คำถามติดแท็ก arithmetic-circuits

5
การคูณจำนวนเต็มเมื่อหนึ่งจำนวนเต็มได้รับการแก้ไข
ให้เป็นจำนวนเต็มบวกคงที่ของขนาดบิตAAAnnn หนึ่งรายการได้รับอนุญาตให้ประมวลผลจำนวนเต็มนี้ล่วงหน้าตามความเหมาะสม ด้วยจำนวนเต็มบวกขนาดบิตบวกความซับซ้อนของการคูณคืออะไร?BBBmmmABABAB โปรดทราบว่าเรามีอัลกอริทึม แบบสอบถามที่นี่คือว่าเราสามารถใช้\ epsilon = 0โดยอะไรที่ฉลาดกว่านี้ไหม?(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0

1
เหตุใดวงจรของ HAMILTONIAN จึงแตกต่างจากถาวร
พหุนามคือการฉายภาพเดียวของพหุนามถ้า = polyและมีการกำหนด เช่นว่า(y_m)) นั่นคือมันเป็นไปได้ที่จะเข้ามาแทนที่ตัวแปรแต่ละของโดยตัวแปรหรือคงที่หรือเพื่อให้ส่งผลให้สอดคล้องกับพหุนามฉ g ( y 1 , … , y m ) m ( n ) π : { y 1 , … , y m } → { x 1 , … , x n , 0 , 1 } f ( x 1 , …

2
ขอบเขตล่างสำหรับดีเทอร์มิแนนต์และถาวร
ในแง่ของช่องว่างล่าสุดที่ความลึก -3ผลลัพธ์ (ซึ่งเหนือสิ่งอื่นใดผลผลิต2n√logn2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}ลึก 3 วงจรทางคณิตศาสตร์สำหรับn×nn×nn \times n ปัจจัยมากกว่าCC\mathbb{C}) ฉันมีคำถามต่อไปนี้: Grigoriev และ Karpinskiพิสูจน์แล้วว่าขอบเขตล่างสำหรับการใด ๆ ลึก 3 คอมพิวเตอร์วงจรเลขคณิต ตัวกำหนดของเมทริกซ์บนฟิลด์ จำกัด (ซึ่งฉันเดาว่าจะเป็นแบบถาวร) สูตร Ryser ของสำหรับการคำนวณถาวรให้ลึก 3 วงจรเลขคณิตของขนาด(n)} นี่แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับวงจรความลึก -3 สำหรับการถาวรเหนือทุ่ง จำกัด ฉันมีสองคำถาม: n × n O ( n 2 2 n ) = 2 O ( n )2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)} …

4
วงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน
สถานะของความรู้ของเราเกี่ยวกับวงจรเลขคณิตทั่วไปดูเหมือนจะคล้ายกับสถานะของความรู้ของเราเกี่ยวกับวงจรบูลีนนั่นคือเราไม่มีขอบเขตล่างที่ดี บนมืออื่น ๆ ที่เรามีขนาดชี้แจงลดขอบเขตสำหรับเสียงเดียววงจรบูลีน เรารู้อะไรเกี่ยวกับวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน เรามีขอบเขตล่างที่ดีเหมือนกันสำหรับพวกเขาหรือไม่? ถ้าไม่ความแตกต่างที่สำคัญคืออะไรที่ไม่อนุญาตให้เราใช้ขอบเขตล่างที่คล้ายกันสำหรับวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน คำถามได้รับแรงบันดาลใจจากความคิดเห็นในคำถามนี้

1
วงจรเลขคณิตที่มีเกตหนึ่งเกท
เมื่อถูก จำกัด ไป -ปัจจัยการผลิตทุก -circuitคำนวณฟังก์ชั่นบางอย่าง{N} ในการรับฟังก์ชั่นบูลีนเราสามารถเพิ่มเกต gate หนึ่ง fanin-1 หนึ่งเป็นเกตเอาท์พุท บนอินพุต , threshold ที่เกิดขึ้น - วงจรจะให้ผลลัพธ์ถ้า , และเอาท์พุทถ้า ; thresholdสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ000111{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)F:{0,1}n→NF:{0,1}n→NF:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n {+,×}{+,×}\{+,\times\}111F(a)≥tF(a)≥tF(a)\geq t000F(a)≤t−1F(a)≤t−1F(a)\leq t-1t=tnt=tnt=t_nnnnแต่ไม่ได้อยู่ในค่าอินพุต วงจรส่งผลให้คำนวณบางคน (เดียว) บูลฟังก์ชั่น \}F′:{0,1}n→{0,1}F′:{0,1}n→{0,1}F':\{0,1\}^n\to \{0,1\} คำถาม:ขีด จำกัดวงจรสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพโดย วงจรหรือไม่ {+,×}{+,×}\{+,\times\}{∨,∧}{∨,∧}\{\lor,\land\} ภายใต้ "ประสิทธิภาพ" ฉันหมายถึง "โดยส่วนใหญ่แล้วการเพิ่มขนาดของพหุนาม" คำตอบนั้นชัดเจนว่า "ใช่" สำหรับ threshold : เพียงแค่แทนที่ด้วย ,โดยและลบประตูธรณีประตูสุดท้ายออก นั่นคือวงจรอยู่ในเกณฑ์จริง -วงจร แต่สิ่งที่เกี่ยวกับเกณฑ์ที่มีขนาดใหญ่, การพูด, …

5
เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบว่าตัวเลขที่คำนวณได้นั้นเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม?
เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบอัลกอริธึมว่าจำนวนที่คำนวณได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม? ในคำอื่น ๆ ก็จะมีความเป็นไปได้สำหรับห้องสมุดที่ใช้คำนวณตัวเลขเพื่อให้ฟังก์ชั่นisIntegerหรือisRational? ฉันเดาว่ามันเป็นไปไม่ได้และนี่ก็เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบว่าตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะพิสูจน์มัน แก้ไข: จำนวนที่คำนวณได้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่สามารถส่งกลับค่าประมาณด้วยเหตุผลด้วยความแม่นยำ :สำหรับใด ๆ0 รับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทดสอบว่าหรือ ?xxxfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

1
พหุนามใดที่นับยาก แต่ง่ายต่อการตัดสินใจ
ทุกวงจรเลขคณิต monotone คือ -circuit คำนวณพหุนามหลายตัวแปรF ( x 1 , … , x , n )ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มแบบไม่ลบ รับพหุนาม f ( x 1 , … , x n ) , วงจร{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n) คำนวณ ถ้าF ( ) = F ( )ถือสำหรับทุก∈ N n ; fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n นับ ถ้าF ( ) = F ( )ถือสำหรับทุก∈ { …

1
สัดส่วน VC ของชื่อพหุนามมากกว่าเซมินารีเขตร้อนหรือไม่
ในคำถามนี้ฉันสนใจ vs. /ปัญหาสำหรับเขตร้อนและB P P P P o L YBPP\mathbf{BPP}P\mathbf{P}poly\mathrm{poly} ( สูงสุด, + ) ( นาที, + )(max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+)วงจร คำถามนี้ลดการแสดงขอบเขตด้านบนสำหรับมิติ VC ของพหุนามในช่วงรอบเขตร้อน (ดูทฤษฎีบทที่ 2 ด้านล่าง) ให้เป็น semiring ศูนย์รูปแบบลำดับของมีหลายชื่อในเป็นส่วนหนึ่งที่มีอยู่และดังที่ทุก , IFFS นั่นคือกราฟของว่ามีหลายชื่อเหล่านั้นกับต้องตีจุด1} ("Zero-pattern" เนื่องจากเงื่อนไขสามารถถูกแทนที่ด้วยRRR(f1,…,fm)(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmmR[x1,…,xn]R[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx∈Rnx\in R^ny∈Ry∈Ry\in Ri=1,…,mi=1,…,mi=1,\ldots,mfi(x)=yfi(x)=yf_i(x)= yi∈Si∈Si\in Sfifif_ii∈Si∈Si\in S(x,y)∈Rn+1(x,y)∈Rn+1(x,y)\in R^{n+1}fi(x)=yfi(x)=yf_i(x)=yfi(x)−y=0fi(x)−y=0f_i(x)-y=0 ) อนุญาตZ(m)Z(m)Z(m)= จำนวนที่เป็นไปสูงสุดของศูนย์รูปแบบของการลำดับของพหุนามของระดับที่มากที่สุดdดังนั้นเมตร มิติ Vapnik-Chervonenkisปริญญามีหลายชื่อคือ \} mmmddd0≤Z(m)≤2m0≤Z(m)≤2m0\leq Z(m)\leq 2^mdddVC(n,d):=max{m:Z(m)=2m}VC(n,d):=max{m:Z(m)=2m}VC(n,d) := \max\{m\colon …

1
ความซับซ้อนของวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทนของพหุนามสมมาตรระดับประถม?
kkk -th ประถมศึกษาพหุนามสมมาตรSnk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)คือผลรวมของทั้งหมดผลิตภัณฑ์ของตัวแปรที่แตกต่างกัน ฉันสนใจในความซับซ้อนของวงจรเลขคณิตของพหุนามนี้ อัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกอย่างง่าย (เช่นเดียวกับรูปที่ 1 ด้านล่าง) ให้วงจรพร้อมประตู k(+,×)(+,×)O(kn)(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) คำถาม: รู้จักขอบเขตต่ำกว่า หรือไม่? Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) วงจรAจะเอียงหากอย่างน้อยหนึ่งในสองอินพุตของแต่ละเกทผลิตภัณฑ์เป็นตัวแปร วงจรดังกล่าวเป็นจริงเหมือนกับเครือข่ายการสลับและการแก้ไข (กราฟ acyclic กำกับด้วยขอบบางอย่างที่มีป้ายกำกับโดยตัวแปร; แต่ละเส้นทางเซนต์ให้ผลิตภัณฑ์ของฉลากของมันและเอาท์พุทเป็นผลรวมของทุกเส้นทางเซนต์) แล้ว 40 ปีที่ผ่านมามาร์คอฟได้รับการพิสูจน์ผลแน่นน่าแปลกใจที่: เสียงเดียวน้อยที่สุดวงจรเอียงทางคณิตศาสตร์สำหรับได้ว่าประตูสินค้า บนที่ถูกผูกไว้ดังนี้จากรูปที่ 1. (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) แต่ฉันไม่เคยเห็นความพยายามใด ๆ ที่จะพิสูจน์ว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรที่ไม่เอียง นี่เป็นเพียง "ความเย่อหยิ่ง" ของเราหรือมีปัญหาบางอย่างที่เกิดขึ้นระหว่างทางหรือไม่? PS ฉันรู้ว่าประตูเป็นสิ่งที่จำเป็นไปพร้อม ๆ กันการคำนวณทั้งหมด n สิ่งนี้ตามมาจากขอบเขตล่างของขนาดของวงจรบูลีนโมโนโทนซึ่งเรียงลำดับอินพุต 0-1; ดูที่หน้า 158 ของหนังสือ Ingo Wegener ของ เครือข่าย AKS เรียงลำดับนอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าประตูมีเพียงพอในเรื่องนี้ …

1
หลักสูตรการเรียนรู้ความซับซ้อนเชิงพีชคณิต
ฉันต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมพีชคณิตและความซับซ้อนของ thoery โดยเฉพาะฉันสนใจ PIT มีชุดบรรยายเอกสารหนังสือและแบบสำรวจสำหรับนักเรียนที่อ่านตำรามาตรฐานเกี่ยวกับทฤษฎีเช่นหนังสือ Sipser's หรือตำราเรียนที่ซับซ้อนของ Arora-Barak ชุดการอ้างอิงจะรวมผลลัพธ์ขั้นสูงเมื่อเร็ว ๆ นี้

4
eta-equence สำหรับฟังก์ชั่นที่ใช้งานร่วมกันได้กับการทำงาน seq ของ Haskell หรือไม่?
แทรก: สมมติว่า (\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> BETA-เท่าเทียมเรามี พิสูจน์: ⊥ = (\x -> ⊥ x)โดยกทพ. เทียบเท่าและ(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)โดยการลดภายใต้แลมบ์ดา รายงาน Haskell 2010 ส่วน 6.2 ระบุseqฟังก์ชันด้วยสองสมการ: seq :: a -> b -> b seq ⊥ b = ⊥ seq ab = b, ถ้า a …

1
ลักษณะเครื่องของ
SCผมSAคผมSAC^iเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่แก้ไขได้โดยตระกูลของวงจรความลึกพร้อมกับ fanin OR ที่ไม่มีขอบเขตและและ bounded-fanin และประตู อนุญาตให้มีการลบในระดับอินพุตเท่านั้น เป็นที่ทราบกันว่าSAC ^ iสำหรับi \ geq 1ถูกปิดภายใต้ส่วนประกอบและSAC ^ 0ไม่ได้ นอกจากนี้SAC ^ 1 = LogCFLและด้วยเหตุนี้จึงมีลักษณะของเครื่องเนื่องจากLogCFLเป็นชุดของภาษาที่ยอมรับโดยพื้นที่O ({\ log} n) ที่จำกัด ขอบเขตและเวลาเสริมโพลิโนเมียลที่ จำกัด ขอบเขต มีลักษณะของเครื่องที่คล้ายกันของSAC ^ iสำหรับi \ geq 2หรือไม่?S A C ฉัน i ≥ 1 S A C 0 S A C 1 = L o …

1
วงจรแบบมีขอบเขต - treewidth ดีอะไรสำหรับ?
หนึ่งสามารถพูดคุยของtreewidthของวงจรบูลีน, การกำหนดเป็น treewidth ของ "moralized" กราฟบนสายไฟ (จุด) ที่ได้รับดังนี้สายเชื่อมต่อและเมื่อใดก็ตามที่คือการส่งออกของประตูมีเป็น input (หรือ ในทางกลับกัน); เชื่อมต่อสายและทุกครั้งที่ใช้เป็นอินพุตไปยังเกทเดียวกัน แก้ไข:หนึ่งสามารถกำหนด treewidth ของวงจรเท่ากับที่กราฟแสดง; ถ้าเราใช้การเชื่อมโยงกันเพื่อ rewite ทั้งหมด AND และ OR ประตูที่จะมีแฟนในที่มากที่สุดสอง treewidth ตามความหมายอย่างใดอย่างหนึ่งคือขึ้นเดียวกันกับปัจจัย3aaabbbbbbaaaaaabbb333 มีปัญหาอย่างน้อยหนึ่งปัญหาที่ทราบกันทั่วไปในวงจรบูลีนที่ จำกัด ขอบเขตของความกังวล: ให้โอกาสสำหรับแต่ละสายอินพุตที่จะตั้งค่าเป็น 0 หรือ 1 (เป็นอิสระจากที่อื่น) คำนวณความน่าจะเป็นที่ ประตูส่งออกบางอย่างเป็น 0 หรือ 1 นี้โดยทั่วไป # P-อย่างหนักโดยลดลงจากเช่น # 2SAT แต่ก็สามารถแก้ไขได้ใน PTIME ในวงจรที่มี treewidth จะถือว่าน้อยกว่าอย่างต่อเนื่องโดยใช้อัลกอริทึมต้นไม้แยก คำถามของฉันคือการรู้ว่ามีปัญหาอื่น ๆนอกเหนือจากการคำนวณความน่าจะเป็นที่รู้กันว่าเป็นเรื่องยากที่จะอธิบายได้ แต่โดยทั่วไปสำหรับการเดินวนรอบวงเวียน …

1
ทฤษฎีบทของ Adleman เกี่ยวกับเซมินารีไม่สิ้นสุด
Adleman ได้แสดงในปี 1978 ว่า : ถ้าฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรสามารถคำนวณได้โดยวงจรบูบูลีนน่าจะเป็นขนาดจากนั้นสามารถคำนวณได้โดยการกำหนด บูลีนวงจรของขนาดพหุนามในและ ; จริงขนาด(NM) BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}fffnnnMMMfffMMMnnnO(nM)O(nM)O(nM) คำถามทั่วไป:กว่าสิ่งอื่น ๆ (กว่าบูล) semirings ไม่ถือ? BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly} เพื่อให้มีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้นความน่าจะเป็นวงจร เหนือ semiringใช้การดำเนินการ "การเพิ่ม"และ "การคูณ ''เป็นประตู . อินพุตคือตัวแปรอินพุตและอาจมีตัวแปรสุ่มเพิ่มเติมจำนวนหนึ่งซึ่งรับค่าและ อย่างอิสระโดยมีความน่าจะเป็นและนี่คือ และตามลำดับตัวบ่งชี้การบวกและการคูณของ semiring . วงจรดังกล่าวคำนวณฟังก์ชันที่กำหนดCC\mathsf{C}(S,+,⋅,0,1)(S,+,⋅,0,1)(S,+,\cdot,0,1)(+)(+)(+)(⋅)(⋅)(\cdot)x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n0001111/21/21/2000111CC\mathsf{C} f:Sn→Sf:Sn→Sf:S^n\to Sถ้าทุก ,2/3 x∈Snx∈Snx\in S^nPr[C(x)=f(x)]≥2/3Pr[C(x)=f(x)]≥2/3\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3ฟังก์ชั่นการออกเสียงลงคะแนน ของตัวแปรที่เป็นฟังก์ชั่นบางส่วนที่มีค่าถ้าองค์ประกอบปรากฏมากกว่าครั้งในหมู่และจะไม่ได้กำหนด หากไม่มีองค์ประกอบเช่นมีอยู่ แอปพลิเคชันอย่างง่ายของ Chernoff และขอบเขตของสหภาพให้ผลตอบแทนดังนี้Maj(y1,…,ym)Maj(y1,…,ym)\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)mmmyyyyyym/2m/2m/2y1,…,ymy1,…,ymy_1,\ldots,y_myyy เสียงข้างมากเคล็ดลับ:ถ้าเป็นไปได้วงจรคำนวณฟังก์ชั่นบนขอบเขต จำกัด ,รับของเช่นว่าถือสำหรับทุกx CC\mathsf{C}f:Sn→Sf:Sn→Sf:S^n\to SX⊆SnX⊆SnX\subseteq S^nm=O(log|X|)m=O(log⁡|X|)m=O(\log|X|)C1,…,CmC1,…,CmC_1,\ldots,C_mCC\mathsf{C}f(x)=Maj(C1(x),…,Cm(x))f(x)=Maj(C1(x),…,Cm(x))f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))x∈Xx∈Xx\in X จากการบูลีน …

1
วงจรเลขคณิตอ่อนแอกว่าบูลีนหรือไม่?
ให้( ฉ)แสดงขนาดต่ำสุดของ (ที่ไม่ใช่เสียงเดียว) คณิตศาสตร์( + , × , - )วงจรคอมพิวเตอร์ที่กำหนดพหุนาม multilinear F ( x 1 , ... , x n ) = Σ อี∈ E C E n Πฉัน= 1 x e i iA ( f)A(f)A(f)( + , × , - )(+,×,−)(+,\times,-) และ B ( ฉ)แสดงขนาดต่ำสุดของ (ที่ไม่ใช่เสียงเดียว) บูล ( ∨ …

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.