วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

คำถามนี้ถูกย้ายจาก Computer Science Stack Exchange เพราะสามารถตอบได้ใน Theoretical Computer Science Exchange Exchange อพยพ 3 ปีที่แล้ว ในบทความวิทยาศาสตร์ปี 2559 " การทำให้อัลกอริทึม Shor สามารถปรับขนาดได้ " [ 1 ] ผู้เขียนใช้ตัวประกอบ 15 กับ 5 qubits ซึ่งน้อยกว่า 8 qubits ที่ "จำเป็น" ตามตารางที่ 1 ของ [ 2 ] และตาราง 5 ของ [ 3] ] ความต้องการที่ 8 คิวบิตมาจากปลาย [ …

23 cc.complexity-theory  ds.algorithms  quantum-computing  factoring  security 

การเข้าถึง oracle จะช่วยเพิ่มความเร็วในพหุนามที่สำคัญสำหรับทุกสิ่งในN P - P (สมมติว่าเซตไม่ว่างเปล่า) มันมีความชัดเจนน้อยกว่าอย่างไรก็ตามPจะได้ประโยชน์อย่างไรจากการเข้าถึง oracle นี้ แน่นอนการเพิ่มความเร็วในPไม่สามารถเป็นซุปเปอร์พหุนามได้ แต่มันยังสามารถเป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่นเราสามารถหาเส้นทางที่สั้นที่สุดได้เร็วขึ้นด้วยOracle S A Tมากกว่าที่ไม่มีหรือไม่? งานที่ซับซ้อนมากขึ้นเช่นการลดฟังก์ชั่น submodular หรือการโปรแกรมเชิงเส้น? พวกเขา (หรือปัญหาทางธรรมชาติอื่น ๆ ในP ) จะได้ประโยชน์จากS A T หรือไม่STSATSATN P - PNP−P{\bf NP}-{\bf P}PP\bf PPP\bf PSATSATSATPP\bf PSATSATSAT oracle? โดยทั่วไปถ้าเราสามารถเลือกปัญหาใด ๆ ในและใช้ oracle สำหรับมันแล้วปัญหาใดในP ที่สามารถเห็นความเร็วได้NP−PNP−P{\bf NP}-{\bf P}PP\bf P

23 cc.complexity-theory  np  np-complete 

สำหรับการคงที่หนึ่งสามารถกำหนดเส้นเวลารับข้อมูลกราฟไม่ว่าจะเป็นtreewidthมีk อย่างไรก็ตามเมื่อได้รับทั้งและเป็นอินพุตปัญหาจะเป็นปัญหา ( ที่มา ) G ≤ k k Gk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGG≤k≤k\leq kkkkGGG อย่างไรก็ตามเมื่อกราฟอินพุตเป็นระนาบดูเหมือนว่าจะมีความซับซ้อนน้อยกว่ามาก ปัญหาที่เกิดขึ้นเห็นได้ชัดว่าเปิดในปี 2010 อ้างว่ายังปรากฏตัวในการสำรวจครั้งนี้ในปี 2007 และในหน้าวิกิพีเดียสาขาสลายตัว ตรงกันข้ามปัญหาก็อ้าง NP-ยาก (ไม่มีหลักฐานการอ้างอิง) ในรุ่นก่อนหน้านี้จากการสำรวจดังกล่าวก่อนหน้า แต่ผมถือว่าเป็นข้อผิดพลาด มันยังคงเปิดให้กำหนดความซับซ้อนของปัญหาให้และกราฟระนาบของการกำหนดมี treewidth ? ถ้าเป็นเช่นนั้นสิ่งนี้ถูกอ้างสิทธิ์ในเอกสารล่าสุดหรือไม่? ทราบผลบางส่วนหรือไม่ ถ้าไม่ใช่ใครจะแก้ไขได้ G G ≤ kk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGGGG≤k≤k\leq k

23 reference-request  graph-theory  np-hardness  open-problem  treewidth 

เมื่อเร็ว ๆ นี้และเนียนอย่างไม่น่าเชื่อหลักฐานของการคาดเดาความไวอาศัยในการก่อสร้าง * ที่ชัดเจนของเมทริกซ์n ∈ { - 1 , 0 , 1 } 2 n × 2 nกำหนดซ้ำดังนี้ และสำหรับ , โดยเฉพาะมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับทั้งหมดAn∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}n≥2n≥2n\geq 2An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix}A2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_nn≥1n≥1n\geq 1 ตอนนี้บางทีฉันกำลังอ่านเรื่องนี้มากเกินไป แต่อย่างน้อยนี่ก็มีความสัมพันธ์กับตระกูลเมทริกซ์ที่มีชื่อเสียงอีกชื่อหนึ่งนั่นคือเมทริกซ์ Hadamard เมทริกซ์ซึ่งก็เป็นเช่นนั้นและมีสเปกตรัมคล้ายกัน: และสำหรับ , H2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_nH1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}n≥2n≥2n\geq 2Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} …

23 boolean-functions  matrices  boolean-matrix 

เป็นที่ทราบกันดีว่าพารามิเตอร์กราฟสำคัญหลายตัวแสดงความเข้มข้น (แรง) บนกราฟสุ่มอย่างน้อยก็ในบางช่วงของความน่าจะเป็นของขอบ ตัวอย่างทั่วไปบางอย่าง ได้แก่ หมายเลขรงค์, กลุ่มสูงสุด, ชุดอิสระสูงสุด, การจับคู่สูงสุด, หมายเลขการครอบครอง, จำนวนสำเนาของกราฟย่อยคงที่, เส้นผ่านศูนย์กลาง, ระดับสูงสุด, จำนวนตัวเลือก (รายการหมายเลขสี), Lovasz theta- จำนวน, ความกว้างของต้นไม้ ฯลฯθθ\theta คำถาม: อะไรคือข้อยกเว้นนั่นคือพารามิเตอร์กราฟที่มีความหมายที่ไม่ได้มุ่งเน้นไปที่กราฟแบบสุ่ม? แก้ไข คำจำกัดความที่เป็นไปได้ของความเข้มข้นคือ: ให้เป็นพารามิเตอร์กราฟบนกราฟสุ่ม -vertex เราเรียกมันว่าเข้มข้นถ้าสำหรับมันก็ถือว่า ความเข้มข้นมีความแข็งแรงถ้าความน่าจะเป็นใกล้ถึง 1 ที่อัตราเอ็กซ์โพเนนเชียล แต่บางครั้งก็มีการใช้งานที่แข็งแกร่งในแง่ที่แตกต่างซึ่งหมายถึงความจริงที่ว่าคอนเวอร์เจนซ์ยังคงเป็นจริงด้วยช่วงเวลาที่หดตัวทำให้มีช่วงที่แคบมาก ตัวอย่างเช่นถ้าX_nเป็นระดับต่ำสุดดังนั้นสำหรับบางช่วงของความน่าจะเป็นที่ขอบpหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ nXnXnX_nnnnLim n →การ∞ Pr ( ( 1 - ε ) E ( X n ) ≤ X n …

23 graph-theory  pr.probability  random-graphs 

ฉันได้อ่านในบทความมากมายที่ระบุค่าคงที่ Cheeger ของกราฟคือNPNP\mathsf{NP} -hard ดูเหมือนว่าจะเป็นทฤษฎีบทพื้นบ้าน แต่ฉันไม่เคยพบคำพูดหรือข้อพิสูจน์สำหรับคำสั่งนี้ ฉันควรให้เครดิตกับใคร ในกระดาษเก่า (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar เพียงพิสูจน์การยืนยันนี้ "สำหรับกราฟที่มีหลายขอบ"

23 reference-request  graph-theory  spectral-graph-theory 

ทฤษฎีความซับซ้อนผ่านแนวคิดเช่น NP-ครบถ้วนสมบูรณ์แยกความแตกต่างระหว่างปัญหาการคำนวณที่มีวิธีการแก้ปัญหาที่ค่อนข้างมีประสิทธิภาพและผู้ที่ดื้อดึง ความซับซ้อน "ละเอียด" มีวัตถุประสงค์เพื่อปรับแต่งความแตกต่างเชิงคุณภาพนี้เป็นแนวทางเชิงปริมาณเกี่ยวกับเวลาที่แน่นอนในการแก้ปัญหา รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถดูได้ที่นี่: http://simons.berkeley.edu/programs/complexity2015 นี่คือสมมติฐานที่สำคัญบางประการ: ผลประโยชน์ทับซ้อน: -ต้องเวลาสำหรับบาง0333SATSATSAT2δn2δn2^{\delta n}δ>0δ>0 \delta > 0 SETH: สำหรับทุก ๆมีที่ -บนตัวแปรไม่สามารถแก้ไขคำสั่งได้ในเวลาk k S T n ม. 2 ( 1 - ε ) n P o L Y เมตรε>0ε>0\varepsilon > 0kkkkkkSATSATSATnnnmmm2(1−ε)n poly m2(1−ε)n poly m2^{(1-\varepsilon)n}~poly~m เป็นที่รู้จักกันว่า SETH จะแข็งแกร่งกว่าผลประโยชน์ทับซ้อนและพวกเขาทั้งสองมีความแข็งแกร่งกว่าP≠NPP≠NPP \neq NPและทั้งสองแข็งแรงกว่าFTP≠W[1]FTP≠W[1]FTP\neq W[1] ] การคาดเดาที่สำคัญอีกสี่ประการ: 3SUM …

23 cc.complexity-theory  reference-request  complexity-classes  fine-grained 

ปัจจุบัน bitcoin มีหลักฐานการทำงานของระบบ (PoW) โดยใช้ SHA256 ฟังก์ชั่นแฮชอื่น ๆ ใช้การพิสูจน์กราฟการใช้ระบบงานการสับฟังก์ชันแฮชบางส่วน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ปัญหาการตัดสินใจใน Knot Theory เช่นการจดจำ Knot และทำให้มันเป็นข้อพิสูจน์ของฟังก์ชั่นการทำงาน? มีใครเคยทำเช่นนี้มาก่อนหรือไม่ นอกจากนี้เมื่อเรามีฟังก์ชั่น Proof of Work นี้จะมีประโยชน์มากกว่าสิ่งที่คำนวณอยู่ในปัจจุบัน?

23 cc.complexity-theory  reference-request  cr.crypto-security  algebraic-topology 

รับสองสาย x และ y ฉันต้องการสร้าง DFA ขนาดต่ำสุดที่ยอมรับ x และปฏิเสธ y วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการค้นหากำลังดุร้าย คุณระบุ DFA เริ่มด้วยขนาดเล็กที่สุด คุณลองแต่ละ DFA จนกว่าคุณจะพบที่ยอมรับ x และปฏิเสธ y ฉันต้องการทราบว่ามีวิธีอื่นที่รู้จักในการค้นหาหรือสร้าง DFA ขนาดต่ำสุดที่ยอมรับ x และปฏิเสธ y หรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถเอาชนะการค้นหากำลังดุร้ายได้หรือไม่? รายละเอียดเพิ่มเติม: (1) ฉันต้องการอัลกอริทึมในการหา DFA ขนาดต่ำสุดไม่ใช่ DFA ขนาดใกล้เคียงที่สุด (2) ฉันไม่เพียง แต่ต้องการทราบว่า DFA ขั้นต่ำเล็กหรือใหญ่เพียงใด (3) ตรงนี้ฉันแค่เน้นไปที่กรณีที่คุณมีสองสาย x และ y แก้ไข : ข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับผู้อ่านที่สนใจ: สมมติว่าและy ที่มีสตริงไบนารีของความยาวที่มากที่สุดn …

23 automata-theory  dfa  fsm 

พหุนามคือการฉายภาพเดียวของพหุนามถ้า = polyและมีการกำหนด เช่นว่า(y_m)) นั่นคือมันเป็นไปได้ที่จะเข้ามาแทนที่ตัวแปรแต่ละของโดยตัวแปรหรือคงที่หรือเพื่อให้ส่งผลให้สอดคล้องกับพหุนามฉ g ( y 1 , … , y m ) m ( n ) π : { y 1 , … , y m } → { x 1 , … , x n , 0 , 1 } f ( x 1 , …

23 cc.complexity-theory  circuit-complexity  lower-bounds  arithmetic-circuits 

ให้L1,L2L1,L2L_1,L_2เป็นภาษาปกติสองภาษาที่กำหนดโดย NFAs M1,M2M1,M2M_1,M_2เป็นอินพุต สมมติว่าเราต้องการที่จะตรวจสอบว่า\ สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างชัดเจนโดยอัลกอริธึมกำลังสองซึ่งคำนวณหุ่นยนต์ผลิตภัณฑ์ของแต่ฉันสงสัยว่ามีอะไรที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเป็นที่รู้จักกันM 1 , M 2L1∩L2≠∅L1∩L2≠∅L_1\cap L_2\neq \emptysetM1,M2M1,M2M_1,M_2 มีอัลกอริทึมในการตัดสินใจว่าหรือไม่ อัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุดคืออะไร?L 1 ∩ L 2 ≠ ∅o(n2)o(n2)o(n^2)L1∩L2≠∅L1∩L2≠∅L_1\cap L_2\neq \emptyset

23 ds.algorithms  automata-theory  regular-language  nondeterminism 

สำหรับตัวอักษรที่แน่นอนคงเป็นภาษาอย่างเป็นทางการLมากกว่าΣคือปกติถ้ามีอยู่กำหนดขอบเขตหุ่นยนต์ (DFA) มากกว่าΣซึ่งยอมรับว่าLΣΣ\SigmaLLLΣΣ\SigmaΣΣ\SigmaLLL ฉันสนใจในภาษาที่ "เกือบจะ" เป็นปกติในแง่ที่ว่าพวกเขาสามารถได้รับการยอมรับจากครอบครัวออโตมาตะที่มีขนาดที่โตขึ้นเฉพาะกับคำพหุนาม อย่างเป็นทางการให้ฉันบอกว่าเป็นภาษาที่เป็นทางการจะได้รับการยอมรับโดย DFA ครอบครัว( n )ถ้าทุกคำพูดW ∈ Σ *ให้n = | w | , Wอยู่ในL IFF nยอมรับW (ไม่ว่าถ้าคนอื่น ๆฉันยอมรับมันหรือไม่) และแจ้งให้เรากำหนดP-ปกติภาษาเป็นภาษารับการยอมรับจากPTIME-คำนวณครอบครัว DFA ( n )LLL (An)(An)(A_n)w∈Σ∗w∈Σ∗w \in \Sigma^*n=|w|n=|w|n = |w|wwwLLLAnAnA_nwwwAiAiA_i(An)(An)(A_n)ขนาดพหุนามคือมีความเป็นพหุนามดังกล่าวว่า| n | ≤ P ( n )สำหรับทุกn (ชื่อนี้คือ "p-regular" เป็นสิ่งที่ฉันสร้างขึ้นคำถามของฉันคือการรู้ว่ามีชื่ออื่นอยู่แล้วสำหรับเรื่องนี้โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่ภาษา p-regular ในแง่ของการเปลี่ยนแปลงแบบอัตโนมัติ )PPP|An|≤P(n)|An|≤P(n)|A_n| \leq P(n)nnn ภาษา …

23 reference-request  fl.formal-languages  automata-theory  online-algorithms  dfa 

กระดาษ 2546 ที่มีความสำคัญโดย Childs และคณะแนะนำ "ปัญหาต้นไม้ที่มีความทรงจำ": ปัญหาในการยอมรับการเร่งความเร็วควอนตัมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลซึ่งไม่เหมือนกับปัญหาอื่น ๆ ที่เรารู้ ในปัญหานี้เราได้รับกราฟขนาดใหญ่แบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเช่นเดียวกับภาพด้านล่างซึ่งประกอบด้วยต้นไม้ไบนารีสองต้นที่มีความลึก n ซึ่งใบไม้เชื่อมต่อกันโดยรอบสุ่ม เราจัดทำฉลากของจุดเข้าใช้งาน นอกจากนี้เรายังมี oracle ที่ระบุฉลากของจุดสุดยอดใด ๆ ให้เราทราบถึงฉลากของเพื่อนบ้าน เป้าหมายของเราคือค้นหาจุดสุดยอด EXIT (ซึ่งสามารถจดจำได้ง่ายเป็นจุดสุดยอดระดับ 2 เท่านั้นในกราฟอื่นที่ไม่ใช่จุดสุดยอดการเข้า) เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าเลเบลเป็นสตริงแบบสุ่มที่มีความยาวน่าจะเป็นดังนั้นจุดสุดยอดอื่นที่ไม่ใช่ทางเข้าจุดยอดจะถูกกำหนดโดย oracle พระเกศาและคณะ แสดงให้เห็นว่าอัลกอริธึมการเดินควอนตัมสามารถทะลุผ่านกราฟนี้และค้นหาจุดยอด EXIT หลังจากขั้นตอนโพลี (n) ในทางตรงกันข้ามพวกเขายังแสดงให้เห็นว่าอัลกอริธึมการสุ่มแบบคลาสสิกต้องใช้ขั้นตอน exp (n) เพื่อหาจุดสุดยอด EXIT ที่มีความน่าจะเป็นสูง พวกเขากล่าวถึงขอบเขตล่างของพวกเขาว่าΩ (2 n / 6 ) แต่ฉันเชื่อว่าการตรวจสอบหลักฐานที่ใกล้ชิดของพวกเขาให้ผลตอบแทนΩ (2 n / 2 ) โดยสัญชาตญาณเพราะนี่คือความน่าจะเป็นอย่างยิ่งการเดินสุ่มบนกราฟ (แม้กระทั่งการหลีกเลี่ยงการเดินด้วยตนเอง …

23 graph-algorithms  quantum-computing  randomized-algorithms  random-walks  decision-trees 

ฉันรู้ว่าฟังก์ชั่น OR บนnnnตัวแปรx 1 , … , x nx1,…,xnx_1,\ldots, x_nสามารถแทนได้อย่างแม่นยำโดยพหุนามp ( x 1 , … , x n )p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)เช่น: p ( x 1 , … , x n ) = 1 - Π n ฉัน= 1 ( 1 - x ผม)p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)ซึ่งเป็นปริญญาnnn แต่วิธีการที่ฉันสามารถแสดงสิ่งที่ดูเหมือนชัดเจนว่าถ้าPppเป็นพหุนามที่แสดงถึงหรือฟังก์ชั่นตรง (เพื่อ∀ x ∈ { …

23 cc.complexity-theory  co.combinatorics  lower-bounds  polynomials 

พิจารณางานคำนวณต่อไปนี้: เราต้องการตัวอย่างสูตร 3-SAT ของตัวแปรตัว (ตัวแปร: ตัวแปรคำสั่งย่อย ) ที่เกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเดียวกันnnnnnnmmm Q1: สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม (พร้อมบิตสุ่ม)? Q2: สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยคอมพิวเตอร์ควอนตัม? ฉันสนใจในสองตัวแปรต่อไปนี้: V2: คุณสุ่มตัวอย่างสูตรทั้งหมด wrt การแจกแจงความน่าจะเป็นที่ให้สูตรที่น่าพอใจสองเท่าของน้ำหนักของสูตรที่ไม่น่าพอใจ V3: คุณสุ่มตัวอย่างโดยที่น้ำหนักคือจำนวนของการมอบหมายที่น่าพอใจ (ที่นี่เราให้ความสำคัญกับ Q2 เท่านั้น) Update:คำตอบของ Colins แสดงให้เห็นถึงอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับ V3 (ฉันคิดผิดว่าสมมติว่านี่เป็นเรื่องยากคลาสสิก) ฉันขอพูดถึงอีกหนึ่งคำถามที่แตกต่างกันสามข้อ: คุณสามารถระบุล่วงหน้าข้อและคุณจำเป็นต้องตัวอย่างย่อยพอใจสุ่มของคำสั่งการป้อนข้อมูลmmm

23 cc.complexity-theory  quantum-computing  sample-complexity