัญหาใน NP ที่ไม่ได้อยู่ใน P หรือ NP-Complete) ฉันได้พบการอ้างอิงที่คลุมเครือออนไลน์ที่แนะนำ (ฉันคิดว่า) มี "ระดับ" ของภาษาที่ลดทอนร่วมกันภายใน NPI ที่แน่นอนไม่ยุบทั้งหมดในที่เดียว ฉันมีคำถามบางอย่างเกี่ยวกับโครงสร้างของระดับเหล่านี้ มีปัญหา "NP-Intermediate-Complete" หรือไม่นั่นคือปัญหา NP-Intermediate ซึ่งปัญหา NP-Intermediate อื่น ๆ ทุกปัญหาที่สามารถลดค่าเวลาได้หรือไม่ จัดเรียง NP - P ลงในคลาสที่เทียบเท่าโดยที่การลดความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันคือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ตอนนี้กำหนดลำดับในคลาสความเท่าเทียมกันเหล่านี้: หากปัญหาในBลดลงถึงปัญหาในA (ดังนั้นชัดเจนว่าระดับความเท่าเทียม NP-Complete เป็นองค์ประกอบสูงสุด) นี่เป็นการสั่งซื้อทั้งหมดหรือไม่ (เช่นปัญหาถูกจัดเรียงในห่วงโซ่การลงมาที่ไม่สิ้นสุด) หรือไม่? ถ้าไม่ "โครงสร้างต้นไม้" ของการสั่งซื้อบางส่วนมีปัจจัย จำกัด สาขาหรือไม่?A&gt;BA&gt;BA > …

2
Euclidean TSP ใน NP และความซับซ้อนของรากที่สอง
ในบันทึกการบรรยายนี้โดย Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdfมีการกล่าวกันว่าเราไม่รู้ว่า Euclidean TSP อยู่ใน NP: สาเหตุที่เราไม่รู้วิธีคำนวณรากที่สองอย่างมีประสิทธิภาพ ในทางตรงกันข้ามมีกระดาษนี้โดย Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123บอกว่ามันเป็น NP- สมบูรณ์ซึ่งหมายความว่ามันเป็นใน NP แม้ว่าเขาจะไม่ได้พิสูจน์มันในกระดาษ แต่ฉันคิดว่าเขาคิดว่าการเป็นสมาชิกในเรื่องไร้สาระเป็นเรื่องปกติ ฉันสับสนกับสิ่งนี้ สุจริตการกล่าวอ้างว่าเราไม่รู้ว่า Euclidian TSP อยู่ใน NP ทำให้ฉันตกใจเพราะฉันเพิ่งคิดว่ามันไม่สำคัญ - การทัวร์ TSP เป็นหนังสือรับรองเราสามารถตรวจสอบได้อย่างถูกต้องว่าเป็นทัวร์ที่ถูกต้อง แต่ปัญหาคือสามารถมีรากที่สองได้บ้าง ดังนั้นการบรรยายโดยทั่วไปอ้างว่าเราไม่สามารถในเวลาพหุนามแก้ปัญหาต่อไปนี้: ได้รับหมายเลขเหตุผลตัดสินใจว่าq1,…,qn,A∈Qq1,…,qn,A∈Qq_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}q1−−√+⋯+qn−−√≤Aq1+⋯+qn≤A\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A คำถามที่ 1:เรารู้อะไรเกี่ยวกับปัญหานี้ สิ่งนี้มีความเรียบง่ายดังต่อไปนี้ซึ่งฉันไม่สามารถหาได้: คำถามที่ 2:สิ่งนี้สามารถลดลงได้ในกรณีพิเศษหรือไม่เมื่อนี่เป็นกรณีพิเศษเวลาพหุนามแก้ได้หรือไม่?n=1n=1n=1 ฉันคิดถึงเรื่องนี้ซักพักแล้ว เราต้องการความซับซ้อนของเวลาพหุนามที่เกี่ยวกับจำนวนบิตของอินพุตเช่นไม่ใช่ขนาดของตัวเลข เราสามารถหาผลรวมกับจำนวนทศนิยมแบบพหุนามได้อย่างง่ายดาย เพื่อให้ได้กรณีที่ไม่ดีเราต้องการอินสแตนซ์ของสำหรับเช่นนั้นสำหรับพหุนามทุกตัวมีจำนวนเต็มที่และเห็นด้วยกับตัวเลขตัวแรกของ การขยายทศนิยมq1,k,…,qn,k,Ak∈Qq1,k,…,qn,k,Ak∈Qq_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}k=1,2,…k=1,2,…k=1,2,\ldotspppkkkq1,k−−−√+⋯+qn,k−−−√q1,k+⋯+qn,k\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}AkAkA_kp(input-size)p(input-size)p(\text{input-size}) คำถามที่ 3:มีตัวอย่างของจำนวนที่มีเหตุผลหรือไม่? แต่คืออะไร ขึ้นอยู่กับวิธีการแสดงจำนวนตรรกยะ! ตอนนี้ฉันอยากรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้:input-sizeinput-size\text{input-size} คำถามที่ 4:อัลกอริทึมมีความสำคัญหรือไม่หากจำนวนตรรกยะให้เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น …

2
มีสูตรทางทฤษฎีของปัญหาสมบูรณ์แบบ NP หรือไม่?
มีปัญหา NP สมบูรณ์ (หรือแม้แต่ปัญหา NP-hard หรือ NP) ที่มีคุณสมบัติทอพอโลยีที่ดีสำหรับการศึกษาหรือไม่ ปัญหา NP มีปมเชิงทฤษฎีหรือไม่? เรารู้เกี่ยวกับผลลัพธ์# เกี่ยวกับพหุนาม Jones ปัญหากราฟ (embeddings?) โดยเฉพาะการระบายสีของกราฟสามารถเห็นได้ว่ามีคุณสมบัติทางทฤษฎีปมที่ดี มันเป็นคำถามปลายเปิดและการอ้างอิงใด ๆ สำหรับหัวข้อนี้ชื่นชมPPP

3
คุณสมบัติกราฟสมบูรณ์แบบ NP ที่มีทางพันธุกรรม แต่ไม่ใช่สารเติมแต่ง?
คุณสมบัติกราฟเรียกว่ากรรมพันธุ์ถ้ามันปิดด้วยความเคารพในการลบจุดยอด (กล่าวคือกราฟย่อยย่อยทั้งหมดที่เกิดจากการสืบทอดคุณสมบัติ) คุณสมบัติกราฟเรียกว่าสารเติมแต่งถ้ามันถูกปิดด้วยความเคารพต่อการแยกสหภาพ การค้นหาคุณสมบัติที่เป็นกรรมพันธุ์ไม่ใช่เรื่องยาก แต่ไม่ได้เสริม ตัวอย่างง่ายๆสองตัวอย่าง: \;\;\; (1) กราฟเสร็จสมบูรณ์ \;\;\; (2) กราฟไม่ได้มีจุดยอดสองจุดแยกกัน ในกรณีเหล่านี้เห็นได้ชัดว่าทรัพย์สินถูกสืบทอดโดยกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำ แต่การเอากราฟที่แยกจากกันสองอันที่มีคุณสมบัติออกมาสหภาพของพวกเขาอาจไม่ได้สงวนไว้ ตัวอย่างข้างต้นทั้งสองนี้เป็นคุณสมบัติที่สามารถตัดสินใจได้ของ polytime (แม้ว่าสำหรับ (2) จะค่อนข้างไม่สำคัญ) หากเราต้องการคุณสมบัติที่ยากขึ้นพวกเขายังสามารถสร้างขึ้นได้โดยทำตามรูปแบบของ (2) แต่แทนที่รอบด้วยกราฟที่ซับซ้อนมากขึ้น จากนั้น แต่เราสามารถทำงานได้อย่างง่ายดายในสถานการณ์ที่มีปัญหาไม่ได้อยู่ในภายใต้สมมติฐานที่ซับซ้อนมาตรฐานเช่นN P ≠ C o N P มันดูเล็กน้อยกว่าการหาตัวอย่างที่อยู่ในN Pแต่ก็ยังยากNPNPNPNP≠coNPNP≠coNPNP\neq coNPNPNPNP คำถาม:คุณรู้จัก คุณสมบัติกราฟที่ไม่สมบูรณ์ของที่เป็นกรรมพันธุ์ แต่ไม่ใช่สารเติมแต่งหรือไม่?NPNPNP

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.