1
การแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นประมาณ
พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: อินพุต : ไฮเปอร์เพลนH={y∈Rn:aTy=b}H={y∈Rn:aTy=b}H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\} , ที่กำหนดโดยเวกเตอร์a∈Zna∈Zn\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^nและb∈Zb∈Zb \in \mathbb{Z}ในการแทนเลขฐานสองมาตรฐาน x∈Zn=argmind(x,H)x∈Zn=argmind(x,H)\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H) d(x,S)d(x,S)d(\mathbf{x}, S)x∈Rnx∈Rn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^nS⊆RnS⊆RnS \subseteq \mathbb{R}^nd(x,S)=miny∈S∥x−y∥2d(x,S)=miny∈S‖x−y‖2d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2 ในคำพูดเราได้รับไฮเปอร์เพลนและเรากำลังมองหาจุดในโครงตาข่ายจำนวนเต็มที่ใกล้กับไฮเปอร์เพลนมากที่สุด คำถามคือ: ความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร? โปรดทราบว่าเวลาพหุนามที่นี่จะหมายถึงพหุนามในบิตขนาดของอินพุต เท่าที่ฉันเห็นปัญหาน่าสนใจแม้ในสองมิติ ดังนั้นจึงไม่ยากที่จะเห็นว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะโซลูชันเหล่านั้น(x1,x2)(x1,x2)(x_1, x_2)ด้วย0≤x1≤|a1|/gcd(a1,a2)0≤x1≤|a1|/gcd(a1,a2)0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, …